Деление треугольника на части

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Деление треугольника на части

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение треугольника
  • Виды треугольников
  • Отрезки в треугольнике
Содержание
  1. Определение треугольника
  2. Виды треугольников
  3. Отрезки в треугольнике
  4. Площадь треугольника
  5. Равнобедренный треугольник
  6. Равносторонний треугольник
  7. Прямоугольный треугольник
  8. Теорема Пифагора
  9. Примеры решений заданий из ОГЭ
  10. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  11. Типы треугольников
  12. По величине углов
  13. По числу равных сторон
  14. Вершины углы и стороны треугольника
  15. Свойства углов и сторон треугольника
  16. Теорема синусов
  17. Теорема косинусов
  18. Теорема о проекциях
  19. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  20. Медианы треугольника
  21. Свойства медиан треугольника:
  22. Формулы медиан треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Свойства биссектрис треугольника:
  25. Формулы биссектрис треугольника
  26. Высоты треугольника
  27. Свойства высот треугольника
  28. Формулы высот треугольника
  29. Окружность вписанная в треугольник
  30. Свойства окружности вписанной в треугольник
  31. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  32. Окружность описанная вокруг треугольника
  33. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  34. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  35. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  36. Средняя линия треугольника
  37. Свойства средней линии треугольника
  38. Периметр треугольника
  39. Формулы площади треугольника
  40. Формула Герона
  41. Равенство треугольников
  42. Признаки равенства треугольников
  43. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  44. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  45. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  46. Подобие треугольников
  47. Признаки подобия треугольников
  48. Первый признак подобия треугольников
  49. Второй признак подобия треугольников
  50. Третий признак подобия треугольников
  51. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  52. Что такое треугольник
  53. Определение треугольника
  54. Сумма углов треугольника
  55. Пример №1
  56. Пример №2
  57. О равенстве геометрических фигур
  58. Пример №3
  59. Пример №4
  60. Признаки равенства треугольников
  61. Пример №5
  62. Пример №6
  63. Равнобедренный треугольник
  64. Пример №7
  65. Пример №10
  66. Прямоугольный треугольник
  67. Первый признак равенства треугольников и его применение
  68. Пример №14
  69. Опровержение утверждений. Контрпример
  70. Перпендикуляр к прямой
  71. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  72. Пример №15
  73. Второй признак равенства треугольников и его применение
  74. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  75. Пример №16
  76. Пример №17
  77. Признак равнобедренного треугольника
  78. Пример №18
  79. Прямая и обратная теоремы
  80. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  81. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  82. Пример №19
  83. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  84. Пример №20
  85. Третий признак равенства треугольников и его применение
  86. Пример №21
  87. Свойства и признаки
  88. Признаки параллельности прямых
  89. Пример №22
  90. О существовании прямой, параллельной данной
  91. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  92. Пример №23
  93. Расстояние между параллельными прямыми
  94. Сумма углов треугольника
  95. Пример №24
  96. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  97. Внешний угол треугольника
  98. Прямоугольные треугольники
  99. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  100. Сравнение сторон и углов треугольника
  101. Неравенство треугольника
  102. Пример №25
  103. Справочный материал по треугольнику
  104. Треугольники
  105. Средняя линия треугольника и ее свойства
  106. Пример №26
  107. Треугольник и его элементы
  108. Признаки равенства треугольников
  109. Виды треугольников
  110. Внешний угол треугольника
  111. Прямоугольные треугольники
  112. Всё о треугольнике
  113. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  114. Первый и второй признаки равенства треугольников
  115. Пример №27
  116. Равнобедренный треугольник и его свойства
  117. Пример №28
  118. Признаки равнобедренного треугольника
  119. Пример №29
  120. Третий признак равенства треугольников
  121. Теоремы
  122. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  123. Параллельные прямые
  124. Пример №30
  125. Признаки параллельности двух прямых
  126. Пример №31
  127. Пятый постулат Евклида
  128. Пример №34
  129. Прямоугольный треугольник
  130. Пример №35
  131. Свойства прямоугольного треугольника
  132. Пример №36
  133. Пример №37

Видео:ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ 396 Атанасян 8 классСкачать

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ 396 Атанасян 8 класс

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Деление треугольника на части

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

Деление треугольника на части Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Основные свойства треугольника:

  • Против большей стороны лежит больший угол.
  • Против равных сторон лежат равные углы.
  • Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
  • Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Видео:Деление отрезка на равные части, перпендикуляр к прямой.Урок 4.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление отрезка на равные части, перпендикуляр к прямой.Урок 4.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

  • Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

    Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Видео:Деление угла на равные части. Урок 5. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление угла на равные части. Урок 5. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Деление треугольника на части Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Свойства равноберенного треугольника:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Видео:Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Видео:Деление отрезка в данном отношенииСкачать

Деление отрезка в данном отношении

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
  • Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
  • Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Видео:Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Как  поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

Видео:Как объяснить деление в столбик? Деление чисел уголком. Деление на многозначного на однозначное.Скачать

Как объяснить деление в столбик? Деление чисел уголком. Деление на многозначного на однозначное.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

Видео:Деление отрезка на равные части. Теорема Фалеса. ЧерчениеСкачать

Деление отрезка на равные части.  Теорема Фалеса. Черчение

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Типы треугольников

По величине углов

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

По числу равных сторон

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Видео:Как разделить угол на равные части с помощью циркуляСкачать

Как разделить угол на равные части с помощью циркуля

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Деление треугольника на части

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Медианы треугольника

Деление треугольника на части

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частей

Биссектрисы треугольника

Деление треугольника на части

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Высоты треугольника

Деление треугольника на части

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Как разделить круг на равные частиСкачать

Как разделить круг на равные части

Окружность вписанная в треугольник

Деление треугольника на части

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Окружность описанная вокруг треугольника

Деление треугольника на части

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Деление отрезка циркулем на три части. How to divide a given segment into three parts by a compass.Скачать

Деление отрезка циркулем на три части. How to divide a given segment into three parts by a compass.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Деление треугольника на части

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:7. Треугольники. Часть 2. Üçbucaqlar. 2ci hissə.Скачать

7. Треугольники. Часть 2. Üçbucaqlar. 2ci hissə.

Периметр треугольника

Деление треугольника на части

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Деление треугольника на части

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Деление треугольника на части

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Деление треугольника на части

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Деление треугольника на частиЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Деление треугольника на частиАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Деление треугольника на частиBСА или Деление треугольника на частиCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Деление треугольника на части

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Деление треугольника на частиA, Деление треугольника на частиB, Деление треугольника на частиC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Деление треугольника на частиACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Деление треугольника на части

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Деление треугольника на частиABC = Деление треугольника на частиA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиДеление треугольника на части, тоДеление треугольника на частиДеление треугольника на части

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Деление треугольника на части). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Деление треугольника на части

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Деление треугольника на части

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Деление треугольника на части, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Деление треугольника на части

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Деление треугольника на части. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Деление треугольника на части

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Деление треугольника на части

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Деление треугольника на части

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Деление треугольника на части

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаДеление треугольника на частикак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Деление треугольника на части

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Деление треугольника на части

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Деление треугольника на части

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Деление треугольника на частиВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Деление треугольника на части

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Деление треугольника на части

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Деление треугольника на части

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Деление треугольника на части. Например, Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Деление треугольника на частии т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Деление треугольника на части, то подразумевают, что Деление треугольника на частиАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Деление треугольника на части. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Деление треугольника на части. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Деление треугольника на части

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Деление треугольника на частивины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Деление треугольника на частии то совместятся и стороны:Деление треугольника на части Деление треугольника на частиЗначит, если Деление треугольника на частито Деление треугольника на части,Деление треугольника на частиЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Деление треугольника на части— два треугольника, у которыхДеление треугольника на части, Деление треугольника на частиДеление треугольника на части(рис. 1;46). Докажем, что Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Наложим Деление треугольника на частитаким образом, чтобы вершина Деление треугольника на частисовместилась А, вершина Деление треугольника на части— с В, а сторона Деление треугольника на частиналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюДеление треугольника на частиДеление треугольника на части. Поскольку Деление треугольника на части, то при таком положении точка Деление треугольника на частисовместится с С. В результате все вершины Деление треугольника на частисовместятся с соответствующими вершинами

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Деление треугольника на части

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Деление треугольника на части

Деление треугольника на частиСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Деление треугольника на части

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Деление треугольника на части

Решение:

Пусть у Деление треугольника на частисторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Деление треугольника на части, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Деление треугольника на части

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Деление треугольника на частиДеление треугольника на части, то по двум сторонам и углу между ними Деление треугольника на части. Из равенства этих треугольников следует:

а) Деление треугольника на части, то есть углы при основании Деление треугольника на частиравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Деление треугольника на части

в) Деление треугольника на части, Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Деление треугольника на части(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Деление треугольника на частиУ нихДеление треугольника на части, Поэтому Деление треугольника на части. По стороне AL и прилежащим к ней углам Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на части

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Деление треугольника на части

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Деление треугольника на части Деление треугольника на части(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Деление треугольника на части

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Деление треугольника на части

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Деление треугольника на части

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Деление треугольника на части

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Деление треугольника на части. Если представить, что фигура Деление треугольника на частиизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Деление треугольника на части(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. В таком случае фигуры Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипо определению равны.

Деление треугольника на части

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Деление треугольника на частиЗапись Деление треугольника на частиозначает «фигура Деление треугольника на частиравна фигуре Деление треугольника на части »

Рассмотрим равные треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Деление треугольника на частибудет соответствовать равный элемент треугольника Деление треугольника на части. Условимся, что в записи Деление треугольника на частимы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Деление треугольника на части, то Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Деление треугольника на части

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, у которых Деление треугольника на частиДеление треугольника на части(рис. 58). Докажем, что Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Поскольку Деление треугольника на частито треугольник Деление треугольника на частиможно наложить на треугольник Деление треугольника на частитак, чтобы точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисовместились, а стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиналожились на лучи Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисоответственно. По условию Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, следовательно, сторона Деление треугольника на частисовместится со стороной Деление треугольника на части, а сторона Деление треугольника на части— со стороной Деление треугольника на части. Таким образом, точка Деление треугольника на частисовместится с точкой Деление треугольника на части, а точка Деление треугольника на части— с точкой Деление треугольника на части, то есть стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на частитакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Деление треугольника на части, совместятся полностью. Итак, Деление треугольника на частипо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Деление треугольника на части

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Деление треугольника на частипо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Деление треугольника на части

Тогда, согласно предыдущей задаче, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Деление треугольника на частии Деление треугольника на частилежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Деление треугольника на части

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Деление треугольника на частии точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Деление треугольника на частиточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Деление треугольника на части

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Деление треугольника на части. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Деление треугольника на части, с прямой Деление треугольника на части.

Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Они имеют общую сторону BD, a Деление треугольника на части Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипо построению. Таким образом, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Деление треугольника на частиНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Деление треугольника на частиДеление треугольника на части. Итак, прямая Деление треугольника на частиперпендикулярна прямой Деление треугольника на части.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиперпендикулярные прямой Деление треугольника на части(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Деление треугольника на части. Но это невозможно, поскольку прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Деление треугольника на части, единственна.

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Деление треугольника на части. От любой полупрямой прямой Деление треугольника на частис начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Деление треугольника на части

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Деление треугольника на части

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Деление треугольника на частиТогда Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, у которых Деление треугольника на части, Деление треугольника на частиДеление треугольника на части(рис. 72). Докажем, что Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Поскольку Деление треугольника на части, то треугольник Деление треугольника на частиможно наложить на треугольник Деление треугольника на частитак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Деление треугольника на части, а точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частилежали по одну сторону от прямой Деление треугольника на части. По условию Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, поэтому сторона Деление треугольника на частиналожится на луч Деление треугольника на части, а сторона Деление треугольника на части— на луч Деление треугольника на части. Тогда точка Деление треугольника на части— общая точка сторон Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— будет лежать как на луче Деление треугольника на части, так и на луче Деление треугольника на части, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, а также Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Значит, при наложении треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, совместятся полностью, то есть по определению Деление треугольника на части. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Деление треугольника на частиНайдите угол D если Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Деление треугольника на части. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Деление треугольника на части. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Деление треугольника на частипо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Деление треугольника на частипо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Деление треугольника на части

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Деление треугольника на частикак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Деление треугольника на части

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Деление треугольника на части. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Деление треугольника на части(рис. 85). Соединим точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частии рассмотрим треугольники Деление треугольника на части. У них сторона Деление треугольника на частиобщая, Деление треугольника на частии AD = CD по построению. Таким образом, Деление треугольника на частипо первому признаку. Отсюда Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Поскольку по построению точка Деление треугольника на частилежит на луче АВ, угол Деление треугольника на частисовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Деление треугольника на части. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисовпадают, то есть точка Деление треугольника на частилежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Деление треугольника на части

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Деление треугольника на части

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Деление треугольника на части

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Деление треугольника на частитогда Деление треугольника на частикак углы, смежные с равными углами. Значит, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Деление треугольника на частито Деление треугольника на частиТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Деление треугольника на частито Деление треугольника на частиТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Деление треугольника на части

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Деление треугольника на частикак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Деление треугольника на части, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Деление треугольника на частиа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Деление треугольника на частино второму признаку Деление треугольника на частиОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Деление треугольника на части, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Деление треугольника на частии биссектриса Деление треугольника на части, не совпадающие с Деление треугольника на части— Тогда по доказанному выше отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частитакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— данные равнобедренные треугольники с основаниями Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиДеление треугольника на части, Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— Медианы этих треугольников, причем Деление треугольника на части(рис. 102). Докажем, что Деление треугольника на части

Рассмотрим треугольники Деление треугольника на части. По условию Деление треугольника на части. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиявляются также биссектрисами равных углов Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, то Деление треугольника на частиотрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Деление треугольника на части90°. Таким образом,Деление треугольника на части, по второму признаку равенства треугольников, откуда Деление треугольника на частитогда и Деление треугольника на части Деление треугольника на частиЗначит, треугольники Деление треугольника на частиравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Деление треугольника на части

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Деление треугольника на части

На луче ВD от точки D отложим отрезок Деление треугольника на частиравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частиУ них АD = СD по определению медианы, Деление треугольника на частипо построению, Деление треугольника на частикак вертикальные. Таким образом, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Деление треугольника на части Деление треугольника на части. Рассмотрим теперь треугольник Деление треугольника на частиС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Деление треугольника на частитогда Деление треугольника на частиПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Деление треугольника на частиравнобедренный с основанием Деление треугольника на частиОтсюда Деление треугольника на частиа поскольку по доказанному Деление треугольника на частиТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Деление треугольника на части. Доказав его равенство с треугольником Деление треугольника на части, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, у которых Деление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на части.

Приложим треугольник Деление треугольника на частик треугольнику Деление треугольника на частитак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Деление треугольника на части, вершина Деление треугольника на части— с вершиной В, а точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частилежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Деление треугольника на частипроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Деление треугольника на частипроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Деление треугольника на частисовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Деление треугольника на части Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Рис. Прикладывание треугольника Деление треугольника на частик треугольнику Деление треугольника на части

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, то треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравнобедренные с основанием Деление треугольника на части. По свойству равнобедренного треугольника Деление треугольника на части. Тогда Деление треугольника на частикак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемДеление треугольника на части, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— данные треугольники с медианами Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, соответственно, причем Деление треугольника на частиДеление треугольника на части(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиВ них Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, по условию, Деление треугольника на частикак половины равных сторон Деление треугольника на частии Деление треугольника на частито есть Деление треугольника на частипо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Деление треугольника на частиТогда Деление треугольника на частипо первому признаку Деление треугольника на частипо условию, Деление треугольника на частипо доказанному).

Деление треугольника на части

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Деление треугольника на части

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Деление треугольника на части(рис. 119). Докажем, что Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Если углы 1 и 2 прямые, то Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Тогда Деление треугольника на частипо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Деление треугольника на части, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Деление треугольника на части

Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. У них Деление треугольника на частипо условию, Деление треугольника на частикак вертикальные и Деление треугольника на частипо построению. Итак, Деление треугольника на частипо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Деление треугольника на частито есть прямая Деление треугольника на частиперпендикулярна прямым а и b. Тогда Деление треугольника на частипо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Деление треугольника на части, то прямые параллельны.

Действительно, если Деление треугольника на части(рис. 120) и по теореме о смежных углах Деление треугольника на части, то Деление треугольника на частиТогда по доказанной теореме Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Деление треугольника на части(рис. 121), a Деление треугольника на частикак вертикальные, то Деление треугольника на частиТогда но доказанной теореме Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Деление треугольника на части— биссектриса угла Деление треугольника на частиДокажите, что Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Решение:

По условию задачи треугольник Деление треугольника на частиравнобедренный с основанием Деление треугольника на частиПо свойству углов равнобедренного треугольника Деление треугольника на частиВместе с тем Деление треугольника на частитак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Деление треугольника на части Деление треугольника на частиУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Деление треугольника на частии секущей Деление треугольника на частиПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Деление треугольника на частичто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Деление треугольника на части

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Деление треугольника на части

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Деление треугольника на частитак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Деление треугольника на частии b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Деление треугольника на частиНо Деление треугольника на частипо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Деление треугольника на части

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Деление треугольника на части(рис. 134). Поскольку Деление треугольника на частито Деление треугольника на частиТогда:

Деление треугольника на части°, так как углы 1 и 5 соответственные; Деление треугольника на части, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Деление треугольника на частитак как углы 2 и 3 вертикальные; Деление треугольника на частитак как углы 5 и 6 смежные; Деление треугольника на частитак как углы 7 и 3 соответственные; Деление треугольника на частитак как углы 8 и 4 соответственные.

Деление треугольника на части

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Деление треугольника на части— расстояния от точек Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипрямой Деление треугольника на частидо прямой Деление треугольника на части(рис. 135). Докажем, что

Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Деление треугольника на части

Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиУ них сторона Деление треугольника на частиобщая, Деление треугольника на частикак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на частии секущей Деление треугольника на частикак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на частии секущей Деление треугольника на части. Таким образом, Деление треугольника на частипо второму признаку равенства треугольников, откуда Деление треугольника на частиТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Деление треугольника на частито есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Деление треугольника на части, то есть Деление треугольника на части— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Деление треугольника на части

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Деление треугольника на частиПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Деление треугольника на частикак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Деление треугольника на частиТеорема доказана.

Деление треугольника на части

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Деление треугольника на части.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Деление треугольника на части(рис. 142, а). Тогда Деление треугольника на частикак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Деление треугольника на частиДеление треугольника на частиЗначит, Деление треугольника на частито есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Деление треугольника на части(рис. 142, б). Тогда Деление треугольника на частикак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Деление треугольника на части

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Деление треугольника на части

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Деление треугольника на части

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Деление треугольника на части— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Деление треугольника на частиС другой стороны, по теореме о смежных углах Деление треугольника на частиОтсюда, Деление треугольника на частичто и требовалось доказать.

Деление треугольника на части

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Деление треугольника на частиТогда для их суммы имеем: Деление треугольника на частиДеление треугольника на частиДеление треугольника на части

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Деление треугольника на части, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Деление треугольника на части

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Деление треугольника на части, то другие острые углы этих треугольников равны Деление треугольника на части, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Деление треугольника на части— данные прямоугольные треугольники, в которых Деление треугольника на части90° , Деление треугольника на части(рис. 152). Докажем, что Деление треугольника на части

На продолжениях сторон Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиотложим отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, равные катетам Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисоответственно. Тогда Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, по двум катетам. Таким образом, Деление треугольника на части. Это значит, что Деление треугольника на частипо трем сторонам. Отсюда Деление треугольника на частиИ наконец, Деление треугольника на части, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Деление треугольника на частиравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Деление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на частиОчевидно, что в треугольнике Деление треугольника на частиОтложим на продолжении стороны Деление треугольника на частиотрезок Деление треугольника на части, равный Деление треугольника на части(рис. 153). Прямоугольные треугольники Деление треугольника на частиравны по двум катетам. Отсюда следует, что Деление треугольника на частии Деление треугольника на части Деление треугольника на частиТаким образом, треугольник Деление треугольника на частиравносторонний, а отрезок Деление треугольника на части— его медиана, то есть Деление треугольника на частичто и требовалось доказать.

Деление треугольника на части

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Деление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на части. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Деление треугольника на частито точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Деление треугольника на частиОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Деление треугольника на частиКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Деление треугольника на части, поэтому Деление треугольника на части. Следовательно, имеем: Деление треугольника на частиоткуда Деление треугольника на части

2. Пусть в треугольнике Деление треугольника на частиДокажем от противного, что Деление треугольника на части. Если это не так, то Деление треугольника на частиили Деление треугольника на части. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Деление треугольника на части. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Деление треугольника на части. В обоих случаях имеем противоречие условию Деление треугольника на части. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Деление треугольника на части. Теорема доказана.

Деление треугольника на части

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Деление треугольника на части. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Деление треугольника на частиНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Деление треугольника на частиТаким образом, в треугольнике Деление треугольника на части. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Деление треугольника на частиТеорема доказана.

Деление треугольника на части

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Деление треугольника на части АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Деление треугольника на части

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Деление треугольника на частиравный Деление треугольника на частиДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Деление треугольника на частиравны по двум катетам, откуда Деление треугольника на частиОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Деление треугольника на частибудет наименьшей в случае, когда точки Деление треугольника на частилежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Деление треугольника на частис прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Деление треугольника на части

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Деление треугольника на части

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Деление треугольника на части

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Деление треугольника на части— средняя линия треугольника Деление треугольника на части

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Деление треугольника на части— средняя линия треугольника Деление треугольника на части(рис. 105). Докажем, что Деление треугольника на частии Деление треугольника на части

1) Проведем через точку Деление треугольника на частипрямую, параллельную Деление треугольника на частиПо теореме Фалеса она пересекает сторону Деление треугольника на частив ее середине, то есть в точке Деление треугольника на частиСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Деление треугольника на частиПоэтому Деление треугольника на части

2) Проведем через точку Деление треугольника на частипрямую, параллельную Деление треугольника на частикоторая пересекает Деление треугольника на частив точке Деление треугольника на частиТогда Деление треугольника на части(по теореме Фалеса). Четырехугольник Деление треугольника на части— параллелограмм.

Деление треугольника на части(по свойству параллелограмма), но Деление треугольника на части

Поэтому Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Деление треугольника на части— данный четырехугольник, а точки Деление треугольника на части— середины его сторон (рис. 106). Деление треугольника на части— средняя линия треугольника Деление треугольника на частипоэтому Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиАналогично Деление треугольника на части

Таким образом, Деление треугольника на частиТогда Деление треугольника на части— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Деление треугольника на части— средняя линия треугольника Деление треугольника на частиПоэтому Деление треугольника на частиСледовательно, Деление треугольника на части— также параллелограмм, откуда: Деление треугольника на части

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Деление треугольника на части

Доказательство:

Пусть Деление треугольника на части— точка пересечения медиан Деление треугольника на частии Деление треугольника на частитреугольника Деление треугольника на части(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Деление треугольника на частигде Деление треугольника на части— середина Деление треугольника на части— середина Деление треугольника на части

2) Деление треугольника на части— средняя линия треугольника

Деление треугольника на частипоэтому Деление треугольника на частии Деление треугольника на части

3) Деление треугольника на части— средняя линия треугольника Деление треугольника на частипоэтому Деление треугольника на частии Деление треугольника на части

4) Следовательно, Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиЗначит, Деление треугольника на части— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Деление треугольника на части— точка пересечения диагоналей Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипараллелограмма Деление треугольника на частипоэтому Деление треугольника на частиНо Деление треугольника на части Деление треугольника на частиТогда Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиСледовательно, точка Деление треугольника на частиделит каждую из медиан Деление треугольника на частии Деление треугольника на частив отношении 2:1, считая от вершин Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисоответственно.

6) Точка пересечения медиан Деление треугольника на частии Деление треугольника на частидолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Деление треугольника на частикоторая в таком отношении делит медиану Деление треугольника на частито медиана Деление треугольника на частитакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Деление треугольника на частивершины треугольника; отрезки Деление треугольника на части Деление треугольника на частистороны треугольника; Деление треугольника на части Деление треугольника на частиуглы треугольника.

Деление треугольника на части

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Деление треугольника на части

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Деление треугольника на части— медиана треугольника Деление треугольника на части

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Деление треугольника на части— биссектриса треугольника Деление треугольника на части

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Деление треугольника на части

На рисунке 270 Деление треугольника на части— высота Деление треугольника на частиСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Деление треугольника на части

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Деление треугольника на части

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Деление треугольника на части

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Деление треугольника на части— равнобедренный, Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— его боковые стороны, Деление треугольника на частиоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Деление треугольника на части

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Деление треугольника на части— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Деление треугольника на частипроведенная к основанию Деление треугольника на частиравнобедренного треугольника Деление треугольника на частиявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Деление треугольника на части

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Деление треугольника на части— внешний угол треугольника Деление треугольника на части

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

Прямоугольные треугольники

Если Деление треугольника на частито Деление треугольника на части— прямоугольный (рис. 281). Деление треугольника на частии Деление треугольника на частикатеты прямоугольного треугольника; Деление треугольника на частигипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Деление треугольника на части, Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиназывают треугольником. Точки Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на частиназывают вершинами, а отрезки Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на частисторонами треугольника.

Деление треугольника на части

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Деление треугольника на части, или Деление треугольника на части, или Деление треугольника на частии т. д. (читают: «треугольник Деление треугольника на части, треугольник Деление треугольника на части» и т. д.). Углы Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части(рис. 110) называют углами треугольника Деление треугольника на части.

В треугольнике Деление треугольника на части, например, угол Деление треугольника на частиназывают углом, противолежащим стороне Деление треугольника на части, углы Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— углами, прилежащими к стороне Деление треугольника на части, сторону Деление треугольника на частистороной, противолежащей углу Деление треугольника на части, стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисторонами, прилежащими к углу Деление треугольника на части(рис. 110).

Деление треугольника на части

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Деление треугольника на частииспользуют обозначение Деление треугольника на части.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Деление треугольника на части

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Деление треугольника на части(рис. 109). Точка Деление треугольника на частине принадлежит отрезку Деление треугольника на части. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Деление треугольника на части. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Деление треугольника на части, Деление треугольника на части.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Деление треугольника на части

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Деление треугольника на части

На рисунке 113 изображены равные треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Записывают: Деление треугольника на частиДеление треугольника на части. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисовпадут. Тогда можно записать: Деление треугольника на части, Деление треугольника на частиДеление треугольника на части.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Деление треугольника на частии луча Деление треугольника на частисуществует треугольник Деление треугольника на частиравный треугольнику Деление треугольника на части, такой, что Деление треугольника на частии сторона Деление треугольника на частипринадлежит лучу Деление треугольника на части, а вершина Деление треугольника на частилежит в заданной полуплоскости относительно прямой Деление треугольника на части(рис. 114).

Деление треугольника на части

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Деление треугольника на частии не принадлежащую ей точку Деление треугольника на части(рис. 115). Предположим, что через точку Деление треугольника на частипроходят две прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, перпендикулярные прямой Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Деление треугольника на части, равный треугольнику Деление треугольника на части(рис. 116). Тогда Деление треугольника на части. Отсюда Деление треугольника на части, а значит, точки Деление треугольника на части, Деление треугольника на части( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Деление треугольника на частитакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиимеют две точки пересечения: Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Деление треугольника на части

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Деление треугольника на части

На рисунке 117 изображены равные фигуры Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Пишут: Деление треугольника на части. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Деление треугольника на части

На рисунке 118 отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— высоты треугольника Деление треугольника на части. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Деление треугольника на части

На рисунке 119 отрезок Деление треугольника на части— медиана треугольника Деление треугольника на части.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Деление треугольника на части

На рисунке 120 отрезок Деление треугольника на части— биссектриса треугольника Деление треугольника на части.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Деление треугольника на части, обозначают соответственно Деление треугольника на части. Длины высот обозначают Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, медиан — Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, биссектрис — Деление треугольника на части. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Деление треугольника на части

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Деление треугольника на частии Деление треугольника на частивыполняются шесть условий Деление треугольника на части, Деление треугольника на части,Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на частиДеление треугольника на части, Деление треугольника на частито очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Деление треугольника на части

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиу которых Деление треугольника на части(рис. 128). Докажем, что Деление треугольника на частиДеление треугольника на части

Наложим Деление треугольника на частина Деление треугольника на частитак, чтобы луч Деление треугольника на частисовместился с лучом Деление треугольника на части, а луч Деление треугольника на частисовместился с лучом Деление треугольника на части. Это можно сделать, так как по условию Деление треугольника на частиПоскольку по условию Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, то при таком наложении сторона Деление треугольника на частисовместится со стороной Деление треугольника на части, а сторона Деление треугольника на части— со стороной Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Деление треугольника на части

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Деление треугольника на части.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Деление треугольника на части

Доказательство: Пусть Деление треугольника на части— произвольная точка серединного перпендикуляра Деление треугольника на частиотрезка Деление треугольника на части, точка Деление треугольника на части— середина отрезка Деление треугольника на части. Надо доказать, что Деление треугольника на части. Если точка Деление треугольника на частисовпадает с точкой Деление треугольника на части(а это возможно, так как Деление треугольника на части— произвольная точка прямой а), то Деление треугольника на части. Если точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частине совпадают, то рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части(рис. 130).

В этих треугольниках Деление треугольника на части, так как Деление треугольника на части— середина отрезка Деление треугольника на части. Сторона Деление треугольника на части— общая, Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, у которых Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, (рис. 131). Докажем, что Деление треугольника на частиДеление треугольника на части.

Наложим Деление треугольника на частина Деление треугольника на частитак, чтобы точка Деление треугольника на частисовместилась с точкой Деление треугольника на части, отрезок Деление треугольника на части— с отрезком Деление треугольника на части(это возможно, так как Деление треугольника на части) и точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частилежали в одной полуплоскости относительно прямой Деление треугольника на части. Поскольку Деление треугольника на частии Деление треугольника на частито луч Деление треугольника на частисовместится с лучом Деление треугольника на части, а луч Деление треугольника на части— с лучом Деление треугольника на части. Тогда точка Деление треугольника на части— общая точка лучей Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— совместится с точкой Деление треугольника на части— общей точкой лучей Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Значит, Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Деление треугольника на части

Пример №27

На рисунке 132 точка Деление треугольника на части— середина отрезка Деление треугольника на части. Докажите, что Деление треугольника на части.

Решение:

Рассмотрим Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Деление треугольника на части, так как точка Деление треугольника на части— середина отрезка Деление треугольника на части. Деление треугольника на частипо условию. Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как вертикальные. Следовательно, Деление треугольника на частипо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, так как Деление треугольника на части. Деление треугольника на части— общая сторона. Следовательно, Деление треугольника на частипо двум сторонам и углу между ними. Тогда Деление треугольника на части.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Деление треугольника на части

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Деление треугольника на части, у которого Деление треугольника на части.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Деление треугольника на частина рисунке 155). При этом угол Деление треугольника на частиназывают углом при вершине, а углы Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиуглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Деление треугольника на части

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Деление треугольника на части. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Деление треугольника на части, у которого Деление треугольника на части, отрезок Деление треугольника на части— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части.

В треугольниках Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисторона Деление треугольника на части— общая, Деление треугольника на части, так как по условию Деление треугольника на части— биссектриса угла Деление треугольника на части, стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Деление треугольника на части— медиана;
  3. Деление треугольника на части. Но Деление треугольника на части. Отсюда следует, что Деление треугольника на части, значит, Деление треугольника на части— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Деление треугольника на части

Пример №28

Отрезок Деление треугольника на части— медиана равнобедренного треугольника Деление треугольника на части, проведенная к основанию. На сторонах Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиотмечены соответственно точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частитак, что Деление треугольника на части. Докажите равенство треугольников Деление треугольника на частии Деление треугольника на части.

Решение:

Имеем:Деление треугольника на части, Деление треугольника на части(рис. 158). Так как Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, то Деление треугольника на части. Деление треугольника на части, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Деление треугольника на части— общая сторона треугольников Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на частипо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, у которого отрезок Деление треугольника на части— медиана и высота. Надо доказать, что Деление треугольника на части(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Деление треугольника на части— серединный перпендикуляр отрезка Деление треугольника на части.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Деление треугольника на части.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, у которого отрезок Деление треугольника на части— биссектриса и высота. Надо доказать, что Деление треугольника на части(рис. 169). В треугольниках Деление треугольника на частии Деление треугольника на частисторона Деление треугольника на части— общая, Деление треугольника на части, так как по условию Деление треугольника на части— биссектриса угла Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, так как по условию Деление треугольника на части— высота. Следовательно, Деление треугольника на части Деление треугольника на частипо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, у которогоДеление треугольника на части. Надо доказать, что Деление треугольника на части.

Проведем серединный перпендикуляр Деление треугольника на частистороны Деление треугольника на части. Докажем, что прямая Деление треугольника на частипроходит через вершину Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Предположим, что это не так. Тогда прямая Деление треугольника на частипересекает или сторону Деление треугольника на части(рис. 170), или сторону Деление треугольника на части(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Деление треугольника на части— точка пересечения прямой Деление треугольника на частисо стороной Деление треугольника на части. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на части— равнобедренный, а значит Деление треугольника на части. Но по условиюДеление треугольника на части. Тогда имеем: Деление треугольника на части, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Деление треугольника на части

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Деление треугольника на частипроходит через точку Деление треугольника на части(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Деление треугольника на части.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, у которого отрезок Деление треугольника на части— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Деление треугольника на части. На луче Деление треугольника на частиотложим отрезок Деление треугольника на части, равный отрезку Деление треугольника на части(рис. 173). В треугольниках Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, так как по условию Деление треугольника на части— медиана, Деление треугольника на частипо построению, Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как вертикальные. Следовательно, Деление треугольника на части Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Деление треугольника на части— биссектриса угла Деление треугольника на части, то Деление треугольника на частиДеление треугольника на части. С учетом доказанного получаем, что Деление треугольника на частиДеление треугольника на части. Тогда по теореме 10.3 Деление треугольника на части— равнобедренный, откуда Деление треугольника на части. Но уже доказано, что Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Пример №29

В треугольнике Деление треугольника на частипроведена биссектриса Деление треугольника на части(рис. 174), Деление треугольника на части,Деление треугольника на части. Докажите, что Деление треугольника на части.

Решение:

Так как Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— смежные, то Деление треугольника на частиДеление треугольника на части. Следовательно, в треугольнике Деление треугольника на частиДеление треугольника на части.

Тогда Деление треугольника на части— равнобедренный с основанием Деление треугольника на части, и его биссектриса Деление треугольника на части( Деление треугольника на части— точка пересечения Деление треугольника на частии Деление треугольника на части) является также высотой, т. е. Деление треугольника на части.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части(рис. 177), у которых Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части Деление треугольника на части(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Деление треугольника на частиДеление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Расположим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, так, чтобы вершина Деление треугольника на частисовместилась с вершиной Деление треугольника на частивершина Деление треугольника на части— с Деление треугольника на частиа вершины Деление треугольника на частии Деление треугольника на частилежали в разных полуплоскостях относительно прямой Деление треугольника на части(рис. 178). Проведем отрезок Деление треугольника на части. Поскольку Деление треугольника на части, то треугольник Деление треугольника на части— равнобедренный, значит, Деление треугольника на части. Аналогично можно доказать, что Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на части. Тогда Деление треугольника на части Деление треугольника на частипо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Деление треугольника на частипересекает отрезок Деление треугольника на частиво внутренней точке. На самом деле отрезок Деление треугольника на частиможет проходить через один из концов отрезка Деление треугольника на части, например, через точку Деление треугольника на части(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Деление треугольника на части(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Деление треугольника на части

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Деление треугольника на части

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Деление треугольника на части

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Деление треугольника на части

Доказательство: Пусть точка Деление треугольника на частиравноудалена от концов отрезка Деление треугольника на части, т. е. Деление треугольника на части(рис. 183). Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, где Деление треугольника на части— середина отрезка Деление треугольника на части. Тогда Деление треугольника на частипо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Деление треугольника на части. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Деление треугольника на части— серединный перпендикуляр отрезка Деление треугольника на части.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Деление треугольника на частине принадлежит прямой Деление треугольника на части. Если точка Деление треугольника на частипринадлежит прямой Деление треугольника на части, то она совпадает с серединой отрезка Деление треугольника на части, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Деление треугольника на частиявляется серединой отрезка Деление треугольника на части, то обращение к треугольникам Деление треугольника на частии Деление треугольника на частибыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Деление треугольника на части

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Пишут: Деление треугольника на части(читают: «прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипараллельны» или «прямая а параллельна прямой Деление треугольника на части»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Деление треугольника на части

На рисунке 193 отрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипараллельны. Пишут: Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Деление треугольника на части

Доказательство: На рисунке 195 Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Надо доказать, чтоДеление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Предположим, что прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипересекаются в некоторой точке Деление треугольника на части(рис. 196). Тогда через точку Деление треугольника на части, не принадлежащую прямой Деление треугольника на части, проходят две прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, перпендикулярные прямой Деление треугольника на части. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Деление треугольника на части.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Деление треугольника на части

Следствие. Через данную точку Деление треугольника на части, не принадлежащую прямой Деление треугольника на части, можно провести прямую Деление треугольника на части, параллельную прямой Деление треугольника на части.

Доказательство: Пусть точка Деление треугольника на части не принадлежит прямой Деление треугольника на части (рис. 198).

Деление треугольника на части

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Деление треугольника на части прямую Деление треугольника на части, перпендикулярную прямой Деление треугольника на части. Теперь через точку Деление треугольника на части проведем прямую Деление треугольника на части, перпендикулярную прямой Деление треугольника на части. В силу теоремы 13.1 Деление треугольника на части.

Можно ли через точку Деление треугольника на части(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Деление треугольника на части? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Деление треугольника на частииДеление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Предположим, что прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частине параллельны, а пересекаются в некоторой точке Деление треугольника на части(рис. 199). Получается, что через точку Деление треугольника на частипроходят две прямые, параллельные прямой Деление треугольника на части, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Деление треугольника на части.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Деление треугольника на части

Решение:

Пусть прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипараллельны, прямая Деление треугольника на частипересекает прямую Деление треугольника на частив точке Деление треугольника на части(рис. 200). Предположим, что прямая Деление треугольника на частине пересекает прямую Деление треугольника на части, тогда Деление треугольника на части. Но в этом случае через точку Деление треугольника на частипроходят две прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, параллельные прямой Деление треугольника на части, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Деление треугольника на частипересекает прямую Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частипересечь третьей прямой Деление треугольника на части, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Деление треугольника на частиа и Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Деление треугольника на части

Доказательство: На рисунке 205 прямая Деление треугольника на частиявляется секущей прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Если Деление треугольника на части(рис. 206), то параллельность прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиследует из теоремы 13.1.

Деление треугольника на части

Пусть теперь прямая Деление треугольника на частине перпендикулярна ни прямой Деление треугольника на части, ни прямой Деление треугольника на части. Отметим точку Деление треугольника на части— середину отрезка Деление треугольника на части(рис. 207). Через точку Деление треугольника на частипроведем перпендикуляр Деление треугольника на частик прямой Деление треугольника на части. Пусть прямая Деление треугольника на частипересекает прямую Деление треугольника на частив точке Деление треугольника на части. Имеем: Деление треугольника на частипо условию; Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как вертикальные.

Следовательно, Деление треугольника на частипо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Деление треугольника на части. Мы показали, что прямые Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиперпендикулярны прямой Деление треугольника на части, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Деление треугольника на части

Доказательство: На рисунке 208 прямая Деление треугольника на частиявляется секущей прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на части.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Деление треугольника на части. Тогда Деление треугольника на части. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Деление треугольника на части.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Деление треугольника на части

Доказательство: На рисунке 209 прямая Деление треугольника на частиявляется секущей прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Докажем, что Деление треугольника на части.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Деление треугольника на части. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Деление треугольника на части. ▲

Деление треугольника на части

Пример №31

На рисунке 210 Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Докажите, что Деление треугольника на части.

Решение:

Рассмотрим Деление треугольника на частии Деление треугольника на части. Деление треугольника на части, Деление треугольника на части— по условию. Деление треугольника на части— общая сторона. Значит, Деление треугольника на частипо двум сторонам и углу между ними. Тогда Деление треугольника на части. Кроме того, Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— накрест лежащие при прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на частии секущей Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на части.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Деление треугольника на части

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Деление треугольника на части. Требуется доказать, что Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Через вершину Деление треугольника на частипроведем прямую Деление треугольника на части, параллельную прямой Деление треугольника на части(рис. 245). Имеем: Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны как накрест лежащие при параллельных прямых Деление треугольника на частии Деление треугольника на частии секущей Деление треугольника на части. Аналогично доказываем, что Деление треугольника на части. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на части.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Деление треугольника на части

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Деление треугольника на части.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Деление треугольника на части— внешний. Надо доказать, что Деление треугольника на части.

Очевидно, что Деление треугольника на части. Та как Деление треугольника на частиДеление треугольника на части, то Деление треугольника на части, отсюда Деление треугольника на части.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, у которого Деление треугольника на части. Надо доказать, что Деление треугольника на части(рис. 247).

Поскольку Деление треугольника на части, то на стороне Деление треугольника на частинайдется такая точка Деление треугольника на части, что Деление треугольника на части. Получили равнобедренный треугольник Деление треугольника на части, в котором Деление треугольника на части.

Так как Деление треугольника на части— внешний угол треугольника Деление треугольника на части, то Деление треугольника на части. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Деление треугольника на части

Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, у которого Деление треугольника на части. Надо доказать, что Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

Поскольку Деление треугольника на части, то угол Деление треугольника на частиможно разделить на два угла Деление треугольника на частии Деление треугольника на частитак, что Деление треугольника на части(рис. 248). Тогда Деление треугольника на части— равнобедренный с равными сторонами Деление треугольника на частии Деление треугольника на части.

Используя неравенство треугольника, получим: Деление треугольника на части.

Пример №34

Медиана Деление треугольника на частитреугольника Деление треугольника на частиравна половине стороны Деление треугольника на части. Докажите, что Деление треугольника на части— прямоугольный.

Деление треугольника на части

Решение:

По условию Деление треугольника на части(рис. 249). Тогда в треугольнике Деление треугольника на части. Аналогично Деление треугольника на части, и в треугольнике Деление треугольника на части. В Деление треугольника на части: Деление треугольника на части. Учитывая, что Деление треугольника на частиДеление треугольника на части, имеем:

Деление треугольника на части.

Следовательно, Деление треугольника на части— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Деление треугольника на части, у которого Деление треугольника на части.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Деление треугольника на части

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Деление треугольника на части

Доказательство: Рассмотрим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, у которых Деление треугольника на части, Деление треугольника на части, Деление треугольника на части(рис. 256). Надо доказать, что Деление треугольника на части.

Расположим треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частитак, чтобы вершина Деление треугольника на частисовместилась Деление треугольника на частивершиной Деление треугольника на частивершина Деление треугольника на части— с вершиной Деление треугольника на части, а точки Деление треугольника на частии Деление треугольника на частилежали в разных полуплоскостях относительно прямой Деление треугольника на части(рис. 257).

Деление треугольника на части

Имеем: Деление треугольника на части. Значит, угол Деление треугольника на части— развернутый, и тогда точки Деление треугольника на частилежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Деление треугольника на частис боковыми сторонами Деление треугольника на частии Деление треугольника на части, и высотой Деление треугольника на части(рис. 257). Тогда Деление треугольника на части— медиана этого треугольника, и Деление треугольника на части Деление треугольника на частиСледовательно, Деление треугольника на частипо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Деление треугольника на части

Решение:

В треугольниках Деление треугольника на частии Деление треугольника на части(рис. 258) Деление треугольника на части, Деление треугольника на частиотрезки Деление треугольника на частии Деление треугольника на части— биссектрисы, Деление треугольника на части.

Так как Деление треугольника на части

Деление треугольника на части

то прямоугольные треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Деление треугольника на частии прямоугольные треугольники Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Деление треугольника на части

На рисунке 267 отрезок Деление треугольника на части— перпендикуляр, отрезок Деление треугольника на части— наклонная, Деление треугольника на части. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, в котором Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Надо доказать, что Деление треугольника на части.

Деление треугольника на части

На прямой Деление треугольника на частиотложим отрезок Деление треугольника на части, равный отрезку Деление треугольника на части(рис. 268). Тогда Деление треугольника на частипо двум катетам. Действительно, стороны Деление треугольника на частии Деление треугольника на частиравны по построению, Деление треугольника на части— общая сторона этих треугольников и Деление треугольника на части. Тогда Деление треугольника на части. Отсюда Деление треугольника на части. Следовательно, Деление треугольника на частии треугольник Деление треугольника на части— равносторонний. Значит,

Деление треугольника на части

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Деление треугольника на части, в котором Деление треугольника на части, Деление треугольника на части. Надо доказать, что Деление треугольника на части. На прямой Деление треугольника на частиотложим отрезок Деление треугольника на части, равный отрезку Деление треугольника на части(рис. 268). Тогда Деление треугольника на части. Кроме того, отрезок Деление треугольника на частиявляется медианой и высотой треугольника Деление треугольника на части, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника Деление треугольника на части. Теперь ясно, что Деление треугольника на частии треугольник Деление треугольника на части— равносторонний. Так как отрезок Деление треугольника на части— биссектриса треугольника Деление треугольника на части, то Деление треугольника на части.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Поделиться или сохранить к себе: