Решение:
Решение: Найдем длины сторон и длины диагоналей по формуле расстояния отрезка, по по заданным координатам его концов. d=корень ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2) KM= корень ((0-1)^2+(-6-0)^2+(0-1)^2)=корень(38) MP= корень ((1-0)^2+(0-0)^2+(1-2)^2) )=корень(2) PT= корень ((0-(-1))^2+(0-(-6))^2+(2-1)^2)= корень(38) KT= корень ((0-(-1))^2+(-6-(-6))^2+(0-1)^2)==корень(2) KP= корень ((0-0)^2+(-6-0)^2+(0-2)^2)=корень(40) MT= корень ((1-(-1))^2+(0-(-6))^2+(1-1)^2) =корень(40) Если противоположные стороны четырехугольника равны, то он параллелограмм(признак параллелограмма) KM=PT,MP=KT, значит KMPT является паралелограмом Если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник (признак прямоугольника) KP=МT, значит KMPT является прямоугольником. Доказано.
- Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: А (–6; 1), В (0; 5), С (6; –4), D (0; –8). Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
- Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?
- Определение параллелограмма
- Свойства фигуры
- Основные признаки
- Пошаговое доказательство
- 🎬 Видео
Видео:Прямоугольник. 8 класс.Скачать
Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: А (–6; 1), В (0; 5),
С (6; –4), D (0; –8). Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите
координаты точки пересечения его диагоналей.
АС(6+6,-4-1) т.е. АС(12,-5) значит середина диагонали равна О(0,-1.5). вектор АВ (0+6,5-1) т.е. (6, 4), вектор ДС аналогично (6, 4). Координаты векторов равны, значит вектора равны АВ=ДС. Доказать что прямоугольник, воспользуемся теоремой Пифагора |ВД|^2=|АВ|^2+|АД|^2. Это выполниться, то четырехугольник прямоугольник.
Если ответ по предмету Геометрия отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.
Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать
Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?
Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.
Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать
Определение параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.
Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.
Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.
Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать
Свойства фигуры
Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:
- смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
- равные отрезки;
- одинаковые по величине противоположные углы;
- четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
- фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
- равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
- симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.
Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.
Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.
Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.
Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.
Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.
Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать
Основные признаки
Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:
- попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
- попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
- равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
- пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
- МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2
Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:
Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:
Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.
Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.
В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Пошаговое доказательство
Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:
Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.
Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:
Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.
🎬 Видео
8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать
8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать
Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ задание 18 найти площадь четырехугольника с заданными координатами вершинСкачать
8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
ПРЯМОУГОЛЬНИК. §4 геометрия 8 классСкачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать