Использование векторов в физике

Теория:

Изучая электричество и магнетизм, мы рассмотрим ещё некоторые величины, имеющие направление.

1. Силовая характеристика электрического поля — в екторы напряжённости.

положительный точечный заряд порождает электрическое поле.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

2. Вектор магнитной индукции даёт характеристику магнитному полю, порождённому электрическим током, в каждой точке пространства.

прямолинейный проводник с током порождает магнитное поле.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

ВЕКТОР

ВЕКТОР. В физике и математике вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они «скалярами».

Векторная запись используется при работе с величинами, которые невозможно задать полностью с помощью обычных чисел. Например, мы хотим описать положение предмета относительно некоторой точки. Мы можем сказать, сколько километров от точки до предмета, но не можем полностью определить его местоположение, пока не узнаем направление, в котором он находится. Таким образом, местонахождение предмета характеризуется численным значением (расстоянием в километрах) и направлением.

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как на рис. 1. Например, для того чтобы представить графически силу в пять килограммов, надо нарисовать отрезок прямой длиной в пять единиц в направлении действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от A к B; если бы сила действовала от B к A, то мы бы записали или . Для удобства векторы обычно обозначаются полужирными прописными буквами (A, B, C и так далее); векторы A и –A имеют равные численные значения, но противоположны по направлению. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.

Два вектора называются равными (или свободными), если их модули и направления совпадают. В механике и физике этим определением, однако, надо пользоваться с осторожностью, так как две равных силы, приложенные к различным точкам тела в общем случае будут приводить к различным результатам. В связи с этим векторы подразделяются на «связанные» или «скользящие», следующим образом:

Связанные векторы имеют фиксированные точки приложения. Например, радиус-вектор указывает положение точки относительно некоторого фиксированного начала координат. Связанные векторы считаются равными, если у них совпадают не только модули и направления, но они имеют и общую точку приложения.

Скользящими векторами называются равные между собой векторы, расположенные на одной прямой.

Видео:Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Сложение векторов.

Идея сложения векторов возникла из того, что мы можем найти единственный вектор, который оказывает то же воздействие, что и два других вектора вместе. Если для того, чтобы попасть в некоторую точку, нам надо пройти сначала A километров в одном направлении и затем B километров в другом направлении, то мы могли бы достичь нашей конечной точки пройдя C километров в третьем направлении (рис. 2). В этом смысле можно сказать, что

Вектор C называется «результирующим вектором» A и B, он задается построением, показанным на рисунке; на векторах A и B как на сторонах построен параллелограмм, а C – диагональ, соединяющая начало А и конец В. Из рис. 2 видно, что сложение векторов «коммутативно», т.е.

Аналогичным образом можно сложить несколько векторов, последовательно соединяя их «непрерывной цепочкой», как показано на рис. 3 для трех векторов D, E и F. Из рис. 3 также видно, что

т.е. сложение векторов ассоциативно. Суммировать можно любое число векторов, причем векторы необязательно должны лежать в одной плоскости. Вычитание векторов представляется как сложение с отрицательным вектором. Например,

где, как определялось ранее, –B – вектор, равный В по модулю, но противоположный по направлению.

Это правило сложения может теперь использоваться как реальный критерий проверки, является ли некоторая величина вектором или нет. Перемещения обычно подчиняются условиям этого правила; то же можно сказать и о скоростях; силы складываются таким же образом, как можно было видеть из «треугольника сил». Однако, некоторые величины, обладающие как численными значениями так и направлениями, не подчиняются этому правилу, поэтому не могут рассматриваться как векторы. Примером являются конечные вращения.

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Умножение вектора на скаляр.

Произведение mA или Am, где m (m № 0) – скаляр, а A – ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет тоже направление что и A, если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно, как показано на рис. 4, где m равно 2 и –1/2 соответственно. Кроме того, 1A = A, т.е. при умножении на 1 вектор не изменяется. Величина –1A – вектор, равный A по длине, но противоположный по направлению, обычно записывается как –A. Если А – нулевой вектор и(или) m = 0, то mA – нулевой вектор. Умножение дистрибутивно, т.е.

Мы можем складывать любое число векторов, причем порядок слагаемых не влияет на результат. Верно и обратное: любой вектор раскладывается на две или более «компоненты», т.е. на два вектора или более, которые, будучи сложенными, в качестве результирующего дадут исходный вектор. Например, на рис. 2, A и B – компоненты C.

Многие математические действия с векторами упрощаются, если разложить вектор на три компоненты по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Выберем правую систему декартовых координат с осями Ox, Oy и Oz как показано на рис. 5. Под правой системой координат мы подразумеваем, что оси x, y и z располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Из одной правой системы координат всегда можно получить другую правую систему координат соответствующим вращением. На рис. 5, показано разложение вектор A на три компоненты и . Они в сумме составляют вектор A, так как

Можно было бы также сначала сложить и получить , а затем к прибавить .

Проекции вектора А на три координатные оси, обозначенные A_x, A_y и A_z называются «скалярными компонентами» вектора A:

где a , b и g – углы между A и тремя координатными осями. Теперь введем три вектора единичной длины i, j и k (орты), имеющие то же самое направление, что и соответствующие оси x, y и z. Тогда, если A_x умножить на i, то полученное произведение – это вектор, равный , и

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие скалярные компоненты. Таким образом, A = B тогда и только тогда, когда A_x = B_x, A_y = B_y, A_z = B_z.

Два вектора можно сложить, складывая их компоненты:

Кроме того, по теореме Пифагора:

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Линейные функции.

Выражение aA + bB, где a и b – скаляры, называется линейной функцией векторов A и B. Это вектор, находящийся в той же плоскости, что A и B; если A и B не параллельны, то при изменении a и b вектор aA + bB будет перемещаться по всей плоскости (рис. 6). Если A, B и C не все лежат в одной плоскости, то вектор aA + bB + cC (a, b и c изменяются) перемещается по всему пространству. Предположим, что A, B и C – единичные векторы i, j и k. Вектор ai лежит на оси x; вектор ai + bj может перемещаться по всей плоскости xy; вектор ai + bj + ck может перемещаться по всему пространству.

Можно было бы выбрать четыре взаимно перпендикулярных вектора i, j, k и l и определить четырехмерный вектор как величину

а можно было бы продолжать до пяти, шести или любого числа измерений. Хотя визуально такой вектор представить невозможно, никаких математических трудностей здесь не возникает. Такая запись часто бывает полезна; например, состояние движущейся частицы описывается шестимерным вектором P (x, y, z, p_x, p_y, p_z), компоненты которого – ее положение в пространстве (x, y, z) и импульс (p_x, p_y, p_z). Такое пространство называется «фазовым пространством»; если мы рассматриваем две частицы, то фазовое пространство 12-мерное, если три, то 18-ти и так далее. Число размерностей можно неограниченно увеличивать; при этом величины, с которыми мы будем иметь дело, ведут себя во многом также, как те, которые мы рассмотрим в оставшейся части этой статьи, а именно, трехмерные векторы.

Видео:Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)Скачать

Умножение двух векторов.

Правило сложения векторов было получено путем изучения поведения величин, представленных векторами. Нет никаких видимых причин, по которым два вектора нельзя было бы каким-либо образом перемножить, однако это умножение будет иметь смысл только в том случае, если можно показать его математическую состоятельность; кроме того, желательно, чтобы произведение имело определенный физический смысл.

Существуют два способа умножения векторов, которые соответствуют этим условиям. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется «скалярным произведением» или «внутренним произведением» двух векторов и записывается A Ч B или (A, B). Результатом другого умножения является вектор, называемый «векторным произведением» или «внешним произведением» и записывается A ґ B или [A, B]. Скалярные произведения имеют физический смысл для одного-, двух- или трех измерений, тогда как векторные произведения определены только для трех измерений.

Видео:Вектор в Физике. Как Рисовать Вектор? Модуль Вектора || Урок Физики 8 класс // Подготовка к ЕГЭСкачать

Скалярные произведения.

Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r, то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r. Эта компонента равна F cos б F, r с , где б F, r с – угол между F и r, т.е.

Произведенная работа = Fr cos б F, r с .

Это – пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A, B посредством формулы

Так как все величины правой части уравнения – скаляры, то

следовательно, скалярное умножение коммутативно.

Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности:

Если векторы A и B перпендикулярны, то cos б A, B с равен нулю, и, поэтому, A Ч B = 0, даже если ни A, ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения A Ч B = A Ч C на A. Это дало бы B = C, и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение A Ч B = A Ч C в виде A Ч (B – C) = 0 и вспомним, что (B – C) – вектор, то ясно, что (B – C) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C. Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно.

Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора:

Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что:

Поскольку последнее уравнение содержит x, y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видно из определения, которое не зависит от выбранных координатных осей.

Видео:Клёнов Н.В.-Физика наноструктур, атомная и молекулярная физика- 14. Доклад Дмитровского М.Ю.Скачать

Векторные произведения.

Векторным или внешним произведением векторов называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла, перпендикулярный исходным векторам и составляющий вместе с ними правую тройку. Это произведение легче всего ввести, рассматривая соотношение между скоростью и угловой скоростью. Первая – вектор; мы теперь покажем, что последнюю также можно интерпретировать как вектор.

Угловая скорость вращающегося тела определяется следующим образом: выберем любую точку на теле и проведем перпендикуляр из этой точки до оси вращения. Тогда угловая скорость тела – это число радиан, на которые эта линия повернулась за единицу времени.

Если угловая скорость – вектор, она должна иметь численное значение и направление. Численное значение выражается в радианах в секунду, направление можно выбрать вдоль оси вращения, можно его определить, направив вектор в том направлении, в котором двигался бы правосторонний винт при вращении вместе с телом.

Рассмотрим вращение тела вокруг фиксированной оси. Если установить эту ось внутри кольца, которое в свою очередь закреплено на оси, вставленной внутрь другого кольца, мы можем придать вращение телу внутри первого кольца с угловой скоростью w 1 и затем заставить внутреннее кольцо (и тело) вращаться с угловой скоростью w 2. Рисунок 7 поясняет суть дела; круговые стрелки показывают направления вращения. Данное тело – это твердая сфера с центром О и радиусом r.

Придадим этому телу движение, которое является суммой двух различных угловых скоростей. Это движение довольно трудно представить наглядно, но достаточно очевидно, что тело больше не вращается относительно фиксированной оси. Однако все-таки можно сказать, что оно вращается. Чтобы показать это, выберем некоторую точку P на поверхности тела, которая в рассматриваемый нами момент времени находится на большом круге, соединяющем точки, в которых две оси пересекают поверхность сферы. Опустим перпендикуляры из P на оси. Эти перпендикуляры станут радиусами PJ и PK окружностей PQRS и PTUW соответственно. Проведем прямую POP ў , проходящую через центр сферы. Теперь точка P, в рассматриваемый момент времени одновременно перемещается по окружностям, которые соприкасаются в точке P. За малый интервал времени D t, P перемещается на расстояние

Это расстояние равно нулю, если

В этом случае точка P находится в состоянии мгновенного покоя, и точно также все точки на прямой POP ў . Остальная часть сферы будет в движении (окружности, по которым перемещаются другие точки, не касаются, а пересекаются). POP ў является, таким образом, мгновенной осью вращения сферы, подобно тому, как колесо, катящееся по дороге в каждый момент времени, вращается относительно своей нижней точки.

Чему равна угловая скорость сферы? Выберем для простоты точку A, в которой ось w 1 пересекает поверхность. В момент времени, который мы рассматриваем, она перемещается за время D t на расстояние

по кругу радиуса r sin w 1. По определению, угловая скорость

Из этой формулы и соотношения (1) мы получим

Другими словами, если записать численное значение и выбрать направление угловой скорости так, как это описано выше, то эти величины складываются как векторы и могут быть рассмотрены как таковые.

Теперь можно ввести векторное произведение; рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью w . Выберем любую точку P на теле и любое начало координат О, которое находится на оси вращения. Пусть r – вектор, направленный от О к P. Точка P движется по окружности со скоростью

Вектор скорости V является касательным к окружности и указывает в направлении, показанном на рис. 8.

Это уравнение дает зависимость скорости V точки от комбинации двух векторов w и r. Используем это соотношение, чтобы определить новый вид произведения, и запишем:

Так как результатом такого умножения является вектор, это произведение названо векторным. Для любых двух векторов A и B, если

и направление вектора C таково, что он перпендикулярен плоскости, проходящей через А и B и указывает в направлении, совпадающем с направлением движения правовращающегося винта, если он параллелен C и вращается от A к B. Другими словами, мы можем сказать, что A, B и C, расположенные в таком порядке, образуют правый набор координатных осей. Векторное произведение антикоммутативно; вектор B ґ A имеет тот же модуль, что и A ґ B, но направлен в противоположную сторону:

Это произведение дистрибутивно, но не ассоциативно; можно доказать, что

Посмотрим, как записывается векторное произведение в терминах компонент и единичных векторов. Прежде всего, для любого вектора A,

Следовательно, в случае единичных векторов,

Это равенство также можно записать в виде определителя:

Если A ґ B = 0, то либо A или B равно 0, либо A и B коллинеарны. Таким образом, как и в случае скалярного произведения, деление на вектор невозможно. Величина A ґ B равна площади параллелограмма со сторонами A и B. Это легко видеть, так как B sin б A, B с – его высота и A – основание.

Существует много других физических величин, которые являются векторными произведениями. Одно из наиболее важных векторных произведений появляется в теории электромагнетизма и называется вектором Пойтинга P. Этот вектор задается следующим образом:

где E и H – векторы электрического и магнитного полей соответственно. Вектор P можно рассматривать как заданный поток энергии в ваттах на квадратный метр в любой точке. Приведем еще несколько примеров: момент силы F (крутящий момент) относительно начала координат, действующей на точку, радиус-вектор которой r, определяется как r ґ F; частица, находящаяся в точке r, массой m и скоростью V, имеет угловой момент mr ґ V относительно начала координат; сила, действующая на частицу, несущую электрический заряд q через магнитное поле B со скоростью V, есть qV ґ B.

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Тройные произведения.

Из трех векторов мы можем сформировать следующие тройные произведения: вектор (A Ч B) ґ C; вектор (A ґ B) ґ C; скаляр (A ґ B) Ч C.

Первый тип – произведение вектора C и скаляра A Ч B; о таких произведениях мы уже говорили. Второй тип называется двойным векторным произведением; вектор A ґ B перпендикулярен к плоскости, где лежат A и B, и поэтому (A ґ B) ґ C – вектор, лежащий в плоскости A и B и перпендикулярный C. Следовательно, в общем случае, (A ґ B) ґ C № A ґ (B ґ C). Записав A, B и C через их координаты (компоненты) по осям x, y и z и умножив, можно показать, что A ґ (B ґ C) = B ґ (A Ч C) – C ґ (A Ч B). Третий тип произведения, который возникает при расчетах решетки в физике твердого тела, численно равен объему параллелепипеда с ребрами A, B, C. Так как (A ґ B) Ч C = A Ч (B ґ C), знаки скалярного и векторного умножений можно менять местами, и произведение часто записывается как (A B C). Это произведение равно определителю

Заметим, что (A B C) = 0, если все три вектора лежат в одной и той же плоскости или, если А = 0 или (и) В = 0 или (и) С = 0.

Видео:Радиус векторСкачать

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА

Предположим, что вектор U является функцией одной скалярной переменной t. Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t – временем. Пусть t изменится на небольшую величину D t, что приведет к изменению U на величину D U. Это показано на рис. 9. Отношение D U/ D t – вектор, направленный в том же направлении, что и D U. Мы можем определить производную U по t, как

при условии, что такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как сумму компонент по трем осям и записать

Если U – радиус-вектор r, то dr/dt – скорость точки, выраженная как функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим ускорение. Предположим, что точка перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s – расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение малого интервала времени D t точка пройдет расстояние D s вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на D r. Следовательно D r/ D s – вектор направленный как D r. Далее

есть единичный вектор, касательный к кривой. Это видно из того, что при приближении точки Q к точке P, PQ приближается к касательной и D r приближается к D s.

Формулы для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения должен быть сохранен. Поэтому,

Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной скалярной переменной, то мы можем представить производную почти также, как в случае скалярной функции.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Вектор и скалярные поля.

Видео:Лекция 5. Сложение и вычитание векторов │ФИЗИКА С НУЛЯ теорияСкачать

Градиент.

В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки к точке в заданной области. Такие области называются «полями». Например, скаляр может быть температурой или давлением; вектор может быть скоростью движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали некоторую систему координат, то любой точке P (x, y, z) в заданной области соответствует некоторый радиус-вектор r (= xi + yj + zk) и также значение векторной величины U (r) или скаляра f (r), связанных с ним. Предположим, что U и f определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или f , хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и f изменяются при передвижении по этой области.

Простые частные производные, такие, как ¶ U/ ¶ x и ¶f / ¶ y, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется «градиентом».

Пусть мы имеем дело со скалярным полем f . Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае f – высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением f . При движении вдоль любой из этих линий f не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения f будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости f ; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем f . Это поле вектора, называемого «градиентом» f , который записывается как grad f или Сf (символ С также называется «набла»).

В случае трех измерений, контурные линии становятся поверхностями. Малое смещение D r (= i D x + j D y + k D z) приводит к изменению f , которое записывается как

где точками обозначены члены более высоких порядков. Это выражение можно записать в виде скалярного произведения

Разделим правую и левую части этого равенства на D s, и пусть D s стремится к нулю; тогда

где dr/ds – единичный вектор в выбранном направлении. Выражение в круглых скобках – вектор, зависящий от выбранной точки. Таким образом, d f /ds имеет максимальное значение, когда dr/ds указывает в том же направлении, выражение, стоящее в скобках, является градиентом. Таким образом,

– вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения f относительно координат. Градиент f часто записывается в виде

Это означает, что оператор С существует сам по себе. Во многих случаях он ведет себя, как вектор, и фактически является «векторным дифференциальным оператором» – одним из наиболее важных дифференциальных операторов в физике. Несмотря на то, что С содержит единичные векторы i, j и k, его физический смысл не зависит от выбранной системы координат.

Какова связь между Сf и f ? Прежде всего предположим, что f определяет потенциал в любой точке. При любом малом смещении D r величина f изменится на

Если q – величина (например масса, заряд), перемещенная на D r, то работа, выполненная при перемещении q на D r равна

Так как D r – перемещение, то q Сf – сила; – Сf – напряженность (сила на единицу количества), связанная с f . Например, пусть U – электростатический потенциал; тогда E – напряженность электрического поля, задается формулой

Допустим, что U создается точечным электрическим зарядом в q кулонов, помещенным в начало координат. Значение U в точке P (x, y, z) с радиус-вектором r задается формулой

где e 0 – диэлектрическая постоянная свободного пространства. Поэтому

откуда следует, что E действует в направлении r и его величина равна q/(4 pe 0r 3 ).

Зная скалярное поле, можно определить связанное с ним векторное поле. Также возможно и обратное. С точки зрения математической обработки скалярными полями оперировать легче, чем векторными, так как они задаются одной функцией координат, в то время как векторное поле требует три функции, соответствующие компонентам вектора в трех направлениях. Таким образом, возникает вопрос: дано векторное поле, может ли мы записать связанное с ним скалярное поле?

Видео:Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Дивергенция и ротор.

Мы видели результат действия С на скалярную функцию. Что произойдет, если С применить к вектору? Имеются две возможности: пусть U (x, y, z) – вектор; тогда мы можем образовать векторное и скалярное произведения следующим образом:

Первое из этих выражений – скаляр, называемый дивергенцией U (обозначается divU); второе – вектор, названный ротор U (обозначается rotU).

Эти дифференциальные функции, дивергенция и ротор, широко используются в математической физике.

Представьте, что U – некоторый вектор и что он и его первые производные непрерывны в некоторой области. Пусть P – точка в этой области, окруженная малой замкнутой поверхностью S, ограничивающей объем D V. Пусть n – единичный вектор, перпендикулярный к этой поверхности в каждой точке (n меняет направление при движении вокруг поверхности, но всегда имеет единичную длину); пусть n направлен наружу. Покажем, что

Здесь S указывает, что эти интегралы берутся по всей поверхности, da – элемент поверхности S.

Для простоты мы выберем удобную для нас форму S в виде небольшого параллелепипеда (как показано на рис. 12) со сторонами D x, D y и D z; точка P – центр параллелепипеда. Вычислим интеграл из уравнения (4) сначала по одной грани параллелепипеда. Для передней грани n = i (единичный вектор параллелен оси x); D a = D y D z. Вклад в интеграл от передней грани равен

На противоположной грани n = –i; эта грань дает вклад в интеграл

Используя теорему Тейлора, получим общий вклад от двух граней

Заметим, что D x D y D z = D V. Аналогичным образом можно вычислить вклад от двух других пар граней. Полный интеграл равен

и если мы положим D V ® 0, то члены более высокого порядка исчезнут. По формуле (2) выражение в скобках – это divU, что доказывает равенство (4).

Равенство (5) можно доказать таким же образом. Воспользуемся снова рис. 12; тогда вклад от передней грани в интеграл будет равен

и, используя теорему Тейлора, получим, что суммарный вклад в интеграл от двух граней имеет вид

т.е. это два члена из выражения для rotU в уравнении (3). Другие четыре члена получатся после учета вкладов от других четырех граней.

Что, в сущности, означают эти соотношения? Рассмотрим равенство (4). Предположим, что U – скорость (жидкости, например). Тогда n Ч U da = U_n da, где U_nявляется нормальной компонентой вектора U к поверхности. Поэтому, U_n da – это объем жидкости, протекающей через da в единицу времени, а – это объем жидкости, вытекающей через S в единицу времени. Следовательно,

– скорость расширения единицы объема вокруг точки P. Отсюда дивергенция получила свое название; она показывает скорость, с которой жидкость расширяется из (т.е. расходится от) P.

Чтобы объяснить физическое значение ротора U, рассмотрим другой поверхностный интеграл по маленькому цилиндрическому объему высотой h, окружающему точку P; плоско-параллельные поверхности могут быть ориентированы в любом направлении, которое мы выбираем. Пусть k –единичный вектор перпендикулярный к каждой поверхности, и пусть площадь каждой поверхности D A; тогда полный объем D V = h D A (рис. 13). Рассмотрим теперь интеграл

Подынтегральное выражение – уже упоминавшееся ранее тройное скалярное произведение. Это произведение будет равно нулю на плоских поверхностях, где k и n параллельны. На кривой поверхности

где ds – элемент кривой как показано на рис. 13. Сравнивая эти равенства с соотношением (5), получаем, что

Мы по-прежнему предполагаем, что U – скорость. Чему в таком случае будет равна средняя угловая скорость жидкости вокруг k? Очевидно, что

если D A ® 0. Это выражение максимально, когда k и rotU указывают в одном и том же направлении; это означает, что rotU – вектор, равный удвоенной угловой скорости жидкости в точке P. Если жидкость вращается относительно P, то rotU № 0, и векторы U будут вращаться вокруг P. Отсюда и возникло название ротора.

Видео:ЕГЭ-2017 по физике. Векторы в физикеСкачать

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса)

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса) является обобщением формулы (4) для конечных объемов. Она утверждает, что для некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S,

и справедлива для всех непрерывных векторных функций U, имеющих непрерывные первые производные всюду в V и на S. Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, но ее справедливость можно понять интуитивно, представляя объем V разделенным на ячейки. Поток U через поверхность, общую для двух ячеек обращается в нуль, и только ячейки, находящиеся на границе S внесут вклад в поверхностный интеграл.

Видео:Физика. 9 класс. Векторы в механикеСкачать

Теорема Стокса

является обобщением уравнения (6) для конечных поверхностей. Она утверждает, что

где C – замкнутая кривая и S – любая поверхность, ограниченная этой кривой. U и ее первые производные должны быть непрерывны всюду на S и C.

Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия, 3 изд. М., 1968

Видео:Единичные векторы и инженерная запись (видео 34) | Криволинейное движение | ФизикаСкачать

Применение векторов при решении задач по физике

Геометрический подход к решению физических задач наследуется еще от древних греков. Векторный анализ является пограничной чертой между математикой и физикой. На языке векторов формируются понимание основных законов механики и электродинамики.

На уроках физики учитель при изучении механических явлений дает определение радиус-вектора. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку пространства. Многие физические величины, как и радиус-вектор характеризуют и числовым значением и направлением. Например: скорость, перемещение, импульс, напряженность электрического поля, сила являются физическими векторными величинами. Длину такого вектора называют модулем вектора. Интуитивное понимание вектора у учащихся складывается с первых же уроков физики в 7 и 8 классе.

Проведем сравнение понятия вектора в физике и математике:

Понимание вектора в физике и математике происходит поэтапно, когда ученики раскрывают и изучают следующие вопросы:

Вектор – как графическое представление перемещения тела. При прямолинейном движении в одном направлении путь и перемещение совпадают.

Если начальное и конечное положение тела совпадают, то вектор перемещения равен нулю. При этом путь может иметь значение отличное от нуля. Например, когда тело движется по окружности.

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала.

При движении тела (материальной точки) его перемещение можно рассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений, например, . Соответствующий многоугольник (треугольник) перемещений выглядит таким образом:

Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением , то выражение для скорости в любой момент t времени имеет вид: .

Прикладной характер правил сложения векторов виден не только при определении перемещения тела, но и при сложении скоростей движущегося тела.

Учителя математики и физики должны комбинировать этот материал, разбавлять свои уроки дополнительной информацией из смежных предметов. Глубокое понимание вектора и действий с векторами у учеников сложится только посредством интеграции математического и физического определения этих понятий. Она должна быть как на уроках математики, так и на уроках физики все время, которое отводится на изучении темы «вектор».

Рассмотрим некоторые физические задачи, которые учитель математики может решить на уроках геометрии.

Задача. Парашютист со скоростью 4 м/с спускается с высоты 2 км вертикально вниз. Скорость горизонтального ветра равно 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения?

1. Запишем закон сложения скоростей в векторном виде.
2. Сделаем чертеж, произведя сложение векторов скоростей.
3. Искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора вычислим её, найдя тем самым модуль скорости.
4. Зная, что при прямолинейном равномерном движении модуль перемещения пропорционален скорости, составим пропорцию и найдем модуль искомого перемещения.

Следующие задачи рекомендуем рассмотреть после изучения тригонометрических функций острого угла.

Задача. Скорость лодки относительно течения 10 м/с, скорость течения 5 м/с.Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж.

Задача. С какой силой F (эф) надо удерживать груз весом Р (пэ) на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?

Решение: Пусть O – центр тяжести груза, к которому приложена сила P. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе. Поэтому .

Задача. Тело движется по окружности со скоростью v. Найдите модуль изменения скорости тела за четверть периода.

Решение: Пусть в начале движения в точке A скорость равна v . За четверть периода тело оказалось в точке B. Модуль скорости не изменяется и равен v. Различно направление скорости. Выполним вычитание векторов и придем к результату .

Теперь рассмотрим метод решения задач кинематики и динамики, основанный на построении так называемых векторных многоугольников перемещений, скоростей, ускорений, сил, импульсов. Рассмотрим краткие теоретические основы и некоторые методические рекомендации по возможности применения геометрических (векторных) способов решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. Применение векторных способов требует знания основ тригонометрии, в частности, теорем синусов и косинусов.

Векторная запись многих уравнений физики более полно отображает соответствующие процессы, в частности в современном школьном курсе механики. Векторная форма уравнений в сочетании с соответствующими рисунками раскрывает физическую ситуацию в задаче и предопределяет ее успешное решение. Есть определенные алгоритмы решения физической задачи векторным способом.

Для вычислений при решении задачи чаще всего используют соответствующие уравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучить учащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций по следующему алгоритму:

• изобразить вектор графически в избранном масштабе; указать на рисунке начало координат и координатную ось;
• спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;
• найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; если можно, выразить длину отрезка через модуль вектора;
• обозначить наименьший угол между положительным направлением оси и направлением вектора; определить этот угол;
• если указанный угол острый, то приписать проекции знак “+», если нет, то приписать проекции знак “-«.
• записать в уравнении длину отрезка проекции вектора с соответствующим знаком.

Теперь решим задачи:

Задача.Тело брошено вверх перпендикулярно плоскости, наклоненной под угломαк горизонту. На каком расстоянии от места броска тело упадет на эту наклонную плоскость? Сопротивлением движения пренебречь.

Решение: Изобразим треугольник перемещений, соответствующий условию задачи и соотношению . Видим, что , откуда время движения . Тогда искомое расстояние будет .

Задача. Две частицы брошены одновременно из одной точки с одинаковыми по модулю скоростямиv: первая – вертикально вверх, вторая – горизонтально. Найдите расстояние между ними спустя время t.

Решение: Так как движение частиц происходит под действием силы тяжести, ускорения частиц одинаковы и равны g. Следовательно, относительное движение второй частицы к первой — равномерное и прямолинейное с постоянной скоростью . Тогда искомое расстояние будет равным: .

Задача. Тело брошено горизонтально со скоростью v₀. Найдите скорость тела и угол отклонения через время t.

Решение: В векторной форме процесс описан так: . Проекция скорости на вертикальную и горизонтальную оси: . По теореме Пифагора получаем .

Изучая, разрабатывая и используя новый математический аппарат, физики иногда незаслуженно забывают о ранее найденных и веками эффективно служивших делу физической науки математических способах и приемах. Математика является языком физики, и свободное владение математическим аппаратом облегчает понимание физической сущности явлений и процессов.

🎦 Видео

как ПРОЕЦИРОВАТЬ в Физике!Скачать

Лекторий ЗФТШ. Ф-9. Векторы в физикеСкачать

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

Сравнение скалярного и векторного произведений векторов (видео 16) | Магнетизм | ФизикаСкачать