Граничные условия для векторов электрического поля (7 видео)

Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля на границе раздела двух сред

А) Граничные условия для вектора электрической индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе элементарный цилиндр, как показано на рис. 3.1.1.

Граничные условия для векторов электрического поля

Рис.1.4.1.Элементарный цилиндр, выделенный на границе раздела двух сред для определения граничных условий на вектор электрической индукции. и — нормали к поверхности S.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри объема V, ограниченного этой поверхностью:

(3.1.1)

Устремим высоту цилиндра к нулю . Тогда (3.1.1) преобразуется так:

(3.1.2)

Где , – компоненты вектора индукции, перпендикулярные границе раздела, S — площадь основания цилиндра.

Введем поверхностную плотность заряда:

(3.1.3)

Размерность поверхностной плотности заряда = Кл/м2 (Кулон на квадратный метр).

Тогда (3.1.2) можно переписать в виде

(3.1.4)

Если плотность поверхностного заряда равна нулю (), то

. (3.1.5)

Мы можем сформулировать следующее важное утверждение:

На границе раздела, не содержащей поверхностных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна.

Б) Граничные условия для вектора магнитной индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред, обладающих различной магнитной проницаемостью. Из тех же соображений, что и в предыдущем пункте и принимая во внимание, что магнитных зарядов не существует, можно записать

(3.1.6)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции всегда непрерывна.

В) Граничные условия для вектора напряженности электрического поля .

Рассмотрим снова границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе замкнутый контур в соответствии с рис. 3.1.2. и используем закон электромагнитной индукции:

Где L — выбранный контур, L = 2 (1 + ) , S — площадь поверхности, ограниченная контуром L.

Рис.3.1.2. Контур на границе раздела двух сред, используемый при определении граничных условий для векторов напряженности электрического поля.

Устремим ширину контура к нулю, тогда поток вектора через поверхность S обратится в ноль, и мы получим

(3.1.7)

Откуда следует, что

(3.1.8)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля всегда непрерывна.

Г) Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля Н.

Как в предыдущем случае выделим на границе раздела двух сред замкнутый контур L (рис.1.4.2). Воспользуемся законом полного тока

(3.1.9)

Где — плотность тока, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L.

Учтем, что вдоль границы раздела может течь ток проводимости, тогда при стремлении следует ввести поверхностную плотность тока:

(3.1.10)

Размерность поверхностной плотности тока [] = А/м. Теперь (3.1.9) можно переписать так:

Откуда следует, что

(3.1.11)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред разность касательных составляющих напряженности магнитного поля равна поверхностной плотности тока.

При отсутствии поверхностного тока

(3.1.12)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.

Д) Граничные условия на поверхности идеального проводника.

Определим идеальный проводник, как проводник, внутрь которого не может проникать электромагнитное поле . Для полей СВЧ-диапазона хорошие проводники (серебро, медь) можно в первом приближении рассматривать как идеальные. На поверхности такого проводника, тем не менее, может течь ток проводимости и формироваться поверхностный заряд. Поэтому на поверхности идеального проводника

, ,

, .

Силовые линии электрического поля перпендикулярны к поверхности идеального проводника; силовые линии магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника, как показано на рис.3.1.3.

Рис.3.1.3. Силовые линии электрического и магнитного полей вблизи поверхности идеального проводника.

Содержание

Граничные условия в электрическом поле
Граничные условия в электромагнитном поле
Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей
💡 Видео

Видео:6 Граничные условия для векторов E и DСкачать

Граничные условия в электрическом поле

Напряженности электрического поля у границы раздела диэлектриков. Как показывает опыт, электрические линии на границе раздела двух диэлектриков с разными диэлектрическими проницаемостями претерпевают преломление. Выведем закон этого преломления, получив предварительно весьма важные для практики условия для напряженности поля и электрического смещения в двух диэлектриках у границы их раздела. При этом ограничимся рассмотрением частного случая равномерного поля в двух однородных и изотропных средах с диэлектрическими проницаемостями 8^ и 82 , граничащими по плоской поверхности (рис. 3.8).

Это, однако, не лишит общности полученных выводов, поскольку в случае неоднородных сред в кривой поверхности их раздела всегда можно ограничить рассматриваемую область до таких размеров, что разнородностью диэлектриков и кривизной поверхности раздела можно будет пренебречь.

Договоримся, углы, составляемые электрическими линиями в одном и втором диэлектриках с нормалью к плоскости раздела сред, называть углами падения и преломления и обозначать соответственно

через 0j и 02 (рис. 3.8).

Рассмотрим у границы раздела двух диэлектриков замкнутый контур в виде весьма узкого прямоугольника ABCD (рис. 3.8), расположенного так, что его длинные стороны АВ и CD, направленные параллельно границе, находятся по разные стороны от нее.

Составим по этому контуру линейный интеграл вектора напряженности

который, как известно, равен нулю.

Разбивая этот интеграл на четыре интеграла по четырем прямым участкам замкнутого контура и пренебрегая интегралами по весьма коротким участкам ВС и DA по сравнению с интегралами по длинным участкам АВ и СО, получим

где Е и Е2 — напряженности электрического поля соответственно в первом и втором диэлектриках; ОЦ и СХ2 — углы, составляемые векторами Е и Е2 с элементами пути интегрирования по двум длинным

участкам (обход контура при интегрировании предполагаем почасовой стрелке).

Поскольку поля в обоих диэлектриках равномерны, а пути интегрирования прямолинейны, то интегралы, представляющие собой напряжения на каждой из длинных сторон прямоугольника, превращаются в простые произведения напряженностей на длины соответствующих отрезков и косинусы углов между ними:

Рис. 3.8. Распределение напряженности однородного ЭП у плоской границы раздела сред

Сокращая равенство на равные друг другу длины Iи Iqo > а также выражая углы Otj и ОС2 через введенные выше углы падения 0j и преломления 02 ^ ОСi = 0,5Я — 01, ОС 9 = 0,5 Я + 0],получим

откуда где Е_т и Е2_Т — касательные составляющие векторов напряженности в обоих диэлектриках к границе их раздела.

Таким образом, у границы раздела двух диэлектриков равны касательные составляющие векторов напряженности ЭП.

Электрическое смещение у границы раздела диэлектриков.

Представим теперь у границы раздела двух диэлектриков весьма тонкий параллелепипед (рис. 3.9), две большие грани Sj и S^ которого,

параллельные плоскости раздела, расположены соответственно в первом и втором диэлектриках.

Рис. 3.9. Распределение индукции однородного ЭП у плоской границы раздела сред

Запишем для замкнутой поверхности этого параллелепипеда постулат Максвелла:

полагая, что на границе раздела диэлектриков зарядов нет (Q = 0).

Разбивая интеграл по замкнутой поверхности на три интеграла по плоскостям ^1,^2 и суммарной поверхности Sq четырех малых

граней параллелепипеда и пренебрегая, ввиду малости площади Sq , последним интегралом по сравнению с двумя предыдущими, получим

электрические смещения соответственно в первом и втором диэлектриках; (3^ и ^2″ углы между векторами /^2 И

внешними нормалями к элементарным площадкам ds поверхностей S и ^2 .

Поскольку поля в обоих диэлектриках равномерны, а поверхности интегрирования являются плоскостями, рассматриваемые интегралы, представляющие собой потоки вектора смещения через большие грани параллелепипеда, превращаются в простые произведения смещений на площади этих граней и на косинусы углов (3^ и (З2 :

Имея в виду равенство площадей ^ и S2 > а также очевидные из

рис. 3.9 соотношения между углами (3 и 0 : J3j = 71 — 0j, (З2 — 02 > получим

где D_n, D2_п — нормальные составляющие векторов смещения в обеих средах к границе их раздела.

Таким образом, у границы раздела двух диэлектриков равны нормальные составляющие векторов электрического смещения.

Закон преломления электрических линий. На границе раздела двух диэлектриков легко установить, используя полученные ранее выводы, равенства касательных составляющих векторов напряженности

Е sin 0j = Е2 sin 02 и нормальных составляющих векторов смещения

Поделив первое равенство на второе, получим

откуда, приняв во внимание, что Е) IЕ — 8, придем к соотношению

являющемуся законом преломления электрических линий: отношение тангенсов углов падения и преломления электрических линий при переходе через границу раздела двух диэлектриков равно отношению их диэлектрических проницаемостей.

Применяя этот закон к картине поля, изображенного на рис. 3.8 и

рис. 3.9, придем к выводу, что в этих примерах 8j >82’ так как 0j >02 и, следовательно, tgO, > tg©₂.

Электрическое поле у поверхности заряженных проводящих тел. Поверхность проводящего тела является поверхностью равного потенциала. Помня о том, что эти поверхности перпендикулярны электрическим линиям, легко прийти к важному выводу, что электрические линии вблизи заряженных проводящих тел направлены перпендикулярно к их поверхности. А это обстоятельство, в свою очередь, позволяет установить весьма простую связь интенсивности поля у поверхности таких тел с поверхностной плотностью их заряда.

Охватим небольшой участок поверхности тела замкнутой поверхностью в виде цилиндрика (рис. 3.10) с осью, перпендикулярной поверхности тела, и применим для этой замкнутой поверхности постулат Максвелла:

Заряд Q , заключенный внутри этой поверхности, подсчитаем по

поверхностной плотности CJ заряда тела и площади вырезаемой цилиндром на поверхности тела,

Интеграл же по замкнутой поверхности S разобьем на три интеграла — по донышкам и ^2 цилиндрика и его боковой поверхности

Рис. 3.10. ЭП у поверхности заряженных проводящих тел

Первый из этих интегралов, представляющий собой поток вектора электрического смещения сквозь плоскую площадку S, поставленную перпендикулярно полю, при достаточно малых размерах поверхности может быть заменен простым произведением смещения D на площадь S, так как в малом пространстве поле можно считать равномерным. Два следующих интеграла равны нулю: второй, потому что поле внутри проводящего тела отсутствует, а третий, в связи с тем, что

линии поля, будучи перпендикулярными к поверхности тела^о , скользят вдоль боковой поверхности цилиндрика (COS (3 = 0 ).

Таким образом, постулат Максвелла приводит нас к равенству

которое после сокращения на равные друг другу площади Л^и S2 приобретает вид

т. е. электрическое смещение у поверхности заряженного тела равно поверхностной плотности заряда CJ в этом месте тела.

Видео:2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела средСкачать

Граничные условия в электромагнитном поле

Рассмотрим случай, когда ЭМП распространяется в ограниченных средах: в многослойных структурах и т. д. В этом случае система уравнений ЭМП, рассмотренная в п. 2.7, должна быть дополнена граничными условиями.

Граничные условия должны учитываться на поверхностях, разделяющих среды с разными свойствами, т. е. на поверхностях, где электромагнитные характеристики среды терпят разрыв первого рода. Должно также учитываться условие конечности энергии поля на краях поверхностей и линиях, где нарушается гладкость граничных поверхностей.

Основные граничные условия, связывающие векторы магнитной

Н и электрической Е напряженностей на сторонах границы раздела сред S, были установлены как следствие уравнений Максвелла с помощью теорем Остроградского-Гаусса и Стокса [3.6-3.9]:

где П — единичная нормаль к граничной поверхности S; H_jtEj<j = 1,2) — векторы магнитной и электрической напряженностей ЭМП до (у = l) и после (у = 2) границы S ; У, Уду — поверхностные плотности электрических и магнитных токов.

В электродинамике граничные условия (3.35), (3.36) постулируются как фундаментальные граничные условия, выполняемые на гладких поверхностях S любой формы. В итоге любая практическая задача в классической электродинамике по расчету компонент ЭМП в многосвязных средах математически формулируется как краевая задача для уравнений Максвелла с граничными условиями (3.35), (3.36).

В ряде случаев вместо уравнений (3.35), (3.36), связывающих напряженности ЭМП, можно использовать в граничных условиях векторы диэлектрического смещения и магнитной индукции:

где С — поверхностный электрический заряд на граничной поверхности S.

Уравнения (3.37), (3.38) являются следствием условий (3.35), (3.36) и уравнений Максвелла. Обобщенные уравнения ЭМП (п.2.7) совместно с условиями (3.35), (3.36) позволяют однозначно определять поле в ограниченном пространстве при задании некоторых дополнительных условий в начале системы координат и в бесконечности.

Видео:46. Граничные условия для электрического поляСкачать

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей

Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах, параметры ε, μ и σ которых – непрерывные функции координат (или не зависят от координат). На практике, однако, рассматриваемая область может состоять из двух (и более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно считают, что параметры ε, μ и σ (или по крайней мере один из них) на границе раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела неудобно, и для изучения поведения векторов поля при переходе из одной среды в другую следует исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме (1.54).

Соотношения, показывающие связь между значениями составляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соответственно из третьего (1.43) и четвертого (1.46) уравнений Максвелла в интегральной форме. Сравнивая эти уравнения, замечаем, что равенство (1.46) может быть формально получено из уравнения (1.43), если в последнем заменить D на В и положить ρ = 0. Поэтому ограничимся выводом граничного условия для нормальной составляющей вектора D, а из него указанными преобразованиями получим граничное условие для нормальной составляющей вектора В.

На поверхности раздела S0 двух изотропных сред, характеризуемых параметрами ε1, μ1 и σ1 и ε2, μ2 и σ2 соответственно, в окрестности произвольно выбранной точки М выделим достаточно малый элемент ΔS(M ΔS). Элемент ΔS должен быть достаточно мал, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, а, во-вторых, чтобы в обеих средах распределение нормальной компоненты вектора D можно было считать равномерным в пределах ΔS.

Построим на элементе ΔS прямой цилиндр высотой 2Δh так, чтобы его основания находились в разных средах (рис. 1.14), и применим к нему третье уравнение Максвелла в интегральной форме (1.43):

(1.80)

где Sц и Vц – поверхность и объем цилиндра соответственно. Так как поверхность цилиндра можно представить в виде Sц = ΔS1 + Sбок + ΔS2, где ΔS1 и ΔS2 – площади верхнего и нижнего оснований цилиндра соответственно, а Sбок – его боковая поверхность, то уравнение (1.80) принимает вид

Рис. 1.14. Прямой цилиндр с основаниями в разных средах

Элемент dS направлен по внешней нормали к поверхности SЦ, поэтому dS = n0dS на ΔS1 и dS = -n0dS на ΔS2, где n0 – орт нормали к поверхности раздела S в точке М, направленный из второй среды в первую. Устремляя Δh к нулю (при этом ΔS1 и ΔS2 совпадут с ΔS), приходим к следующим равенствам:

где D1 и D2 – значения вектора D на границе раздела в первой и второй средах соответственно; D1n и D2n – проекции векторов D1 и D2 на нормаль n0. С учетом этих соотношений после перехода в уравнении (1.81) к пределу Δh→0 получаем

(1.82)

Если заряд не сосредоточен на поверхности раздела, т.е. не является поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности заряда ρ правая часть формулы (1.82) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе из одной среды в другую:

Особый интерес представляет случай, когда заряды распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуют плотностью поверхностных зарядов ρs (ее часто называют также поверхностной плотностью зарядов), определяемой соотношением:

(1.84)

где ΔQ – заряд на элементе поверхности ΔS. Как видно из (1.84), ρs измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).

Пусть теперь на границе раздела имеются поверхностные заряды с плотностью ρs. В этом случае правая часть уравнения (1.82) уже не будет равна нулю. Считая распределение заряда на площадке ΔS равномерным (в противном случае нельзя считать равномерным распределение D1n и D2n), разделим обе части уравнения (1.82) на ΔS. В результате получим

Соотношение (1.85) показывает, что при переходе из одной среды в другую нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв (скачок), равный плотности поверхностных зарядов, распределенных по границе раздела. Выражая в этом соотношении D1n и D2n через Е1n и Е2n с помощью равенства D = εE, получаем граничное условие для нормальных компонент вектора Е:

ε1E1n – ε 2E2 n = ρs. (1.86)

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды, то условие (1.86) можно представить в виде

(1.87)

Соотношение (1.87) показывает, что нормальная составляющая вектора Е при переходе через незаряженную поверхность раздела двух сред имеет разрыв, величина которого определяется отношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие плотности поверхностных зарядов ρs в рассматриваемой точке приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или уменьшая его. При определенном значении ρs нормальная составляющая вектора Е может даже оказаться непрерывной.

Отметим, что поверхностные заряды обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя зарядов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального заряженного слоя составляющая Dn непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя зарядов бесконечно тонким (т.е. поверхностными зарядами) приходится считать, что Dn изменяется скачком.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора В, как уже отмечалось, формально может быть получено из (1.85), если положить ρs = 0 и заменить D1n и D2n на В1n и В2n соответственно. При этом придем к соотношению

Из (1.88) следует, что составляющая Bn непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь, нормальная составляющая вектора Н имеет разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей. Выражая в равенстве (1.88) В1n и В2n через H1n и H2n, получаем

(1.89)