Момент силы через радиус вектор

Содержание:

Момент силы относительно точки и относительно оси:

Пусть дана сила Р, направленная как угодно в пространстве, и произвольная точка О (рис. 100).

Опустим из точки О перпендикуляр на силу Р (на чертеже перпендикуляр не показан) и обозначим плечо силы Р относительно точки О через р. Тогда моментом силы Р относительно точки О (или линейным моментом силы) Называется вектор М, численно равный произведению Р на плечо р и отложенный от точки О перпендикулярно плоскости, проходящей через Р и О в такую сторону, чтобы, смотря с конца стрелки вектора М, сила Р вращала плоскость ОАВ вокруг точки О против часовой стрелки.

Если из центра моментов О провести радиус-вектор

Из сказанного следует, что, линейный момент силы может быть представлен, как векторное произведение радиуса-вектора на силу Р, т. е.:

где — единичный вектор направления М.

Наряду с линейным моментом силы введем в рассмотрение еще одно важное понятие момента силы относительно оси.

Пусть требуется найти момент силы Р относительно какой-либо оси, например z (рис. 100). Для этого силу Р спроектируем на любую плоскость, перпендикулярную к оси z, например на координатную плоскость хОу; обозначим эту проекцию через . Затем из точки О пересечения оси z с плоскостью хОу опускаем перпендикуляр на направление найденной проекции силы Р. Тогда произведение , взятое со знаком или , и будет искомым моментом силы Р относительно оси z, т. е:

где знак берется, если, смотря с положительного направления оси z, проекция силы Р представляется вращающей плоскость хОу вокруг оси z против часовой стрелки, и знак минус, если по часовой стрелке. В нашем случае (рис. 100) в правой части равенства (41) следует взять знак плюс.

Следует заметить, что момент силы относительно оси обращается в нуль, когда сила параллельна оси или пересекает ось, т. е. когда вообще сила и ось расположены в одной плоскости.

С понятием момента силы относительно оси часто придется встречаться в дальнейшем. Если представить себе цилиндр (рис. 101), который может вращаться вокруг неподвижной оси z, то сила Р, действующая на цилиндр, не будет его вращать в двух случаях: когда она пересекает ось z (положение ) и когда она параллельна оси (положение ), т. е. когда сила Р и ось z лежат в одной плоскости и, следовательно, момент силы Р относительно оси z обращается в нуль.

Найдем зависимость между моментом силы Р относительно оси, например z (рис. 100), и моментом силы Р относительно точки О, взятой на этой оси.

Обозначим линейный момент силы через М, а момент силы относительно оси z представим в виде вектора , отложенного от точки О в положительном направлении оси z. Обозначим угол между М и через . Из рисунка 100 видно, что представляет собой проекцию на плоскость хОу, а поэтому, по известной теореме геометрии, имеем:

где — угол между плоскостями треугольников, или, что то же, — между векторами М и .

Умножив обе части последнего равенства на 2, получим:

Тогда на основании равенств (40) и (41) будем иметь:

Из равенства (42) следует, что проекции линейного момента силы на координатные оси х, у и z представляют собой момент силы Р относительно осей х, у и z.

Линейный момент М может быть выражен по формуле (4) через компоненты:

Величины можно определить, пользуясь равенствами (42) и (5) или (40а) и (11):

где — проекции радиуса вектора на координатные оси, или, что все равно, координаты точки приложения силы;

— проекции силы Р на координатные оси;

— углы, которые образует вектор М с координатными осями.

Если на точку А (рис. 102) действуют силы — их равнодействующая, то

Умножая векторно обе части равенства на радиус-вектор , проведенный из любой точки О в точку приложения сил А, имеем:

или

т. е. момент равнодействующей сил, линии действия которых пересекаются в точке, относительно любой точки равен геометрической сумме моментов сил составляющих относительно той же точки.

Проектируя векторное равенство (45) на координатные оси, согласно (42) получаем:

т. е. момент равнодействующей сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, относительно какой-либо оси равен алгебраической сумме моментов сил составляющих относительной той же оси.

На основании последних равенств формулы (44) могут быть получены непосредственно из чертежа. Для этого представим силу Р (рис. 103), приложенную в точке А, определяемой координатами х, у и z в виде трех составляющих , параллельных координатным осям. Тогда на основании равенств (46) моменты силы Р относительно координатных осей найдутся непосредственно из чертежа:

Задача:

Найти моменты и силы относительно осей х, у и z (рис. 104), если сила Р параллельна оси Оу и OA совпадает с

Решение. Момент силы Р относительно оси у равен нулю, так как сила Р параллельна оси Оу, т. е. .

Для нахождения момента силы Р относительно оси Ох проектируем силу Р на плоскость yOz, перпендикулярную к оси Ох (проекция Р). Опустив далее из точки О пересечения оси Ох с плоскостью yOz перпендикуляр на направление проекции , имеем:

Аналогично находим, что . Моменты и силы Р относительно осей х, у и z можно было бы найти также по формулам (44):

Задача:

Найти линейный момент М силы относительно точки О, если сила Р направлена по диагонали куба (рис. 106) и и

Решение. Проекции силы Р на координатные оси будут:

Так как точка приложения силы нам известна, то проекции линейного момента М на координатные оси найдутся по формулам (44):

откуда по формуле (43) находим:

Видео:Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силыСкачать

Момент силы относительно точки

Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов действующих на него сил относительно точки опоры равнялась нулю

Условие равновесия рычага. Твердое тело, имеющее возможность поворачиваться вокруг неподвижной оси под воздействием сил, линии действия которых расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, называют рычагом. Пусть рычаг (рис. 27) представляет собой невесомый жесткий стержень. На него действуют только две силы и , перпендикулярные к рычагу в точках А и В.

Если точка опоры С, т. е. точка пересечения оси вращения с плоскостью чертежа, лежит между линиями действия сил (рис. 27, а), то рычаг называют рычагом первого рода. Рычагом второго рода называют рычаг, в котором точка опоры находится по одну сторону от линий действия сил (рис. 27, б).

Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил и была уравновешена реакцией в точке опоры. Таким образом, равнодействующая сил и должна проходить через точку С, т. е. должно существовать равенство

Будем называть расстояние от точки опоры до линии действия силы плечом силы, а произведение модуля силы на плечо—моментом силы относительно точки опоры С. Момент .мы считаем положительным, если сила стремится повернуть рычаг против вращения стрелок часов, и отрицательным, если сила стремится повернуть плечо в ту же сторону, в какую поворачиваются стрелки часов. Момент силы относительно опоры на левом чертеже положительный, а момент силы — отрицательный.

Таким образом, условие равновесия рычага выразим так: для равновесия рычага необходимо и достатнчно, чтобы сумма моментов сил относительно точки опоры равнялась нулю:

(13)

Задача:

Груз G (рис. 28, а) поднимают тросом, перекинутым через блок и намотанным на барабан l лебедки. Барабан лебедки жестко скреплен с зубчатым колесом ll, которое находится в зацеплении с зубчатым колесом lll, жестко скрепленным с рукояткой O₃A. Определить силу F, прикладываемую к точке А рукоятки лебедки для равномерного поднятия груза G, в положении, изображенном на чертеже. Даны диаметры: D₁, D₂, D₃. Длина рукоятки O₃A=l.

Решение. Лебедку можно рассматривать как состоящую из двух рычагов. Один рычаг (назовем его первым) представляет собой твердое тело, состоящее из барабана l и шестерни ll и имеющее неподвижную ось O₁. Другой рычаг—твердое тело, состоящее из шестерни lll и рукоятки O₃A и имеющее неподвижную ось O₃. Для решения задачи из условия равновесия первого рычага определим давление P_3,2 между зубцами шестерен, а зная его, найдем F из условия равновесия второго рычага.

На первый рычаг действуют следующие силы (рис. 28, б): 1) сила натяжения троса, равная весу груза, направленная вверх и стремящаяся повернуть рычаг по ходу часовой стрелки; 2) давление P_3,2 зубцов колеса lll на зубцы колеса ll, направленное вверх и поворачивающее первый рычаг против хода часов, и 3) реакция в оси O₁.

Момент силы T относительно точки опоры O₁ равен — . Момент силы P_3,2 равен . Момент реакции в оси относительно точки O₁ равен нулю. Из условия равновесия рычага находим

Рис. 28

Ко второму рычагу (рис. 28, в) приложены: I) сила давления зубцов колеса II, равная (по принципу равенства действия и противодействия) P_3,2, но направленная вниз и стремящаяся повернуть второй рычаг против хода часов; 2) давление F руки человека, направленное вниз и поворачивающее рычаг по ходу часов, и 3) реакция в оси O₃, момент которой относительно O3 равен нулю.

Момент силы P_3,2 относительно точки опоры O₃ равен . Момент искомой силы F равен —F∙l. Пo условию равновесия рычага

Мы выясни ли, что момент силы относительно точки опоры рычага зависит не только от величины силы, но и от ее положения по отношению к точке опоры рычага. Чем дальше от точки опоры лежит линия действия силы, тем больше момент. Если сила не перпендикулярна рычагу (рис. 29), то способность ее поворачивать рычаг вокруг точки опоры мы и в этом случае будем измерять моментом силы, а под плечом будем понимать кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы. Пусть сила F приложена к рычагу в точке А и составляет с ним некоторый угол а. Разложим силу на две составляющие, из которых одна (F sin a) перпендикулярна к рычагу, а другая (F cos a) направлена вдоль рычага. Эта вторая составляющая не может повернуть рычаг, а поворачивать его будет только первая составляющая (F sin a) или, как говорят, только эта составляющая создает вращающий момент.

Рис. 29

Следовательно, момент силы F относительно опоры C

Но, как видно из чертежа, АC sin a= h. Называя плечом силы относительно точки длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы, мы находим, что и в этом случае момент равен произведению модуля силы на плечо:

(14)

Момент силы относительно точки выражается произведением модуля силы на плечо, взятым со знаком плюс или минус

Момент силы относительно точки. Понятие момента применимо не только к силам, действующим на рычаг, но и к силам, приложенным ко всякому твердому телу. Момент силы может быть определен не только относительно опоры, но и относительно всякой точки. Точку, относительно которой определен момент силы, называют центром момента.

Таким образом, опуская из точки О перпендикуляр на линию действия силы и умножая модуль силы на длину этого перпендикуляра, получим момент силы F относительно точки О. Знак момента будем определять, руководствуясь следующим правилом: если мысленно, закрепив центр момента и действуя на плечо в направлении силы, будем поворачивать плечо против хода часовой стрелки, то момент силы относительно данного центра положителен, если же по ходу часовой стрелки, то ‘.момент отрицателен.

Так (рис. 30), моменты сил , и относительно точки О положительны, а моменты сил и относительно той же точки отрицательны.

Одна и та же сила может иметь положительный момент относительно одной точки и отрицательный —относительно другой. Так, момент силы (рис. 31) относительно точки О положителен, а относительно точки C отрицателен.

Рис. 30

Рис. 31

Момент силы относительно начала координат связан с проекциями X и Y силы на оси и с координатами х и у точки ее приложения соотношением M₀=xY-yX.

Аналитическое выражение момента силы.

Пусть дана сила (рис. 32), направление которой составляет с осями координат углы α_F и β_F. Направляющие косинусы этой силы

;

.

Проведем вектор из начала координат в точку приложения силы. Этот вектор называют радиусом-вектором. Если координаты точки приложения силы обозначить через х и у, то, как видно из чертежа,

;

.

Плечо силы h относительно точки О определим из △OAN:

h = r sin δ.

И для определения величины момента силы получаем следующую формулу:

M₀= r Fsin δ. (15)

Угол δ как внутренний угол ΔOAK равен внешнему a_F без другого внутреннего, с ним не смежного—a_r, поэтому

Подставляя сюда, а затем в (15) найденные выше значения тригонометрических величин, получим

M₀= хY — yX 1 . (16)

Определяя момент силы по формуле (16), нет надобности определять его знак, сообразуясь с ходом часовой стрелки, т. к. знак получается непосредственно из формулы в зависимости от знаков χ, y, X, Y. В нашем курсе формуле (16) уделена значительная роль.

Момент силы относительно точки выражается векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы:

Момент силы относительно точки как вектор

Напомним, что векторным произведением на называют вектор направленный перпендикулярно к a и b согласно «правилу буравчика», а по модулю равный произведению модулей a и b на синус угла между направлениями этих векторов.

Следовательно, как видно из (15), величина момента силы равна модулю векторного произведения радиуса-вектора на вектор силы Момент силы относительно точки О как вектор можно представить:

(17)

Вектор не изображен на рис. 32, потому что он направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и , т. е. в данном случае перпендикулярно плоскости чертежа. Если же изобразить силу не в плоскости чертежа, а в трехмерном пространстве, то момент силы относительно точки О надо отложить от точки О перпендикулярно к плоскости, составляемой радиусом-вектором и вектором силы. Удобна следующая геометрическая интерпретация (рис. 33). Обозначив буквами А и В начало и конец вектора силы, получим треугольник OAB, площадь которого равна половине произведения основания AB на высоту h = OA sin δ.

Рис. 32

Рис. 33

Сравнивая это равенство с (14), найдем, что момент силы относительно точки О численно равен удвоенной площади треугольника OAB. Напомним, что отрезок AB выражен в единицах силы, а потому площадь треугольника OAB выражается не в единицах площади, а в единицах момента силы (ед. силы × ед. длины):

M₀ = 2 пл. ΔOAB 1

Вектор момента направлен от точки О перпендикулярно к плоскости OAB в такую сторону, с которой вектор силы AB представляется поворачивающим треугольник OAB вокруг точки О против хода часов. По модулю он равен (в некотором выбранном масштабе) удвоенной площади треугольника OAB.

Если вектор силы AB переместить вдоль линии действия силы в пределах абсолютно твердого тела, к которому сила AB приложена, оставив точку О неизменной, то вектор момента не изменится, так как не изменятся плоскость и площадь треугольника OAB. Сила является вектором скользящим, и действие силы, а следовательно, и ее момент не изменяются при перенесении силы вдоль линии действия. Напротив, если мы переменим точку О, то положение и площадь треугольника OAB, вообще говоря, изменятся, а следовательно, изменится и момент силы. Поэтому момент силы относительно какой-либо точки О является вектором прикрепленным, он приложен к точке О и переносить его в какое-либо другое место тела нельзя.
Выражение момента силы относительно точки в виде вектора вполне соответствует физической сущности этого понятия, и если силы расположены в различных плоскостях, то моменты сил относительно точки складывают по правилу параллелограмма. Только при рассмотрении системы сил, расположенных в одной плоскости, можно игнорировать направление вектора момента, а учитывать его величину и знак, т. е. определять момент по формулам (14), (15) или (16). В такой системе, когда все силы и центр моментов расположены в одной плоскости, векторы моментов различных сил относительно какой-либо точки О направлены от точки О перпендикулярно к этой плоскости в ту или другую сторону, и в этом случае их складывают алгебраически.

Момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих

Теорема Вариньона

Пусть даны пространственный пучок сил , , . (рис. 34) и равнодействующая этого пучка. Возьмем где-либо совершенно произвольно точку О, проведем радиус вектор из точки О в точку приложения сил пучка, определим момент каждой силы относительно точки О и сложим эти моменты:

Заменяя согласно (1) геометрическую сумму всех сил сходящейся системы их равнодействующей, получим

(18)

Словами это равенство можно прочитать так: момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент
силы относительно точки есть вектор, поэтому сумма является геометрической. В частном случае, если все силы и центр моментов лежат в одной плоскости, то все векторы моментов направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и геометрическое сложение моментов сил заменяется алгебраическим.

Рис. 35

Таким образом, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил равен алгебраической сумме моментов составляющих. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива не только для пучка сил, ио для всякой системы сил, имеющей равнодействующую. Так, например, момент равнодействующей R двух параллельных сил F₁ и F₂ относительно произвольной точки О (рис. 35) равен:

что и требовалось доказать. Методом от n к n+1 нетрудно показать справедливость теоремы Вариньона для любого числа сил.

Видео:Момент силы относительно точкиСкачать

Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, и затем определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости

Момент силы относительно оси. Ознакомление с понятием момента силы относительно оси, имеющим большое значение, начнем с конкретного примера. Дверь (рис. 36) может поворачиваться вокруг оси. Механическое воздействие силы , поворачивающей дверь, зависит не только от величины, но и от положения вектора силы по отношению к оси. Разложим силу на две составляющие, из которых одну направим параллельно осн, а другую () расположим в плоскости, перпендикулярной к оси. Очевидно, что составляющая, параллельная оси, поворачивать дверь не будет, действие же составляющей, расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси, зависит не только от ее величины Р, но и от кратчайшего расстояния между линией действия этой составляющей и осью. Иначе говоря, действие силы на закрепленную на оси дверь характеризуется моментом составляющей (расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси) относительно точки пересечения оси и плоскости.

Установим теперь общее правило определения момента силы относительно оси.

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно эту силу спроецировать на перпендикулярную к оси плоскость и определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости. Момент силы относительно оси — скалярная величина, потому что у него нет собственного направления, а «направлен» он по оси в ту или иную сторону, т. е. определяется величиной и знаком и, конечно, направлением оси.

Где именно проведена перпендикулярная к оси плоскость, не имеет значения, так как проекции силы на параллельные плоскости и плечи проекций силы во всех случаях одни и те же.

Если сила параллельна оси или пересекает ось, то момент силы относительно оси равен нулю. Эти два случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Рис. 36

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно какой-либо точки, взятой на оси

Покажем, что момент силы относительно оси равен проекции на данную ось вектора момента силы относительно какой-либо точки той же оси.

Возьмем на оси zz’ произвольную точку О (рис. 37) и определим момент силы относительно этой точки. Момент силы относительно точки О выражается вектором, по модулю равным удвоенной площади треугольника OAB и приложенным в точке О перпендикулярно к плоскости Δ OAB.

Проведем через точку О плоскость, перпендикулярную к оси. Чтобы определить момент M_z силы относительно оси, спроецируем силу на эту плоскость и определим момент проекции относительно точки пересечения оси и плоскости, т. е. относительно точки О. Этот момент численно равен удвоенной площади треугольника Oab и направлен перпендикулярно к Oab, т. е. по оси zz’.

Но Δ Oab является проекцией Δ OAB на плоскость, перпендикулярную к оси. Площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между плоскостями, измеряемого линейным углом между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е.

Спроецировав на ось момент силы относительно точки О и принимая во внимание это равенство, найдем, что численно

(19)

При решении задач особенно часто приходится определять моменты сил относительно координатных осей. Согласно только что доказанному момент силы относительно какой-либо из осей координат равен проекции на эту ось момента сил относительно любой точки этой оси, в частности относительно точки О начала координат:

(20)

где cosa_M, cosβ_M и Cosγ_M-направляющие косинусы вектора момента силы относительно начала координат.

Если момент относительно оси умножим на единичный вектор этой оси, то получим не проекцию, а составляющую момента относительно точки, не скалярную, а векторную величину:

(21)

Из равенств (20) и (21) непосредственно получаем

(22)

(22 / )

Аналитические выражения моментов силы относительно осей координат. Выразим моменты силы относительно осей координат через координаты точки приложения силы и проекции силы на координатные оси.

На чертеже (рис. 38) изображены оси координат и составляющие силы, приложенной к точке А (xyz) (сама сила на чертеже не показана). Чтобы определить моменты силы относительно оси Ох, нужно сначала спроецировать силу на плоскость yОz. Проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих, и вместо того, чтобы спроецировать силу , мы можем спроецировать ее составляющие. Проекция составляющей равна нулю, проекции же составляющих и равны этим составляющим.

Теперь нам остается определить алгебраическую сумму моментов этих проекций относительно точки О, которая по теореме Вариньона равна моменту проекции равнодействующей на плоскость yОz, или, что то же, моменту силы относительно оси Ох. Так мы получаем первую из формул (23). Аналогично можно доказать две другие формулы (23), выражающие моменты силы относительно осей Oy и Oz:

(23)

Для вывода формул (23) мы выбрали точку приложения силы в первом октанте (х, у и z положительны) и направили силу от начала координат (X, Y и Z положительны). Если координаты или проекции силы отрицательны, то в формулы (23) надо, конечно, подставить отрицательные значения.

Достаточно запомнить одну из формул (23), а следующую можно получить из предыдущей, применив круговую подстановку, т. е. заменив всюду икс на игрек, игрек на зет и зет на икс. Случаи, когда формулы можно получить одну из другой такой подстановкой, мы будем отмечать символом:

Выражение (23) можно получить непосредственно из свойств векторного произведения, если представить векторное произведение определителем третьего порядка:

(17 / )

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, найдем:

Сравнив это равенство с (22′), получим формулы (23).

Обратим внимание на то, что правая часть третьей из формул (23) тождественна выражению (16) момента силы, лежащей в плоскости хОу, относительно начала координат. Объяснение заключается в том, что при выводе формулы (23) для определения Мz силу сначала спроецировали на плоскость хОу и затем определили момент проекции относительно начала координат. Формула же (16) выражает момент относительно начала координат силы, лежащей в плоскости хОу. Моменты этой силы относительно осей, расположенных с ней в одной плоскости, равны нулю (M_x= 0, M_y= 0), а момент относительно оси O_z численно равен величине момента относительно начала координат (M_z = M₀).

Рис. 34

• Теория пар, не лежащих в одной плоскости
• Произвольная пространственная система сил
• Центр параллельных сил и центр тяжести
• Поступательное движение твердого тела
• Равновесие системы, состоящей из нескольких тел
• Графостатика в теоретической механике
• Расчет ферм
• Пространственная система сходящихся сил

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Момент силы относительно точки и осиСкачать

Формула момента силы

Видео:Момент силыСкачать

Определение и формула момента силы

Векторное произведение радиус – вектора ($bar$), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила $bar$ на сам вектор $bar$ называют моментом силы ($bar$) по отношению к точке O:

На рис.1 точка О и вектор силы ( $bar$)и радиус – вектор $bar$ находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы ($bar$) перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас. Вектор момента силы является аксиальным. Направление вектора момента силы выбирается таким образом, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор $bar$ создают правовинтовую систему. Направление момента сил и углового ускорения совпадают.

Величина вектора $bar$ равна:

$$M=r F sin alpha=l F$$

где $alpha$ – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, $l=r sin alpha$– плечо силы относительно точки О.

Видео:Радиус векторСкачать

Момент силы относительно оси

Моментом силы по отношению к оси является физическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно точки избранной оси на данную ось. При этом выбор точки значения не имеет.

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

Главный момент сил

Главным моментом совокупности сил относительно точки О называется вектор $bar$ (момент силы), который равен сумме моментов всех сил, действующих в системе по отношению к той же точке:

При этом точку О называют центром приведения системы сил.

Если имеются два главных моменты ($bar$ и $overline<M^>$)для одной системы сил для разных двух центров приведение сил (О и О’), то они связаны выражением:

где $bar_<O^>$ — радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’, $bar$ – главный вектор системы сил.

В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента $bar$ системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).

Видео:Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать

Основной закон динамики вращательного движения

где $bar$ – момент импульса тела находящегося во вращении.

Для твердого тела этот закон можно представить как:

где I – момент инерции тела, $bar$ – угловое ускорение.

Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Единицы измерения момента силы

Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н•м

Видео:Радиус-векторыСкачать

Примеры решения задач

Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO’. Момент силы, приложенный к телу относительно заданной оси, будет равен нулю? Ось и вектор силы расположены в плоскости рисунка.

Решение. За основу решения задачи примем формулу, определяющую момент силы:

В векторном произведении (видно из рисунка) $bar neq 0, bar neq 0$ . Угол между вектором силы и радиус – вектором также будет отличен от нуля (или $180^$), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.

Ответ. $bar neq 0$

Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?

Решение. Момент сил, приложенных к вращающемуся твердому телу можно найти при помощи основного закона вращательного движения:

где $varepsilon$ угловое ускорение вращения тела.его в свою очередь можно выразить через угловую скорость вращения тела как:

Перепишем (2.1), используя (2.2), имеем:

Так как $I neq 0$ (момент инерции не равен нулю), то для выполнения условия M=0 должна быть равна нулю производная от угловой скорости по времени. Производная равна нулю в экстремуме. На рис. экстремумом является точка 3.

Видео:§4.3. Главный вектор и главный момент сил инерцииСкачать

Глава 10. Вращаем объекты: момент силы

• Переходим от поступательного движения к вращательному движению
• Вычисляем тангенциальную скорость и тангенциальное ускорение
• Выясняем связь между угловым ускорением и угловой скоростью
• Разбираемся с моментом силы
• Поддерживаем вращательное движение

Эта и следующая главы посвящены вращательному движению объектов самой разной природы: от космических станций до пращи. Именно такое движение стало причиной того, что наша планета имеет круглую форму. Если вам известны основные свойства прямолинейного движения и законы Ньютона (они подробно описываются в двух первых частях этой книги), то вы сможете быстро овладеть основами вращательного движения. Даже если вы позабыли некоторые сведения из прежних глав, не беда, ведь к ним всегда можно вернуться в случае необходимости. В этой главе представлены основные понятия вращательного движения: угловая скорость угловое ускорение, тангенциальное ускорение, момент силы и т.п. Однако довольно слов, приступим к делу!

Видео:Момент импульса и момент силы относительно точки и оси | Студенты, абитуриенты МФТИ | Вуз. физика #1Скачать

Переходим от прямолинейного движения к вращательному

Для такого перехода нужно изменить уравнения, которые использовались ранее для описания прямолинейного движения. В главе 7 уже упоминались некоторые эквиваленты (или аналоги) из мира прямолинейного и вращательного движения.

Вот как выглядят основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

• ​ ( v=Delta/Delta ) ​, где ​ ( v ) ​ — это скорость, ​ ( Delta ) ​ — перемещение, a ( Delta ) — время перемещения;
• ( a=Delta/Delta ) , где ( a ) — это ускорение, ( Delta ) — изменение скорости, a ( Delta ) — время изменения скорости;
• ​ ( Delta=v_0(t_1-t_0)+^1!/!_2a(t_1-t_0)^2 ) ​, где ​ ( v_0 ) ​ — это начальная скорость, ​ ( t_0 ) ​ — это начальный момент времени, a ​ ( t_1 ) ​ — это конечный момент времени;
• ​ ( v^2_1-v^2_0=2aDelta ) ​, где ​ ( v_1 ) ​ — это конечная скорость.

По аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения:

• ​ ( omega=Delta/Delta ) ​, где ​ ( omega ) ​ — угловая скорость, ​ ( Delta ) ​ — угол поворота, ( Delta ) — время поворота на угол ( Delta ) ;
• ​ ( alpha=Delta/Delta ) ​, где ​ ( alpha ) ​ — угловое ускорение, ​ ( Delta ) ​ — изменение угловой скорости, ​ ( Delta ) ​ — время изменения угловой скорости;
• ​ ( theta=omega_0(t_1-t_0)+^1!/!_2a(t_1-t_0)^2 ) ​, где ​ ( omega_0 ) ​ — это начальная скорость;
• ​ ( omega^2_1-w^2_0=2as ) ​, где ​ ( omega_1 ) ​ — это конечная скорость.

Видео:Урок 80 (осн). Момент силы. Правило моментовСкачать

Разбираемся с параметрами вращательного движения

В физике движение принято разделять на поступательное и вращательное. При поступательном движении любая прямая, связанная с движущимся объектом, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям. Тангенциальным движением называется часть вращательного движения, происходящего по касательной к окружности вращения, а радиальным (или нормальным) движением — часть вращательного движения, происходящего перпендикулярно (по нормали) к касательной, т.е. вдоль радиуса окружности.

Параметры прямолинейного поступательного и вращательного движений можно связать следующими формулами:

Допустим, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ​ ( omega ) ​, равной 21,5 ( 21,5pi ) ​ радиан в секунду. С какой скоростью едет мотоцикл? Чтобы дать ответ на этот вопрос, достаточно воспользоваться простой формулой связи линейной и угловой скорости.

Вычисляем линейную скорость вращательного движения

Скорость тангенциального движения материальной точки принято называть линейной скоростью вращательного движения. На рис. 10.1 приведен пример вращения мячика для игры в гольф по окружности с радиусом ​ ( mathbf ) ​ и линейной скоростью ( mathbf ) . Скорость ( mathbf ) является векторной величиной, т.е. обладает величиной и направлением (подробнее о векторах рассказывается в главе 4), перпендикулярным радиус-вектору ( mathbf ) .

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением ​ ( v=romega ) ​, которое легко интуитивно понять. При одинаковой угловой скорости, чем дальше материальная точка от центра окружности вращения, тем больше ее линейная скорость.

Попробуем получить уже упомянутую выше формулу связи линейной и угловой скорости ( v=romega ) . Длина окружности ​ ( L ) ​ радиуса ​ ( r ) ​ выражается известной формулой ​ ( L=2pi r ) ​, а полный угол, который охватывает окружность, равен ​ ( 2pi ) ​ радиан. Соответственно, длина дуги окружности длиной ​ ( Delta s ) ​, охватывающая угол ​ ( Deltatheta ) ​, равна:

Из формулы прямолинейного движения

путем подстановки выражения для ​ ( Delta s ) ​ получим:

где ​ ( omega ) ​ — угловая скорость, ​ ( Delta ) ​— угол поворота, ​ ( Delta ) ​ — время поворота на угол ( Delta ) , то:

Теперь можно легко и просто дать ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущего раздела, т.е. определить скорость мотоцикла по угловой скорости вращения его колес. Итак, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ( omega ) , равной 21,5​ ( pi ) радиан в секунду. Пусть радиус колеса ​ ( r ) ​ равен 40 см, тогда достаточно использовать следующую формулу:

Подставляя в нее значения, получим:

Итак, скорость мотоцикла равна 27 м/с или 97 км/ч.

Вычисляем тангенциальное ускорение

Тангенциальным ускорением называется скорость изменения величины линейной скорости вращательного движения. Эта характеристика вращательного движения очень похожа на линейное ускорение прямолинейного движения (см. главу 3). Например, точки на колесе мотоцикла в момент старта имеют нулевую линейную скорость, а спустя некоторое время после разгона ускоряются до некоторой ненулевой линейной скорости. Как определить это тангенциальное ускорение точки колеса? Переформулируем вопрос: как связать линейное ускорение

где ​ ( a ) ​ — это ускорение, ​ ( Delta v ) ​ — изменение скорости, a ​ ( Delta t ) ​ — время изменения скорости, с угловым ускорением

где ( Deltaomega ) — изменение угловой скорости, ( Delta t ) — время изменения угловой скорости?

Как мы уже знаем, линейная и угловая скорости связаны равенством

Подставим это выражение в предыдущую формулу линейного ускорения:

Поскольку радиус остается постоянным, то его можно вынести за скобки:

Поскольку угловое ускорение ​ ( alpha=Deltaomega/Delta t ) ​, то:

Итак, получаем следующую формулу связи между линейным и угловым ускорением:

Иначе говоря, тангенциальное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение.

Вычисляем центростремительное ускорение

Центростремительнным ускорением называется ускорение, необходимое для удержания объекта на круговой орбите вращательного движения. Как связаны угловая скорость и центростремительное ускорение? Формула для центростремительного ускорения уже приводилась ранее (см. главу 7):

Теперь, используя известную формулу связи линейной и угловой скорости ​ ( v=romega ) ​, получим:

По этой формуле можно определить величину центростремительного ускорения по известной угловой скорости и радиусу. Например, для вычисления центростремительного ускорения Луны, вращающейся вокруг Земли, удобно использовать именно эту формулу.

Луна делает полный оборот вокруг Земли за 28 дней, т.е. за 28 дней Луна проходит ​ ( 2pi ) ​ радиан. Отсюда получаем угловую скорость Луны:

Чтобы получить значение угловой скорости в привычных единицах, следует преобразовать дни в секунды:

После подстановки этого значения в предыдущую формулу получим:

Средний радиус орбиты Луны равен 3,85·10 8 м. Подставляя эти значения угловой скорости и радиуса в формулу центростремительного ускорения, получим:

Зная это ускорение и массу Луны, которая равна 7,35·10 22 кг, можно определить центростремительную силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите:

Видео:10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать

Используем векторы для изучения вращательного движения

В предыдущих разделах этой главы угловая скорость и угловое ускорение рассматривались как скаляры, т.е. как параметры, характеризующиеся только величиной. Однако эти параметры вращательного движения, на самом деле, являются векторами, т.е. они обладают величиной и направлением (см. главу 4). В этом разделе рассматривается величина и направление некоторых параметров вращательного движения.

Определяем направление угловой скорости

Как нам уже известно, вращающееся колесо мотоцикла имеет не только угловую скорость, но и угловое ускорение. Что можно сказать о направлении вектора угловой скорости? Оно не совпадает с направлением линейной тангенциальной скорости, а… перпендикулярно плоскости колеса!

Эта новость всегда приводит к некоторому замешательству среди новичков: угловая скорость ​ ( omega ) ​, оказывается, направлена вдоль оси вращающегося колеса (рис. 10.2). Во вращающемся колесе единственной неподвижной точкой является его центр. Поэтому начало вектора угловой скорости принято располагать в центре окружности вращения.

Для определения направления вектора угловой скорости ( omega ) часто используют правило правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление тангенциальной скорости, то вытянутый большой палец укажет направление вектора угловой скорости ( omega ) .

Теперь угловую скорость можно использовать так же, как и остальные векторные характеристики движения. Направление вектора угловой скорости можно найти по правилу правой руки, а величину — по приведенной ранее формуле. То, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, часто вызывает некоторые трудности у начинающих, но к этому можно быстро привыкнуть.

Определяем направление углового ускорения

Если вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, то куда направлен вектор углового ускорения в случае замедления или ускорения вращения объекта? Как известно (см. предыдущие разделы), угловое ускорение определяется формулой:

где ​ ( alpha ) ​ — угловое ускорение, ​ ( Deltaomega ) ​ — изменение угловой скорости, ​ ( Delta t ) ​— время изменения угловой скорости.

В векторной форме оно имеет следующий вид:

где ​ ( mathbf ) ​ — вектор углового ускорения, а ​ ( Deltamathbf ) ​ — изменение вектора угловой скорости. Отсюда ясно, что направление вектора углового ускорения совпадает с направлением изменения вектора угловой скорости.

Если вектор угловой скорости меняется только по величине, то направление вектора углового ускорения параллельно направлению вектора угловой скорости. Если величина угловой скорости растет, то направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.3.

А если величина угловой скорости падает, то направление вектора углового ускорения противоположно направлению вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.4.

Видео:Статика. Пара сил. Лекция (17)Скачать

Поднимаем грузы: момент силы

В физике большое значение имеет не только время, но и место приложения силы. Всем когда-либо приходилось пользоваться рычагом для перемещения тяжелых грузов. Чем длиннее рычаг, тем легче сдвинуть груз. На языке физики применение силы с помощью рычага характеризуется понятием момент силы.

Приложение момента силы неразрывно связано с вращательным движением объектов. Если приложить силу к краю карусели, то карусель начнет вращательное движение. Чем дальше точка приложения силы, тем легче раскрутить карусель до заданной угловой скорости (параметры вращательного движения описываются в главе 1 1 ).

В верхней части рис. 10.5 показаны весы-качели с грузом массы ​ ( m_1 ) ​ на одном конце и грузом большей массы ​ ( m_2=2m_1 ) ​ посередине. Чтобы уравновесить весы-качели, нужно сместить груз с большей массой ​ ( m_2 ) ​ к другому концу весов, как показано в нижней части рис. 10.5. Как известно из опыта, размещение груза в точке вращения весов не приводит к уравновешиванию весов. Чтобы уравновесить весы, нужно сдвинуть груз с большей массой ( m_2=2m_1 ) к другому концу весов на расстояние вдвое меньшее, чем расстояние от точки вращения до второго груза с массой ​ ( m_1 ) ​.

Знакомимся с формулой момента силы

Для уравновешивания весов важно не только, какая сила используется, но и где она прикладывается. Расстояние от точки приложения силы до точки вращения называется плечом силы.

Предположим, что нам нужно открыть дверь, схематически показанную на рис. 10.6. Как известно из опыта, дверь практически невозможно открыть, если прилагать силу вблизи петель (см. схему А на рис. 10.6). Однако, если приложить силу посередине двери, то открыть ее будет гораздо проще (см. схему Б на рис. 10.6). Наконец, прилагая силу у противоположного края двери по отношению к расположению петель, ее можно открыть с еще меньшим усилием (см. схему В на рис. 10.6).

На рис. 10.6 расстояние от мест расположения петель до точки приложения силы и есть плечо силы. Моментом силы называется произведение прилагаемой силы ​ ( F ) ​ на плечо силы ​ ( l ) ​:

Момент силы в системе СИ измеряется в Н·м, а в системе СГС — в дин·см (подробнее эти системы единиц измерения описываются в главе 2).

Вернемся к примеру на рис. 10.6, где требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н. В случае А (см. рис. 10.6) плечо силы равно нулю и произведение этого плеча на силу любой величины (включая и силу 200 Н) даст нулевой момент силы. В случае Б (см. рис. 10.6) плечо силы равно половине ширины двери, т.е. плечо силы ​ ( l ) ​ равно 0,5 м и момент силы будет равен:

В случае В (см. рис. 10.6) плечо силы равно ширине двери, т.е. плечо силы ( l ) равно 1 м и момент силы будет равен:

Итак, увеличение вдвое длины плеча при той же силе дает нам такое же увеличение момента силы. До сих пор сила прилагалась перпендикулярно к линии, соединяющей точку приложения силы и точку вращения. А что будет с моментом силы, если дверь будет немного приоткрыта и направление силы уже будет не перпендикулярным?

Разбираемся с направлением приложенной силы и плечом силы

Допустим, что сила приложена не перпендикулярно к поверхности двери, а параллельно, как показано на схеме А на рис. 10.7. Как известно из опыта, таким образом дверь открыть невозможно. Дело в том, что у такой силы нет проекции, которая бы могла вызвать вращательное движение. Точнее говоря, у такой силы нет ненулевого плеча для создания вращательного момента силы.

Размышляем над тем, как создается момент силы

Момент силы из предыдущего примера требуется создавать всегда для открытия двери независимо от того, какую дверь приходится открывать: легкую калитку изгороди или массивную дверь банковского сейфа. Как вычислить необходимый момент силы? Сначала нужно определить плечо сил, а потом умножить его на величину силы.

Однако не всегда все так просто. Посмотрите на схему Б на рис. 10.7. Как видите, сила прилагается под некоторым углом ​ ( theta ) ​. Как в таком случае определить плечо силы? Если бы угол ( theta ) был прямым, то мы могли бы воспользоваться уже известно нам формулой:

Однако в данном случае угол ( theta ) не является прямым.

В таком случае нужно просто помнить следующее правило: плечом силы называется длина перпендикуляра, опущенного из предполагаемой точки вращения на прямую, относительно которой действует сила.

Попробуем применить это правило определения плеча силы для схемы Б на рис. 10.7. Нужно продлить линию, вдоль которой действует сила, а потом опустить на нее перпендикуляр из точки вращения двери. Из полученного прямоугольного треугольника легко определить искомое плечо силы:

Если угол ( theta ) равен нулю, то никакого момента силы не возникает (см. схему А на рис. 10.7).

Итак, получаем для момента силы для схемы Б на рис. 10.7:

Например, если требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н, приложенной под углом ( theta ) = 45°, то создаваемый момент этой силы будет равен:

Как видите, этот момент силы 140 Н·м меньше, чем момент силы 200 Н·м, созданный под прямым углом на схеме В на рис. 10.6.

Определяем направление момента силы

Учитывая все приведенные выше сведения о моменте силы, у читателя вполне может возникнуть подозрение, что момент силы обладает направлением. И это действительно так. Момент силы является векторной величиной, направление которой определяется по правилу правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление силы, то вытянутый большой палец укажет направление вектора момента силы.

На рис. 10.8 показан пример силы ​ ( mathbf ) ​ с плечом ( mathbf ) и соответствующего вектора момента сил ( mathbf ) .

Видео:10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать

Уравновешиваем моменты сил

В жизни нам часто приходится сталкиваться с равновесными состояниями. Как равновесное механическое состояние определяется с точки зрения физики? Обычно физики подразумевают под равновесным состоянием объекта то, что он не испытывает никакого ускорения (но может двигаться с постоянной скоростью).

Для поступательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех сил, действующих на объект равна нулю:

Иначе говоря, результирующая действующая сила равна нулю.

Вращательное движение также может быть равновесным, если такое движение происходит без углового ускорения, т.е. с постоянной угловой скоростью.

Для вращательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех моментов сил, действующих на объект, равна нулю:

Как видите, это условие равновесного вращательного движения аналогично условию равновесного поступательного движения. Условия равновесного вращательного движения удобно использовать для определения момента силы, необходимого для уравновешивания неравномерно вращающегося объекта.

Простой пример: вешаем рекламный плакат

Предположим, что у входа в магазин нужно повесить большой и тяжелый рекламный плакат, как показано на рис. 10.9. Хозяин магазина пытался сделать это и раньше, но у него ничего не выходило, поскольку он использовал очень непрочный болт.

Попробуем определить силу, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, показанную на рис. 10.9. Пусть плакат имеет массу 50 кг и висит на шесте 3 м от точки опоры шеста, а массу шеста в данном примере будем считать пренебрежимо малой. Болт находится в 10 см от точки опоры шеста.

Согласно условиям равновесия, сумма всех моментов сил должна быть равна нулю:

где ​ ( mathbf ) ​ — это момент силы со стороны плаката, а ( mathbf ) — это момент силы со стороны болта.

Чему равны упомянутые моменты? Момент силы со стороны плаката можно легко определить по формуле:

где ​ ( m ) ​ = 50 кг — это масса плаката, ​ ( mathbf ) ​ — ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения (силы тяжести), ​ ( mmathbf ) ​ — сила тяжести плаката, а ​ ( l_п ) ​ = 3 м — это плечо силы тяжести плаката.

Подставляя значения, получим:

Обратите внимание, что здесь перед ускорением свободного падения под действием силы гравитационного притяжения стоит знак “минус”. Это значит, что вектор ускорения свободного падения направлен вниз, т.е. в сторону, противоположную выбранному направлению оси координат.

Момент силы со стороны болта определяется формулой:

где ( mathbf ) — это искомая сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, а ( l_б ) = 0,1 м — это ее плечо.

Подставляя полученные выражения для моментов сил в формулу:

Отсюда с помощью простых алгебраических преобразований получим искомую силу:

Как видите сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, направлена противоположно вектору ускорения свободного падения, т.е. вверх.

Подставляя значения, получим искомый ответ:

Более сложный пример: учитываем силу трения при расчете равновесия

Рассмотрим теперь другую более сложную задачу, в которой для расчета равновесия системы объектов нужно учесть силу трения. Предположим, что работник магазина решил использовать переносную лестницу для монтажа рекламного плаката, как схематически показано на рис. 10.10.

Пусть лестница длиной ​ ( l_л ) ​ = 4 м стоит под углом ​ ( theta ) ​ = 45° к поверхности тротуара, работник имеет массу ​ ( m_р ) ​ = 45 кг и находится на ней на расстоянии ( l_р ) = 3 м от нижнего конца лестницы, лестница имеет массу (m_л ) = 20 кг, а коэффициент трения покоя между поверхностью тротуара и концами лестницы равен ​ ( mu_п ) ​ = 0,7. Вопрос: будет ли такая система объектов находиться в состоянии равновесия? Попросту говоря, достаточной ли будет сила трения, чтобы лестница вместе с рабочим не соскользнула и упала?

Итак, для ответа на этот вопрос нам нужно учесть следующие силы, действующие на лестницу:

• ​ ( mathbf ) ​ — нормальная сила со стороны стены;
• ( mathbf ) — вес рабочего;
• ( mathbf ) — вес лестницы;
• ( mathbf<F_> ) — сила трения между поверхностью тротуара и концами лестницы;
• ( mathbf ) — нормальная сила со стороны тротуара.

Согласно условиям равновесного поступательного движения, сумма всех сил, действующих на лестницу, должна быть равна нулю:

Это значит, что сумма всех сил вдоль горизонтальной оси, а именно нормальной силы со стороны стены ( mathbf ) и силы трения между поверхностью тротуара и концами лестницы ( mathbf<F_> ) , должна быть равна нулю, то есть:

Перефразируя поставленный выше вопрос о достаточности силы трения, получим: выполняется ли условие

Кроме того, сумма всех сил вдоль вертикальной оси, а именно веса рабочего ( mathbf ) , веса лестницы ( mathbf ) и нормальной силы со стороны тротуара ( mathbf ) , должна быть равна нулю, то есть:

Согласно условиям равновесного вращательного движения, также необходимо равенство нулю всех моментов сил, действующих на лестницу:

Пусть предполагаемой точкой вращения является нижний конец лестницы, тогда должна быть равна нулю сумма моментов сил, создаваемых весом рабочего ​ ( mathbf ) ​, весом лестницы ( mathbf ) и нормальной силой со стороны стены ( mathbf ) :

Поскольку ​ ( L_р=l_р ) ​, ​ ( L_л=l_л/2 ) ​ (центр тяжести лестницы находится посередине лестницы), ( L_с=l_л ) , ​ ( alpha=360^-theta ) ​, ( beta=360^-theta ) и ​ ( gamma=theta ) ​, то получим:

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными сил ( mathbf ) и ( mathbf ) :

Зададимся вопросом: соблюдается ли условие

Из системы двух уравнений получим:

Итак, остается выяснить, соблюдается ли условие:

После подстановки значений получим:

Поскольку ​ ( mu_т ) ​ = 0,7, то упомянутое условие соблюдается, и лестница с рабочим не упадет.

🎬 Видео

Момент инерцииСкачать

ЕГЭ по Физике 2022. Кинематика. Радиус-векторСкачать

Перемещение как изменение радиус-вектораСкачать

Момент силыСкачать

Момент силыСкачать