Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах, параметры ε, μ и σ которых – непрерывные функции координат (или не зависят от координат). На практике, однако, рассматриваемая область может состоять из двух (и более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно считают, что параметры ε, μ и σ (или по крайней мере один из них) на границе раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела неудобно, и для изучения поведения векторов поля при переходе из одной среды в другую следует исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме (1.54).
Соотношения, показывающие связь между значениями составляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соответственно из третьего (1.43) и четвертого (1.46) уравнений Максвелла в интегральной форме. Сравнивая эти уравнения, замечаем, что равенство (1.46) может быть формально получено из уравнения (1.43), если в последнем заменить D на В и положить ρ = 0. Поэтому ограничимся выводом граничного условия для нормальной составляющей вектора D, а из него указанными преобразованиями получим граничное условие для нормальной составляющей вектора В.
На поверхности раздела S0 двух изотропных сред, характеризуемых параметрами ε1, μ1 и σ1 и ε2, μ2 и σ2 соответственно, в окрестности произвольно выбранной точки М выделим достаточно малый элемент ΔS(M 
ΔS). Элемент ΔS должен быть достаточно мал, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, а, во-вторых, чтобы в обеих средах распределение нормальной компоненты вектора D можно было считать равномерным в пределах ΔS.
Построим на элементе ΔS прямой цилиндр высотой 2Δh так, чтобы его основания находились в разных средах (рис. 1.14), и применим к нему третье уравнение Максвелла в интегральной форме (1.43):
(1.80)
где Sц и Vц – поверхность и объем цилиндра соответственно. Так как поверхность цилиндра можно представить в виде Sц = ΔS1 + Sбок + ΔS2, где ΔS1 и ΔS2 – площади верхнего и нижнего оснований цилиндра соответственно, а Sбок – его боковая поверхность, то уравнение (1.80) принимает вид
Рис. 1.14. Прямой цилиндр с основаниями в разных средах
Элемент dS направлен по внешней нормали к поверхности SЦ, поэтому dS = n0dS на ΔS1 и dS = -n0dS на ΔS2, где n0 – орт нормали к поверхности раздела S в точке М, направленный из второй среды в первую. Устремляя Δh к нулю (при этом ΔS1 и ΔS2 совпадут с ΔS), приходим к следующим равенствам:
где D1 и D2 – значения вектора D на границе раздела в первой и второй средах соответственно; D1n и D2n – проекции векторов D1 и D2 на нормаль n0. С учетом этих соотношений после перехода в уравнении (1.81) к пределу Δh→0 получаем
(1.82)
Если заряд 
не сосредоточен на поверхности раздела, т.е. не является поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности заряда ρ правая часть формулы (1.82) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе из одной среды в другую:
Особый интерес представляет случай, когда заряды распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуют плотностью поверхностных зарядов ρs (ее часто называют также поверхностной плотностью зарядов), определяемой соотношением:
(1.84)
где ΔQ – заряд на элементе поверхности ΔS. Как видно из (1.84), ρs измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
Пусть теперь на границе раздела имеются поверхностные заряды с плотностью ρs. В этом случае правая часть уравнения (1.82) уже не будет равна нулю. Считая распределение заряда на площадке ΔS равномерным (в противном случае нельзя считать равномерным распределение D1n и D2n), разделим обе части уравнения (1.82) на ΔS. В результате получим
Соотношение (1.85) показывает, что при переходе из одной среды в другую нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв (скачок), равный плотности поверхностных зарядов, распределенных по границе раздела. Выражая в этом соотношении D1n и D2n через Е1n и Е2n с помощью равенства D = εE, получаем граничное условие для нормальных компонент вектора Е:
ε1E1n – ε 2E2 n = ρs. (1.86)
Если на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды, то условие (1.86) можно представить в виде
(1.87)
Соотношение (1.87) показывает, что нормальная составляющая вектора Е при переходе через незаряженную поверхность раздела двух сред имеет разрыв, величина которого определяется отношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие плотности поверхностных зарядов ρs в рассматриваемой точке приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или уменьшая его. При определенном значении ρs нормальная составляющая вектора Е может даже оказаться непрерывной.
Отметим, что поверхностные заряды обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя зарядов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального заряженного слоя составляющая Dn непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя зарядов бесконечно тонким (т.е. поверхностными зарядами) приходится считать, что Dn изменяется скачком.
Граничное условие для нормальной составляющей вектора В, как уже отмечалось, формально может быть получено из (1.85), если положить ρs = 0 и заменить D1n и D2n на В1n и В2n соответственно. При этом придем к соотношению
Из (1.88) следует, что составляющая Bn непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь, нормальная составляющая вектора Н имеет разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей. Выражая в равенстве (1.88) В1n и В2n через H1n и H2n, получаем
(1.89)
Видео:2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела средСкачать
Граничные условия для нормальных составляющих векторов в и н
webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.
Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.
Чем может быть полезен webkonspect.com:
- простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
- просмотр конспекта без выхода в интернет.
- удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
- конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
- webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.
Видео:Билеты №18 и 19 "Теорема о циркуляции магнитного поля. Граничные условия"Скачать
Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля на границе раздела двух сред
А) Граничные условия для вектора электрической индукции.
Рассмотрим границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями 
и 
. Выделим на границе элементарный цилиндр, как показано на рис. 3.1.1.
 |
Рис.1.4.1.Элементарный цилиндр, выделенный на границе раздела двух сред для определения граничных условий на вектор электрической индукции. 
и 
— нормали к поверхности S.
Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток вектора электрической индукции 
через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри объема V, ограниченного этой поверхностью:
(3.1.1)
Устремим высоту цилиндра к нулю 
. Тогда (3.1.1) преобразуется так:
(3.1.2)
Где 
, 
– компоненты вектора индукции, перпендикулярные границе раздела, S — площадь основания цилиндра.
Введем поверхностную плотность заряда:
(3.1.3)
Размерность поверхностной плотности заряда 
= Кл/м2 (Кулон на квадратный метр).
Тогда (3.1.2) можно переписать в виде
(3.1.4)
Если плотность поверхностного заряда равна нулю (
), то
. (3.1.5)
Мы можем сформулировать следующее важное утверждение:
На границе раздела, не содержащей поверхностных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна.
Б) Граничные условия для вектора магнитной индукции.
Рассмотрим границу раздела двух сред, обладающих различной магнитной проницаемостью. Из тех же соображений, что и в предыдущем пункте и принимая во внимание, что магнитных зарядов не существует, можно записать
(3.1.6)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции всегда непрерывна.
В) Граничные условия для вектора напряженности электрического поля 
.
Рассмотрим снова границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе замкнутый контур в соответствии с рис. 3.1.2. и используем закон электромагнитной индукции:
Где L — выбранный контур, L = 2 (1 + 
) , S — площадь поверхности, ограниченная контуром L.
 |
Рис.3.1.2. Контур на границе раздела двух сред, используемый при определении граничных условий для векторов напряженности электрического поля.
Устремим ширину контура к нулю, тогда поток вектора 
через поверхность S обратится в ноль, и мы получим
(3.1.7)
Откуда следует, что
(3.1.8)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля всегда непрерывна.
Г) Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля Н.
Как в предыдущем случае выделим на границе раздела двух сред замкнутый контур L (рис.1.4.2). Воспользуемся законом полного тока
(3.1.9)
Где 
— плотность тока, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L.
Учтем, что вдоль границы раздела может течь ток проводимости, тогда при стремлении 
следует ввести поверхностную плотность тока:
(3.1.10)
Размерность поверхностной плотности тока [
] = А/м. Теперь (3.1.9) можно переписать так:
Откуда следует, что
(3.1.11)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред разность касательных составляющих напряженности магнитного поля равна поверхностной плотности тока.
При отсутствии поверхностного тока
(3.1.12)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.
Д) Граничные условия на поверхности идеального проводника.
Определим идеальный проводник, как проводник, внутрь которого не может проникать электромагнитное поле 
. Для полей СВЧ-диапазона хорошие проводники (серебро, медь) можно в первом приближении рассматривать как идеальные. На поверхности такого проводника, тем не менее, может течь ток проводимости и формироваться поверхностный заряд. Поэтому на поверхности идеального проводника
, 
,
, 
.
Силовые линии электрического поля перпендикулярны к поверхности идеального проводника; силовые линии магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника, как показано на рис.3.1.3.
 |
Рис.3.1.3. Силовые линии электрического и магнитного полей вблизи поверхности идеального проводника.
🎦 Видео
46. Граничные условия для электрического поляСкачать
Соколов В.А. - Электродинамика.Часть 2.Лекции - 4. Граничные условия для полейСкачать
Билет №06-08 "Диэлектрики"Скачать
ЧК_МИФ (ЛИКБЕЗ) 3_2_1 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД -1 (Минимум теории)Скачать
ЭМ Л25. 2023. Граничные условия для магнетиков. Магнитный закон Ома. ИндуктивностьСкачать
Лекция 4-2. Условия на границе раздела двух диэлектриковСкачать
4 Лекция Электродинамика (Граничные условия)Скачать
5.7 Граничные условия Леонтовича. Поверхностный эффект. Мощность потерь в проводникеСкачать
Лекция №4 "Диэлектрики, вектор электрической индукции"Скачать
3.1. Граничные условия для электромагнитного поляСкачать
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Лекция по физике №12. Электрическое поле в веществе. Проводники и диэлектрики. Вектор индукции.Скачать
Электричество - Семинар 4 - Задача 4 - Иродов 2.293Скачать
1.1 Векторы напряженности и индукции электрического и магнитного полейСкачать
Васильева О. Н. - Электромагнетизм. Семинары - Диэлектрики в электростатическом полеСкачать
Лекция VII-5. Численные методы в механике грунтовСкачать
Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать
Двухфазное КЗ на векторных диаграммахСкачать
