Теорема пифагора равностороннего треугольника

Теорема Пифагора

Теорема пифагора равностороннего треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

  • a = √c 2 − b 2
  • b = √c 2 − a 2
  • c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

  • если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
  • если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
  • если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Видео:Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnline

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

  • Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
  • Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
  • Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
  • Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
  • Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
  • Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
  • Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

  • Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
  • Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
  • Проведём отрезок A₁B₁.
  • Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
  • В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
  • Таким образом получится:
  • Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
  1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
  2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.
  • Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
  • Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Видео:Теорема ПИФАГОРА ❤️Скачать

Теорема ПИФАГОРА ❤️

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

  • Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Теорема Пифагора онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Видео:8 класс, 16 урок, Теорема ПифагораСкачать

8 класс, 16 урок, Теорема Пифагора

Теорема Пифагора. Доказательство

Теорема 1 (Теорема Пифагора) . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема пифагора равностороннего треугольникаТеорема пифагора равностороннего треугольника

Доказательство (метод площадей). Пусть задан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (Рис.1). Докажем, что ( small c^2=a^2+b^2. )

Построим квадрат со стороной a+b из четырех таких прямоугольных треугольников (Рис.2). Тогда внутренний белый четырехугольник будет квадратом со стороной c.

Действительно. В прямоугольных треугольниках (Рис.2) ( small angle 1 +angle 2=90° ) Следовательно, каждый угол квадрата со стороной c равен ( small angle 3=180&deg-(angle 1 +angle 2)=180°-90°=90°.)

Далее, площадь квадрата со стороной a+b равна:

( small S_=(a+b)^2. )(1)

Площадь квадрата со стороной c равна:

( small S_с=с^2. )(2)

Площадь каждого прямоугольного треугольника на рисунке 2 равна:

( small S=frac12ab. )(3)

Площадь квадрата со стороной a+b равна сумме площади квадрата со стороной c и четырех площадей прямоугольных треугольников c катетами a и b:

( small S_=S_c+4 cdot S )(4)

Подставляя (1)-(3) в (4), получим:

( small (a+b)^2=с^2+4 cdot frac12ab, )
( small a^2+2ab+b^2=с^2+2ab, )
( small a^2+b^2=с^2. )Теорема пифагора равностороннего треугольника

Доказательство (через подобные треугольники). Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с катетами a и b и гипотенузой c (Рис.3). Докажем, что ( small c^2=a^2+b^2. ) Проведем высоту CH. Прямоугольные треугольники ACB и CHB подобны по двум углам: ( small angle ACB= angle CHB=90°, angle B -)общий (см. стратью на странице Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников).

Теорема пифагора равностороннего треугольника
( small frac=frac )
( small a^2=c cdot |HB| )(5)

Прямоугольные треугольники ACB и AHC подобны по двум углам: ( small angle ACB= angle AHC=90°, angle A -)общий.

( small frac=frac )
( small b^2=c cdot |AH| )(6)

Сложив уравнения (5) и (6), получим

( small a^2+b^2=c cdot |AH| +c cdot |HB|=c( |AH|+|HB|)=c^2. )Теорема пифагора равностороннего треугольника

Доказательство (Евклид). Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c (Рис.4). Докажем, что ( small c^2=a^2+b^2. )

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Достаточно доказать, что площадь квадрата ABFD равна сумме площадей ACLK и BCGJ:

( small S_=S_+S_ . )

Площадь треугольника ACD по двум сторонам и углу между ними равен:

( small S_=frac 12 cdot AC cdot AD cdot sin(90°+alpha) ) ( small =frac 12 cdot AC cdot AD cdot sin alpha . )(7)

Учитывая, что ( small sin angle ACH=sin (90°-alpha)=sin alpha, ) применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ACH:

( small frac =frac =frac )
( small sin alpha =frac . )(8)

Подставляя (8) в (7), получим:

( small S_=frac 12 cdot AH cdot AD. )(9)

Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ABC:

( small frac =frac =AB=frac =frac )
( small sin alpha =frac )(10)

Подставляя (10) в (7), получим:

( small S_=frac 12 cdot AC^2 cdot frac )(11)

Учитывая, что ( small AD=AB, ) получим:

( small S_=frac 12 cdot AC^2 . )(12)

Из (9) и (12), имеем:

( small AH cdot AD=AC^2. )(13)

Аналогично можно показать, что

( small HB cdot BF=BC^2. )(14)

Сложив (13) и (14), получим:

( small AH cdot AD+HB cdot BF=S_=AC^2+BC^2. )
( small c^2=b^2+a^2. )Теорема пифагора равностороннего треугольника

Видео:Теорема Пифагора. 8 класс.Скачать

Теорема Пифагора. 8 класс.

Теорема Пифагора. Примеры и решения

Пример 1 . Известны катеты прямоугольного треугольника ( small a=frac, ) ( small b=frac. ) Найти гипотенузу.

Решение: Для нахождения гипотенузы воспользуемся формулой Пифагора:

( small c^2=a^2+b^2. )
( small c=sqrt. )(15)

Подставляя значения ( small a ) и ( small b ) в (15), получим:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Ответ:Теорема пифагора равностороннего треугольника

Пример 2 . Известны катет ( small a=frac ) и гипотенуза ( small c=7 ) прямоугольного треугольника. Найти неизвестный катет.

Решение: Для нахождения неизвестного катета воспользуемся теоремой Пифагора:

( small c^2=a^2+b^2. )
( small b=sqrt. )(16)

Подставляя значения ( small a ) и ( small b ) в (16), получим:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Ответ:Теорема пифагора равностороннего треугольника

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника.

Будет полезно сохранить таблицу Пифагора.

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,

построенных на катетах.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

Видео:Edu: Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора?Скачать

Edu: Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора?

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

Теорема пифагора равностороннего треугольника,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Видео:Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольникСкачать

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольник

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Видео:Формулы для равностороннего треугольника.Скачать

Формулы для  равностороннего треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Видео:7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

Теорема пифагора равностороннего треугольника Теорема пифагора равностороннего треугольника

Теорема пифагора равностороннего треугольника,

что соответствует — Теорема пифагора равностороннего треугольника

Сложив a 2 и b 2 , получаем: Теорема пифагора равностороннего треугольника

или Теорема пифагора равностороннего треугольника, что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

  • Доказательство через равнодополняемость.

Теорема пифагора равностороннего треугольникаРасположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Используя метод разделения переменных, находим:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Теорема пифагора равностороннего треугольника

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

🎦 Видео

Теорема Пифагора и площадь прямоугольного треугольникаСкачать

Теорема Пифагора и площадь прямоугольного треугольника

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!Скачать

ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Равносторонний треугольникСкачать

Равносторонний треугольник

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: