Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы площадей всех основных фигур
Содержание
  1. 1. Формула площади круга через радиус или диаметр
  2. 2. Формула расчета площади треугольника
  3. 3. Площадь треугольника, формула Герона
  4. 4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам
  5. 5. Как вычислить площадь равнобедренного треугольника ?
  6. 6. Площадь равностороннего треугольника равна:
  7. 7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны
  8. 8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
  9. 9. Формула расчета площади прямоугольника
  10. 10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону
  11. 11. Формулы площади параллелограмма
  12. 12. Площадь произвольной трапеции
  13. 13. Площадь равнобедренной трапеции
  14. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  15. Описанная и вписанная окружности треугольника
  16. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  17. Вписанные и описанные четырехугольники
  18. Окружность, вписанная в треугольник
  19. Описанная трапеция
  20. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  21. Обобщенная теорема Пифагора
  22. Формула Эйлера для окружностей
  23. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  24. Длина окружности
  25. Как найти длину окружности через диаметр
  26. Как найти длину окружности через радиус
  27. Как вычислить длину окружности через площадь круга
  28. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
  29. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
  30. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
  31. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
  32. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
  33. Задачи для решения

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

1. Формула площади круга через радиус или диаметр

Зная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

r — радиус круга

D — диаметр

Формула площади круга, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

2. Формула расчета площади треугольника

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

h высота треугольника

a основание

Площадь треугольника (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

3. Площадь треугольника, формула Герона

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

a , b , c , стороны треугольника

p— полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnlineСкачать

ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnline

4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь.

a , b — катеты треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

5. Как вычислить площадь равнобедренного треугольника ?

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

b — основание треугольника

a равные стороны

h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b , ( S ):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

6. Площадь равностороннего треугольника равна:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.

a — сторона треугольника

h — высота

Площадь треугольника только через сторону a , (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь.

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — углы

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

9. Формула расчета площади прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

b — длина прямоугольника

a — ширина

Формула площади прямоугольника, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

a — сторона квадрата

c — диагональ

Формула площади квадрата через сторону a , (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формула площади квадрата через диагональ c , (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

11. Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

a, b — стороны параллелограмма

α , β — углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

a, b — стороны параллелограмма

H b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

12. Площадь произвольной трапеции

1. Формула площади трапеции через основания и высоту

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

h — высота трапеции

Формула площади трапеции, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

d 1, d 2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади трапеции, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c, d — боковые стороны

Формула площади трапеции, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

13. Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α , β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

d — диагональ трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α , β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде R — радиус описанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Найдем радиус Формулы вписанной и описанной окружности через площадьвневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПо свойству касательной Формулы вписанной и описанной окружности через площадьИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(по острому углу) следуетФормулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружности

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Формулы вписанной и описанной окружности через площадьописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Формулы вписанной и описанной окружности через площадьвписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи по свойству касательной к окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— полупериметр треугольника, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьРадиусы Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см. рис. 95) Формулы вписанной и описанной окружности через площадьиз Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Формулы вписанной и описанной окружности через площадькак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Формулы вписанной и описанной окружности через площадьа высоту, проведенную к основанию, — Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто получится пропорция Формулы вписанной и описанной окружности через площадь.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпо теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см), откуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— общий) следует:Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадь(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см. рис. 97) Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, из Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Формулы вписанной и описанной окружности через площадь‘ откуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь= 3 (см).

Способ 4 (формула Формулы вписанной и описанной окружности через площадь). Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадьИз формулы площади треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьследует: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Формулы вписанной и описанной окружности через площадьего вписанной окружности.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПоскольку ВК — высота и медиана, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадьИз Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, откуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь.
В Формулы вписанной и описанной окружности через площадькатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Формулы вписанной и описанной окружности через площадьВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Откуда

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто Формулы вписанной и описанной окружности через площадьЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Формулы вписанной и описанной окружности через площадьраз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Формулы вписанной и описанной окружности через площадьразделить на Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде с — гипотенуза.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, где Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— искомый радиус, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— катеты, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— гипотенуза треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи гипотенузой Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Формулы вписанной и описанной окружности через площадькасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадьНо Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, откуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Следствие: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формула Формулы вписанной и описанной окружности через площадьв сочетании с формулами Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадьдает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьНайти Формулы вписанной и описанной окружности через площадь.

Решение:

Так как Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Из формулы Формулы вписанной и описанной окружности через площадьследует Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. По теореме Виета (обратной) Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— посторонний корень.
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— квадрат, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
По свойству касательных Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Тогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПо теореме Пифагора

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Следовательно, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Радиус описанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Формулы вписанной и описанной окружности через площадьзначения Формулы вписанной и описанной окружности через площадьполучим Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПо теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьрадиус вписанной в него окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадьНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Формулы вписанной и описанной окружности через площадьвписанной окружности, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— высота Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпо катету и гипотенузе.
Площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьравна сумме удвоенной площади Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи площади квадрата CMON, т. е.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Формулы вписанной и описанной окружности через площадьследует Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадьВозведем части равенства в квадрат: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадь

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Формулы вписанной и описанной окружности через площадьследует, что Формулы вписанной и описанной окружности через площадьИз формулы Формулы вписанной и описанной окружности через площадьследует, что Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Видео:Площадь треугольника через радиус вписанной и описанной окружности#огэматематикаСкачать

Площадь треугольника через радиус вписанной и описанной окружности#огэматематика

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадьДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадьАналогично доказывается, что Формулы вписанной и описанной окружности через площадь180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто около него можно описать окружность.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Формулы вписанной и описанной окружности через площадьили внутри нее в положении Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Формулы вписанной и описанной окружности через площадьне была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Формулы вписанной и описанной окружности через площадькоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьчто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Для описанного многоугольника справедлива формула Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, где S — его площадь, р — полупериметр, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как у ромба все стороны равны , то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьИскомый радиус вписанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Формулы вписанной и описанной окружности через площадьнайдем площадь данного ромба: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПоскольку Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см), то Формулы вписанной и описанной окружности через площадьОтсюда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см).

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Формулы вписанной и описанной окружности через площадьделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадьНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Формулы вписанной и описанной окружности через площадьтрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПо свойству описанного четырехугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьОтсюда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как Формулы вписанной и описанной окружности через площадькак внутренние односторонние углы при Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи секущей CD, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 131). Тогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— прямоугольный, радиус Формулы вписанной и описанной окружности через площадьявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Формулы вписанной и описанной окружности через площадьили Формулы вписанной и описанной окружности через площадьВысота Формулы вписанной и описанной окружности через площадьописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как по свой­ству описанного четырехугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Формулы вписанной и описанной окружности через площадькак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьВ прямоугольном треугольнике ABM Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как АВ = AM + МВ, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьт. е. Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. После преобразований получим: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьАналогично: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Замечание. Если Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 141), то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПусть в трапеции ABCD основания Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— боковые стороны, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Известно, что в равнобедренной трапеции Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадьОтсюда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьОтвет: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Формулы вписанной и описанной окружности через площадьбоковой стороной с, высотой h, средней линией Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи радиусом Формулы вписанной и описанной окружности через площадьвписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Формулы вписанной и описанной окружности через площадькак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Формулы вписанной и описанной окружности через площадь» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности через площадьможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Формулы вписанной и описанной окружности через площадьтреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— соответствующие линейные элемен­ты Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Действительно, из подобия указанных треугольников Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Пример:

Пусть Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(см. рис. 148). Найдем Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПо обобщенной теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности через площадьотсюда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, и Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаФормулы вписанной и описанной окружности через площадь— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде b — боковая сторона, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Формулы вписанной и описанной окружности через площадьРадиус вписанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности через площадьТак как Формулы вписанной и описанной окружности через площадьто Формулы вписанной и описанной окружности через площадьИскомое расстояние Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Формулы вписанной и описанной окружности через площадьоткуда Формулы вписанной и описанной окружности через площадьКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадь
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадьгде Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— полупериметр, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— центр окружности, описанной около треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, поэтому Формулы вписанной и описанной окружности через площадь.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсуществует точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьбудет центром описанной окружности, а отрезки Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— ее радиусами.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Проведем серединные перпендикуляры Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсторон Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсоответственно. Пусть точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпринадлежит серединному перпендикуляру Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Так как точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпринадлежит серединному перпендикуляру Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Значит, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьФормулы вписанной и описанной окружности через площадь, т. е. точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, отрезки Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиусы, проведенные в точки касания, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсуществует точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьбудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Формулы вписанной и описанной окружности через площадь.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Проведем биссектрисы углов Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— точка их пересечения. Так как точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпринадлежит биссектрисе угла Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, то она равноудалена от сторон Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьпринадлежит биссектрисе угла Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, то она равноудалена от сторон Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Следовательно, точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадьравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, где Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус вписанной окружности, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— катеты, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— гипотенуза.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Решение:

В треугольнике Формулы вписанной и описанной окружности через площадь(рис. 302) Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— центр вписанной окружности, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— точки касания вписанной окружности со сторонами Формулы вписанной и описанной окружности через площадь, Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадьсоответственно.

Отрезок Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь.

Так как точка Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— центр вписанной окружности, то Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— биссектриса угла Формулы вписанной и описанной окружности через площадьи Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности через площадь— равнобедренный прямоугольный, Формулы вписанной и описанной окружности через площадь. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность

Длина окружности

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Видео:Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭСкачать

Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭ

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:
Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Формулы вписанной и описанной окружности через площадьПодставим туда наши переменные и получим Формулы вписанной и описанной окружности через площадь

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Поделиться или сохранить к себе: