Формула взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Формула взаимное расположение прямой и окружностиФормула взаимное расположение прямой и окружности

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.Формула взаимное расположение прямой и окружности

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.Формула взаимное расположение прямой и окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Формула взаимное расположение прямой и окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Формула взаимное расположение прямой и окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Формула взаимное расположение прямой и окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Формула взаимное расположение прямой и окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Формула взаимное расположение прямой и окружностиТеорема о бабочке

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьФормула взаимное расположение прямой и окружности
КругФормула взаимное расположение прямой и окружности
РадиусФормула взаимное расположение прямой и окружности
ХордаФормула взаимное расположение прямой и окружности
ДиаметрФормула взаимное расположение прямой и окружности
КасательнаяФормула взаимное расположение прямой и окружности
СекущаяФормула взаимное расположение прямой и окружности
Окружность
Формула взаимное расположение прямой и окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругФормула взаимное расположение прямой и окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусФормула взаимное расположение прямой и окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаФормула взаимное расположение прямой и окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрФормула взаимное расположение прямой и окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяФормула взаимное расположение прямой и окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяФормула взаимное расположение прямой и окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеФормула взаимное расположение прямой и окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыФормула взаимное расположение прямой и окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныФормула взаимное расположение прямой и окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиФормула взаимное расположение прямой и окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыФормула взаимное расположение прямой и окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Формула взаимное расположение прямой и окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыФормула взаимное расположение прямой и окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыФормула взаимное расположение прямой и окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиФормула взаимное расположение прямой и окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныФормула взаимное расположение прямой и окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиФормула взаимное расположение прямой и окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыФормула взаимное расположение прямой и окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

70. Взаимное расположение прямой и окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыФормула взаимное расположение прямой и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиФормула взаимное расположение прямой и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиФормула взаимное расположение прямой и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаФормула взаимное расположение прямой и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Пересекающиеся хорды
Формула взаимное расположение прямой и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Формула взаимное расположение прямой и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Формула взаимное расположение прямой и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Формула взаимное расположение прямой и окружности
Пересекающиеся хорды
Формула взаимное расположение прямой и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Тогда справедливо равенство

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Формула взаимное расположение прямой и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Формула взаимное расположение прямой и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Формула взаимное расположение прямой и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Геометрия 8 класс : Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Геометрия 8 класс : Взаимное расположение прямой и окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Формула взаимное расположение прямой и окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Формула взаимное расположение прямой и окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Взаимное расположение прямой и окружности | Геометрия 7-9 класс #68 | ИнфоурокСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности  | Геометрия 7-9 класс #68 | Инфоурок

Please wait.

Видео:Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Взаимное расположение прямой и окружности. 6 классСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности. 6 класс

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Геометрия. 7 класс. Взаимное расположение прямой и окружности /13.04.2021/Скачать

Геометрия. 7 класс. Взаимное расположение прямой и окружности /13.04.2021/

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6cfbf3665f20164e • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

💥 Видео

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 классСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 класс

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Лекция Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Лекция Взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности
Поделиться или сохранить к себе: