Формула радиуса вписанной окружности через площадь и периметр

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

1. Длин сторон треугольника.
2. Его площади.
3. Его периметра.
4. Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:

1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
2. Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
3. В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
4. Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

1. Для начала нужно удвоить величину площади.
2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
3. Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

1. Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
2. Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
3. Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
4. Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
5. Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Радиус вписанной окружности в треугольник

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Видео:Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Геометрия Периметр треугольника равен 32 см а радиус вписанной окружности 1,5 см Найдите площадьСкачать

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

где a – сторона треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

📹 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Площадь многоугольника через радиус вписанной окружностиСкачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Площадь треугольника через периметр и радиусСкачать