Окружности пересекаются не более чем в двух точках

1) Докажем, что АВ ⊥ ОО₁.

ОА = ОВ (как радиусы),

Таким образом, ΔОАО₁ = ΔОВО₁ по 3-му признаку равенства треугольников, откуда ∠AOK = ∠KOB, ∠AO₁K = ∠BO₁K.

ОА = ОВ, следовательно, ΔАОВ — равнобедренный, ∠AOK = ∠KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к. ΔАОВ — равнобедренный, то есть OK ⊥ АВ.

Таким образом, АВ ⊥ ОО₁.

2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.

Допустим, что две окружности с центрами О и О₁ пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ⊥ ОО₁, АВ ⊥ ОО₁, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО₁.

Таким образом, мы пришли к противоречию.

Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №14
к главе «§ 5. Геометрические построения».

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Окружности пересекаются не более чем в двух точках

Укажите номера верных утверждений. Необходимо указать 2 из списка.

1) Окружность и прямая могут пересекаться не более чем в двух точках.

2) Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

4) Из одной точки вне данной прямой можно провести несколько прямых, перпендикулярных к ней.

2) Неверное. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон.

4) Неверное. Из одной точки вне данной прямой можно только одну прямую, перпендикулярную к ней.

Ответ: 13
2 1 8 0 8 3 9

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

68. Две окружности не могут иметь более двух общих точек
по теореме п. 57.
Теорема. Если две окружности пересекаются, то прямая,
соединяющая их центры, перпендикулярна к общей хорде и делит
её на две равные части. Если они имеют только одну общую
точку, то эта точка лежит на линии центров, и обратно.
В самом деле, линия центров обеих окружностей является их
общей осью симметрии. Если две окружности пересекаются в некоторой
точке, не лежащей на линии центров, то второй их общей точкой
будет точка, симметричная с первой относительно линии центров.
Если общая точка — единственная, то она необходимо должна
лежать на линии центров.
Обратно, если имеется общая точка, лежащая на линии центров,
то эта точка будет единственной общей точкой. Действительно, вторая
общая точка окружностей лежала бы либо на линии центров,
либо вне её: в первом случае обе окружности имели бы общий
диаметр, во втором случае существовала бы и третья точка пересечения.
В обоих случаях окружности совпадали бы между собой.
69. Говорят, что две кривые касаются друг друга, если они
имеют общую касательную в их общей точке.
‘На основании предыдущей теоремы это определение в случае
двух окружностей сводится к следующему:
Две окружности касаются друг друга, если они имеют только
одну общую точку, потому что общая точка, через которую проходит
общая касательная к окружностям, необходимо является точкой
линии центров, и обратно
(п. 58, следствие).

70. Пусть О, Ог — центры
двух окружностей, радиусы
которых R, Rr; предположим
для определённости, что
/?r=g/?.
При этом могут иметь место
следующие пять случаев:
l°.OOf >/? + /?’ (черт. 71).
Предположим, что М —
точка, лежащая на окружности
О1 или внутри её, так что OrM R -f- Rr — OrM R.
Таким образом, всякая точка, взятая внутри или на второй окружности,
является внешней по отношению к первой, а всякая точка внутри
или на первой окружности — внешней по отношению ко второй.
Две окружности, как говорят, расположены одна вне другой.

2°. OOr = R—Rr. В таком случае 00′ можно рассматривать как
сумму двух отрезков ОЛ и О’А (черт. 72), соответственно равных R
и R!. Точка А — общая; кроме того, ко всякой другой точке можно
применить предыдущие рассуждения. Следовательно, окружности
касаются друг друга внешним образом.

3°. R -j- R! OOf R — Rr. В этом случае R заключается между
суммой и разностью двух отрезков ООг и Rr.
Таким образом, из двух точек А и В, в которых окружность О
пересекает линию центров, одна внешняя, а другая—внутренняя относительно
окружности—О'(черт. 73); отсюда следует, что окружность О,
представляющая собой линию, идущую из точки А в точку В, встретит
вторую окружность в точке, отличной от А и В, т. е. в точке,
не лежащей на линии центров. Следовательно, обе окружности имеют
две общие точки. Окружности называются пересекающимися.
4°. OOr = R — Rr. В этом случае 001 можно рассматривать как
разность двух отрезков О А и О1 А (черт. 74), соответственно равных

R и R Точка А их линии центров — общая, так что окружности
касаются.
Пусть М — точка, лежащая на окружности Ог или внутри этой
окружности. Мы будем иметь
ОМ g OOr + О’М g OOr + Rr,
т. е. ОМ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

💡 Видео

Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второйСкачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

1 Внешние и внутренние касательные. Число точек пересечения двух кривыхСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2Скачать

Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этихСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MCСкачать

Две окружности пересекаются в точках A и B Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностеСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

Пересечение двух окружностейСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Взаимное расположение окружностей. Окружности не имеют общих точек.Скачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать