Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать
Ваш ответ
Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать
решение вопроса
Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,688
- разное 16,822
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Доказать что четырехугольник с вершинами в точках прямоугольник
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНО
Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках A(-3; -3), B(-4; 4), C(3;5), D(4;-2) является прямоугольником.
Для начала можно для себя отобразить эти точки в ортонормированной системе координат и посмотреть, как будет выглядеть этот четырехугольник.
Его стороны — векторы AB, BC, CD и DA. (векторы будем записывать курсивом)
Найдем координаты этих векторов.
Напомню, как находят координаты вектора:
Если у нас есть точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты вектора находят следующим образом: AB = (x₂ — x₁; y₂ — y₁). (1).
В нашем случае: A(-3; -3); B(-4; 4), значит, согласно формуле (1), координаты вектора AB = (-4 — (-3); 4 — (-3)) = (-1; 7).
Для остальных векторов я вычисления так подробно записывать не буду, запишу лишь результат. Если вы захотите проверить, верны ли мои вычисления, вы можете проверить это с помощью формулы (1), как видите, это несложно.
BC = (7; 1);
CD = (1; -7);
DA = (-7; -1).
Напомню признак коллинеарности двух векторов:
Если AB = (x₁; y₁), CD = (x₂; y₂) и при этом выполняется равенство (x₁/x₂) = (y₁/y₂), то AB || CD (AB коллинеарен CD).
Исследуем на коллинеарность наши векторы AB = (-1; 7) и CD = (1; -7):
(-1/1) = (7/-7);
-1 = -1.
Равенство выполняется, значит, AB || CD.
Аналогично исследуем на коллинеарность векторы BC и DA.
Теперь найдем длины этих векторов.
Если AB = (x, y), то его длину можно найти так: |AB| = sqrt(x² + y²).
|AB| = sqrt((-1)² + 7²) = √50;
|BC| = sqrt(7² + 1²) = √50;
|CD| = √50;
|DA| = √50.
Выходит, что в нашем четырехугольнике стороны попарно равны и параллельны, более того — все стороны равны. Отсюда следует, что наш четырехугольник ни что иное, как ромб.
Осталось лишь доказать, что углы, образуемые векторами, прямые. Можно сделать это по-разному, можно найти скалярное произведение векторов, образующих углы, можно воспользоваться методом для извращенцев — найти длину вектора AC и убедиться с помощью теоремы Пифагора, что ΔABC — прямоугольный.
Рассмотрю оба способа:
1) Напомню, как находят скалярное произведение: AB = (x₁; y₁), CD = (x₂; y₂);
(AB, CD) = x₁x₂ + y₁y₂. (2)
Найдем скалярное произведение наших векторов AB и BC с помощью формулы (2):
(AB, BC) = (-1)*7 + 7*1 = 0 — это говорит о том, что векторы перпендикулярны, т.к скалярное произведение можно записать так: (AB, BC) = |AB| * |BC| * cos(AB^BC). Если скалярное произведение равно нулю, то это значит, что либо одна из длин векторов равна нулю, либо косинус угла между векторами равен нулю. В нашем случае длины векторов не равны нулю ⇒ cos (AB^BC) = 0 ⇒ (AB^BC) = 90°.
Для остальных пар векторов делаете аналогично.
2) Найдем длину вектора AC — |AC| = √100.
Проверим, является ли ΔABC прямоугольным с помощью теоремы Пифагора:
(√100)² = (√50)² + (√50)²;
100 = 50 + 50 ⇒ ΔABC — прямоугольный, прямой угол лежит против большей стороны.
Для остальных углов можно это проверить аналогично.
В итоге получается, что наш четырехугольник не только прямоугольник, но и квадрат.
Фух, всё.
Видео:Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник Определение прямоугольникаСкачать
Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (276 кБ)
Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:
- Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
- Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
- Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.
Видео:№567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являютсяСкачать
Ход урока
Введение
В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.
Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.
1. Теоретическая часть
Вариньон Пьер [1] (1654–1722)
Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).
Теорема Вариньона [2]
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
