Как найти угол между параллельными прямыми в кубе (7 видео)

Угол между скрещивающимися прямыми : определение, примеры нахождения

В статье рассматриваются определения угла между скрещивающимися прямыми с приведением графических иллюстраций. При имеющихся координатах направляющих векторов заданных прямых научимся находить искомый угол. В заключительной части решим задачи на нахождение угла.

Содержание

Угол между скрещивающимися прямыми – определение
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Математика для блондинок
Страницы
четверг, 14 марта 2013 г.
Куб и угол между прямыми
Как найти угол между параллельными прямыми в кубе
🎥 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Угол между скрещивающимися прямыми – определение

Для нахождения искомого угла необходимо пройти несколько этапов.

Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися в случае, если они не находятся в одной плоскости.

Из определения о скрещивающихся прямых следует, что они не являются параллельными или пересекающимися и не совпадают, тогда они находились бы в одной и той же плоскости.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

В трехмерном пространстве имеются скрещивающиеся прямые a и b . Проведем прямые а 1 и b 1 параллельные скрещивающимся a и b . Точка М₁ является точкой пространства, через которую они проходят. Отсюда получаем, что а₁ и b 1 являются пересекающимися прямыми.

Обозначим угол между a 1 и b 1 равным значению α . Построение прямых a 2 и b 2 параллельно скрещивающимися относительно a и b в точке М 2 отличной от М 1 приводит к тому, что значение угла между ними обозначим как α . То есть угол между прямыми a 1 и b 1 равен углу между a 2 и b 2 . В этом можно убедиться, если про/извести параллельный перенос. Тогда точки М 1 и М 2 совпадают.

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми.

Отсюда следует, что угол не зависит от точки M и ее выбора. Поэтому точка M может быть любой. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.

Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.

Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат О х у z . Имеется задача, в которой необходимой найти угол α , образованный скрещивающимися прямыми a и b с заданными уравнениями прямых в пространстве.

Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой M , что дает понять, через нее проходят прямые a 1 и b 1 , которые параллельны скрещивающимся a и b . Угол α , образованными прямыми a и b , из этого определения получится равным пересекающимся a 1 и b 1 _.

Для нахождения искомого угла между a 1 и b 1 необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых a 1 и b 1 _.

Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) .

Векторы a → и b → имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется из формулы α = a r c cos a → , b → a → · b → = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 , а a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида cos α = a → , b → a → · b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 .

При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы sin α = 1 — cos 2 α .

Найти угол между скрещивающимися прямыми a и b , которые заданы уравнениями x 2 = y — 4 0 = z + 1 — 3 и x = 1 + λ y = 1 — λ z = — 3 + 4 · λ , λ ∈ R и определяются в системе координат О х у z .

Для определения координат необходимо использовать каноническое уравнение прямой в плоскости. необходимо обратить внимание на знаменатель дробей. Отсюда видно, что a → = ( 2 , 0 , — 3 ) является направляющим вектором прямой x 2 = y — 4 0 = z + 1 — 3 . При наличии параметрического уравнения можно определить координаты направляющего вектора, так как она равняются коэффициентам, тогда получаем, что b → = ( 1 , — 1 , 4 ) является направляющим вектором для прямой вида x = 1 + λ y = 1 — λ z = — 3 + 4 · λ , λ ∈ R .

Отсюда получаем, что имеются все необходимые формулы и данные для того, чтобы произвести вычисление угла между скрещивающимися прямыми. Имеем, что

α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 = a r c cos 2 · 1 + 0 · ( — 1 ) + ( — 3 ) · 4 2 2 + 0 2 + ( — 3 ) 2 · 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = = a r c cos 10 13 · 18 = a r c cos 10 3 26

Ответ: угол между скрещивающимися прямыми равен a r c cos 10 3 26 .

Найти значение синуса и косинуса угла между скрещивающимися прямыми, где имеются ребра A D и В С , принадлежащие пирамиде A B C D , с известными вершинами с координатами A ( 0 , 0 , — 1 ) , B ( 5 , 7 , — 5 ) , C ( 3 , 7 , — 5 ) , D ( 1 , 3 , 1 ) .

A D → и B C → являются векторами соответствующих сторон заданной фигуры. Необходимо вычислить координаты с помощью имеющихся данных начала и конца.

Получаем, что A D → = ( 1 — 0 , 3 — 0 , 1 — ( — 1 ) ) ⇔ A D → = ( 1 , 3 , 2 ) B C → = ( 3 — 5 , 7 — 7 , — 5 — ( — 3 ) ) ⇔ B C → = ( — 2 , 0 , — 2 )

Из формулы cos α = a r c cos A D → , B C → A D → · B C → находим косинус угла между заданными скрещивающимися прямыми. Получаем выражение вида

cos α = 1 · ( — 2 ) + 3 · 0 + 2 · ( — 2 ) 1 2 + 3 2 + 2 2 · ( — 2 ) 2 + 0 2 + ( — 2 ) 2 = 6 14 · 8 = 3 2 7

Перейдем к вычислению синуса угла между этими прямыми. Подставляем значения и получаем, что sin α = 1 — cos 2 α = 1 — 3 2 7 2 = 19 2 7 .

Ответ: sin α = 19 2 7 , cos α = 3 2 7 .

В заключительном этапе рассмотрим задачу, в которой нужно найти угол между скрещивающимися прямыми с самостоятельно введенной системой координат.

Имеется прямоугольный параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами А В = 3 , А D = 2 и A A 1 = 7 единиц. Точка E делит прямую А А 1 как 5 : 2 . Определить угол между скрещивающимися прямыми В Е и А 1 С .

Ребра заданного параллелепипеда являются взаимно перпендикулярными, поэтому необходимо ввести прямоугольную систему координат для определения угла между указанными скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Для начала вводится прямоугольная система координат О х у z . Получаем, что начало координат является совпадающим с вершиной A , а О х совпадает с прямой A D , О у с A B , а О z с А А 1 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда имеем, что точка B с координатами ( 0 , 3 , 0 ) , E — ( 0 , 0 , 5 ) , A А — ( 0 , 0 , 7 ) , C — ( 2 , 3 , 0 ) . Исходя из координат, мы можем получить координаты векторов B E → и A 1 C → , необходимые для дальнейшего решения задачи. Получаем, что B E → = ( 0 , — 3 , 5 ) , A 1 C → = ( 2 , 3 , — 7 ) .

Применим формулу для нахождения угла, образованного скрещивающимися прямыми, при помощи координат направляющих векторов. Получаем выражение вида

α = a r c cos B E → , A 1 C → B E → · A 1 C → = a r c cos 0 · 2 + ( — 3 ) · 3 + 5 · ( — 7 ) 0 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 · 2 2 + 3 2 + ( — 7 ) 2 = = a r c cos 44 34 · 62 = a r c cos 22 527

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Математика для блондинок

Математика — это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

Страницы

Видео:Угол между прямыми!Скачать

четверг, 14 марта 2013 г.

Куб и угол между прямыми

Сейчас решим задачу про куб и угол между прямыми. Задача звучит так:

Точка Е — середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми DE и BD1.

Для начала нужно соорудить конструкцию куба и разукрасить её буквами обозначений. Затем попробуем разобраться, чего надобно этим старцам от математики. Рисуем куб и прямые линии.

Как найти угол между параллельными прямыми в кубе

Куб и прямые линии

Получилось, что одна прямая линия совпадает с диагональю куба, вторая прямая линия проходит через боковую грань куба. Математики такие лини называют скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми определяется (не в смысле математическое определение типа «бла-бла-бла», а когда конкретное дело делается) как угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Это не я такой умный, это у меня книжка умная есть, там и вычитал.

Возьмем ту прямую, которая на боковой грани и проведем параллельную ей прямую линию, проходящую через вершину D1. В этом случае мы получили две пересекающиеся прямые, для которых уже можно определить угол.

Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Для определения угла нам нужны размеры куба. Без этого математика бессильна. Поскольку, по условию задачи, размеры куба нам не заданы, мы можем сами выбрать любой, благо все три размера у куба одинаковы. Примем длину ребра нашего куба за единицу. Получился куб в собственном соку, то есть в собственных единицах измерения. Весь этот математический фокус заключается в том, что угол между заданными нам прямыми совершенно не зависит от размеров куба. И в большом кубе, и в маленьком кубике углы между этими прямыми будут одинаковы.

Дальше всё просто, как в реанимации. Назначаем пациенту, то есть кубу:

1. Две теоремы Пифагора для двухмерного пространства.
2. Одну теорему Пифагора для трехмерного пространства.
3. Одну теорему косинусов.
4. Одну таблицу косинусов.

Теперь разберемся, к каким местам на теле куба всё это нужно прикладывать.

Два прямоугольных треугольника, диагональ куба, искомый угол в треугольнике

Рассуждаем от конца к началу. По таблице косинусов мы можем найти значение угла в градусах. Значение косинуса угла можно найти по теореме косинусов, если знать размеры сторон синенького треугольника из рисунка выше. По теореме Пифагора для трехмерного пространства мы можем найти диагональ куба — это одна из сторон треугольника. Две другие стороны треугольника можно найти на гранях куба по обычной (двухмерной) теореме Пифагора. А вот для применения теоремы Пифагора нам необходимы числовые размеры куба. Ведь просто слово «ребро» во вторую степень возвести не возможно. Вот для этого мы и приняли в самом начале размер ребра равным единице.

Мы проутюжили наше решение от начала к концу и от конца к началу. Лично у меня оно где-то по середине и срослось, на теореме Пифагора. Что бы там не утверждали наши современные математики, а математических инструментов мощнее тригонометрии и теоремы Пифагора они так и не создали.

Для полного счастья нам нужно ещё рассмотреть теорему косинусов. Ведь тупо записать её могут многие, а вот применять на практике этот калейдоскоп символов нужно ещё уметь. Посмотрите, как буковки в формулах переливаются! Это и есть первозданная красота математики.

Теорема косинусов

Что такое математическая функция арккосинус? Это очень умное выражение, которым нас пугают математики. А фактически это наша голова и таблица косинусов перед глазами. Или специальная кнопочка на калькуляторе. Только вместо команды «Бобик, фас!» ( косинус — найти число по значению угла), нужно выполнять команду «Фас, покусай Бобика!» (арккосинус — найти значение угла по числовому значению косинуса).

Пусть у нас неизвестный угол будет по кличке «гамма», а диагональку куба мы обзовем «а». Отрезок прямой, что расположен на грани куба прямо перед нами, будет именоваться «с», а на грани слева — «b». Вот теперь можно погонять циферки и получить числовое решение задачи.

Видео:Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. КубСкачать

Как найти угол между параллельными прямыми в кубе

В кубе найдите углы между прямыми AB и

Так как CC₁||BB₁, достаточно найти угол между AB и BB₁. ABB₁A₁ — квадрат, все углы которого равны 90°, это и будет ответ.

Ответ:

Аналоги к заданию № 410: 411 Все

В кубе найдите углы между прямыми и

Ответ:

Аналоги к заданию № 410: 411 Все

В кубе найдите углы между прямыми и

Так как AC||A₁C₁, достаточно найти угол между прямыми B₁D₁ и A₁C₁. ABCD — квадрат, в котором диагонали AC и BD пересекаются под углом 45°, это и будет ответ.

Ответ:

Аналоги к заданию № 412: 413 Все

В кубе найдите углы между прямыми и

Ответ:

Аналоги к заданию № 412: 413 Все

В кубе найдите углы между прямыми и

Заметим, что прямая D₁C₁ перпендикулярна плоскости BB₁C, а прямая C₁B перпендикулярна прямой B₁C. Так как D₁C₁ перпендикулярна плоскости BB₁C, C₁B — наклонная от прямой D₁C₁ к этой плоскости, а C₁B — её проекция, DC₁ перпендикулярна B₁C по теореме о трёх перпендикулярах. Таким образом, искомый угол равен 90°.