Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Траектория

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Содержание
  1. Вектор перемещения
  2. Правило сложения векторов
  3. Проекции вектора перемещения
  4. Если вектор параллелен оси ох то его координаты
  5. Проекция вектора на координатную ось
  6. Вектор параллельный оси ох
  7. Проекция вектора на ось и числовая проекция
  8. Числовая проекция вектора на ось
  9. Система координат в пространстве — определение с примерами решения
  10. Система координат в пространстве
  11. Декартова система координат в пространстве
  12. Расстояние между двумя точками
  13. Уравнение сферы и шара
  14. Координаты середины отрезка
  15. Векторы в пространстве и действия над ними
  16. Векторы в пространстве
  17. Действия над векторами в пространстве
  18. Свойства суммы векторов
  19. Правило треугольника сложения векторов
  20. Правило параллелограмма сложения векторов
  21. Правило многоугольника сложения векторов
  22. Коллинеарные и компланарные векторы
  23. Скалярное произведение векторов
  24. Свойства скалярного произведения векторов
  25. Преобразование и подобие в пространстве
  26. Геометрические преобразования в пространстве
  27. Движение и параллельный перенос
  28. Центральная симметрия в пространстве
  29. Симметрия относительно плоскости
  30. Поворот и симметрия относительно оси
  31. Симметрия в природе и технике
  32. Подобие пространственных фигур
  33. Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор
  34. Формула вычисления проекции вектора на вектор
  35. Примеры задач на проекцию вектора
  36. Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач
  37. Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи
  38. 📸 Видео

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения Если вектор параллелен оси ох то его координаты(см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатылежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx. Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Здесь x0, y0, z0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х0 и у0, то есть А(х0, у0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

По теореме Пифагора

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

1. Какая величина называется векторной (или просто вектором)?

Физическая величина, которая характеризуется не только числовым значением (модулем), но и направлением, называется векторной величиной (или просто вектором).
Для векторной величины одинаково важны числовое значение (модуль) и направление.

Примеры векторных величин:

— скорость,
— перемещение,
— сила.

2. Какая величина называются скалярной (или просто скаляром)?

Величины, которые не имеют направления и задаются только числом, называются скалярными величинами или скалярами.

Примеры скалярных величин:

— число книг на полке,
— длина карандаша,
— высота комнаты.
Модуль вектора — тоже скаляр.

3. Как изображают векторную величину?

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Векторную величину изображают в виде стрелки, которая начинается в некоторой точке и заканчивается острием, указывающим направление..
Такой отрезок-стрелка называется вектором.
Длина стрелки в выбранном масштабе выражает модуль векторной величины.

Векторы обозначают буквами со стрелкой над ними.
Такой же буквой, но без стрелки обозначают модуль вектора.

4. Если два вектора равны друг другу по модулю, но направления векторов различны, то можно ли сказать, что эти векторы равны друг другу?

Нет, нельзя.
Равными считаются векторы, у которых одинаковы и модули, и направления.

5. Чем отличается векториая величина от скалярной?

Векторная величина характеризуется модулем (величиной) и направлением, а скалярная величина — только модулем.
Вектор имеет направление, а скаляр не имеет направления.

Проекция вектора на координатную ось

1. Как построить проекцию вектора на координатную ось?

Если вектор параллелен оси ох то его координаты
Есть вектор а.
Опустим из точки А (начало вектора) и точки В (конец вектора) перпендикуляры на ось ОX.
Получим на оси точки ха и хв — это проекции точек А и В на ось ОX.
Длину отрезка хав между проекциями начала и конца вектора называют проекцией вектора а на ось ОX и обозначают, как ах.
Проекцию вектора на ось обозначают той же буквой, что и вектор, но без стрелки и с индексом оси.
Проекция вектора — величина скалярная.


2. Если вектор перемещения параллелен координатной оси, то чему равен модуль проекции вектора на эту ось?

Если вектор параллелен оси координат, то модуль его проекции ( |ax| ) равен модулю ( a ) самого вектора.

3. Что называют проекцией вектора на координатную ось?

Длину отрезка на координатной оси между проекциями начала и конца вектора, взятую со знаком « + » или « —», называют проекцией вектора а на координатную ось.

3. Когда проекция вектора на ось будет положительной, а когда — отрицательной?

Проекция вектора на координатную ось может быть, как положительной, так и отрицательной.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Проекция вектора на ось считается положительной, если вектор сонаправлен с этой осью.
Проекция вектора на ось считается отрицательной, если вектор направлен противоположно оси.

Если вектор перпендикулярен координатной оси, то при любом направлении вектора его проекция на ось равна нулю.

Видео:Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

Вектор параллельный оси ох

Видео:Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 клСкачать

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 кл

Проекция вектора на ось и числовая проекция

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости О х у задается точка M 1 ( x 1 , y 1 ) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов ( x 1 , 0 ) и ( 0 , y 1 ) .

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → — нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.

Видео:Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | Инфоурок

Числовая проекция вектора на ось

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → — n p b → a → .

Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ — угол между векторами a → и b → .

Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.

Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Ответ: 4.

При известном cos ( a → , b → ^ ) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Числовой проекцией вектора a → на ось , совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.

Задан b → = ( — 3 , 4 ) . Найти числовую проекцию a → = ( 1 , 7 ) на L .

Решение

На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( — 3 ) + 7 · 4 ( — 3 ) 2 + 4 2 = 5 .

Ответ: 5.

Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = — 2 , 3 , 1 и b → = ( 3 , — 2 , 6 ) . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = ( — 2 ) · 3 + 3 · ( — 2 ) + 1 · 6 3 2 + ( — 2 ) 2 + 6 2 = — 6 49 = — 6 7 .

Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos ( a , → b → ^ ) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = n p b → a → → .

Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos ( 180 ° — a → , b → ^ ) = — a → · cos ( a → , b → ^ ) , следует n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = — n p b → a → → .

Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = — a → = — n p b → a → .

Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:

  • длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ ( a → , b → ) ^ 90 ° ;
  • ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда ( a → , b → ^ ) = 90 ° ;
  • длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = — n p b → a → → с условием 90 ° a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 5 π 6 π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L : n p L a → = — n p L a → → = — 2 .

Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → ( — 2 , 1 , 2 ) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t : t = n p L a → → b → = 9 ( — 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = ( — 2 , 1 , 2 ) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = ( — 6 , 3 , 6 ) . Ответ: ( — 6 , 3 , 6 ) .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Поэтому Если вектор параллелен оси ох то его координаты

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Если вектор параллелен оси ох то его координатыи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Если вектор параллелен оси ох то его координатырасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Ответ: Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам Если вектор параллелен оси ох то его координаты

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Координаты середины отрезка NL:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.Если вектор параллелен оси ох то его координаты

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Если вектор параллелен оси ох то его координаты, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как Если вектор параллелен оси ох то его координатыили Если вектор параллелен оси ох то его координатыили кратко Если вектор параллелен оси ох то его координаты(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат Если вектор параллелен оси ох то его координаты(или Если вектор параллелен оси ох то его координаты). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Если вектор параллелен оси ох то его координатыили Если вектор параллелен оси ох то его координаты, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты: Если вектор параллелен оси ох то его координаты(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве Если вектор параллелен оси ох то его координатыс началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке Если вектор параллелен оси ох то его координатыбудет иметь те же координаты: Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора Если вектор параллелен оси ох то его координатызаписывают

такЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты. Длина вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты, заданного координатами,

вычисляется по формуле Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыравны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Следовательно, Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Докажите самостоятельно, что Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты(b1; b2; b3); называют вектор Если вектор параллелен оси ох то его координаты(рис. 20).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты, а груз относительно крана вдоль вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты. В результате груз движется вдоль вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов Если вектор параллелен оси ох то его координаты, Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыимеют место следующие свойства:

a) Если вектор параллелен оси ох то его координаты— переместительный закон сложения векторов;

b) Если вектор параллелен оси ох то его координаты— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), тоЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатыЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты​​​​​​= (Если вектор параллелен оси ох то его координатыa1; Если вектор параллелен оси ох то его координатыa2; Если вектор параллелен оси ох то его координатыa3) — называют умножением вектора

Если вектор параллелен оси ох то его координаты(a1; a2; a3) на число Если вектор параллелен оси ох то его координаты(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыи чисел Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты

а)Если вектор параллелен оси ох то его координаты;

b)Если вектор параллелен оси ох то его координаты;

c) Если вектор параллелен оси ох то его координатыи направление вектора Если вектор параллелен оси ох то его координатыЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты

совпадает с направлением вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты, если Если вектор параллелен оси ох то его координаты,

противоположно направлению вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты, если Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Если векторы

Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатысонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыимеет место равенство Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то они коллинеарны и наоборот.

Если Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то векторы Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатысонаправлены Если вектор параллелен оси ох то его координаты, еслиЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты, то

противоположно направлены Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Свойство 2. Если векторы Если вектор параллелен оси ох то его координаты(a1; a2; a3) и Если вектор параллелен оси ох то его координаты(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

Если вектор параллелен оси ох то его координатыи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Если вектор параллелен оси ох то его координаты( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда Если вектор параллелен оси ох то его координаты(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы Если вектор параллелен оси ох то его координаты(х — 1 ;у — 1; — 1) и Если вектор параллелен оси ох то его координаты(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Откуда находим Если вектор параллелен оси ох то его координаты, Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Итак,Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Векторы Если вектор параллелен оси ох то его координаты(1; 0; 0), Если вектор параллелен оси ох то его координаты(0; 1; 0) и Если вектор параллелен оси ох то его координаты(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатыможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде Если вектор параллелен оси ох то его координаты(рис. 29).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то любой вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатыможно единственным образом представить в виде:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Здесь Если вектор параллелен оси ох то его координатынекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыназывают угол между направленными отрезками векторов Если вектор параллелен оси ох то его координаты= Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты=Если вектор параллелен оси ох то его координаты, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыобозначают так Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Скалярным произведением векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыназывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают Если вектор параллелен оси ох то его координатыили Если вектор параллелен оси ох то его координаты. По определению Если вектор параллелен оси ох то его координаты(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыравно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Если вектор параллелен оси ох то его координаты, под воздействием силы Если вектор параллелен оси ох то его координаты(рис. 31), равна скалярному произведению силы Если вектор параллелен оси ох то его координатына расстояниеЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты: Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Свойство. Если Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты(b1; b2; b3), то (Если вектор параллелен оси ох то его координатыЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты) = Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Доказательство. Приложим векторы Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатык началу

координат О (рис.32). Тогда Если вектор параллелен оси ох то его координаты= Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Тогда Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Однако, Если вектор параллелен оси ох то его координаты,Если вектор параллелен оси ох то его координаты

и Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Следовательно,Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны Если вектор параллелен оси ох то его координаты, также выполняется

это равенство. Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Свойства скалярного произведения векторов

1. Если вектор параллелен оси ох то его координаты— переместительное свойство.

2. Если вектор параллелен оси ох то его координаты— распределительное свойство.

3. Если вектор параллелен оси ох то его координаты— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то Если вектор параллелен оси ох то его координаты, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то Если вектор параллелен оси ох то его координаты, так как cos l80° = -1.

6. Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

7. Если вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатыперпендикулярен вектору Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Следствия: а) Длина вектора Если вектор параллелен оси ох то его координаты; (1) b) косинус угла между векторами

Если вектор параллелен оси ох то его координаты: Если вектор параллелен оси ох то его координаты; (2)

с) условие перпендикулярности векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты(3)

Пример:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Решение:

Найдём длины векторов Если вектор параллелен оси ох то его координаты:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты,

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты,

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

Найдите угол между векторами Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Решение:

Если вектор параллелен оси ох то его координатыИтак, Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

Найдите Если вектор параллелен оси ох то его координаты, если Если вектор параллелен оси ох то его координаты, Если вектор параллелен оси ох то его координатыи угол между векторамиЕсли вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыравен Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Решение:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)Если вектор параллелен оси ох то его координаты; 2)Если вектор параллелен оси ох то его координаты, если Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыпо координатам:

1)Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Следовательно,Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

ТогдаЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты.

2)Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координатыЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты.

Следовательно, Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Тогда Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

Найдите произведениеЕсли вектор параллелен оси ох то его координаты, если угол между векторами Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координатыравен 30° и Если вектор параллелен оси ох то его координаты, Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов Если вектор параллелен оси ох то его координатыи Если вектор параллелен оси ох то его координаты:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Учитывая, что Если вектор параллелен оси ох то его координаты,

Если вектор параллелен оси ох то его координатынайдём искомое произведение

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пусть в пространстве даны вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатыи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор Если вектор параллелен оси ох то его координаты, если выполняется условие Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор Если вектор параллелен оси ох то его координатыпри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка Если вектор параллелен оси ох то его координатыфигуры F перешла в точку Если вектор параллелен оси ох то его координаты

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Тогда по определению получим:

Если вектор параллелен оси ох то его координатыили

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Если вектор параллелен оси ох то его координаты= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Ответ: Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Из этих уравнений получаем:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты.

Ответ: Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол Если вектор параллелен оси ох то его координатыотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Если вектор параллелен оси ох то его координатыотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол Если вектор параллелен оси ох то его координатыотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Симметрия в природе и технике

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть Если вектор параллелен оси ох то его координатыи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Если вектор параллелен оси ох то его координаты, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Если вектор параллелен оси ох то его координаты. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию Если вектор параллелен оси ох то его координаты, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом Если вектор параллелен оси ох то его координаты(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число Если вектор параллелен оси ох то его координатыкоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Если вектор параллелен оси ох то его координаты

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Если вектор параллелен оси ох то его координатыявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом Если вектор параллелен оси ох то его координатыпри Если вектор параллелен оси ох то его координаты= 1 отображает фигуру F в себя, а при Если вектор параллелен оси ох то его координаты=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число Если вектор параллелен оси ох то его координатыраз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физике

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Если вектор параллелен оси ох то его координаты
рис. 1

Видео:ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | ВидеоурокСкачать

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | Видеоурок

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Пр b a =a · b
| b |

Видео:Вектор перемещенияСкачать

Вектор перемещения

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a =a · b=11= 2.2
| b |5

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a =a · b=12= 2
| b |6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📸 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvyСкачать

Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvy

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

§4 Проекция вектора на осьСкачать

§4 Проекция вектора на ось

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Урок 4. Кинематика: Проекции вектора перемещения на оси координат. Задачи / Репетитор по физике ЕГЭСкачать

Урок 4. Кинематика: Проекции вектора перемещения на оси координат. Задачи / Репетитор по физике ЕГЭ

4.2 Проекция силы на ось координатСкачать

4.2 Проекция силы на ось координат

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.
Поделиться или сохранить к себе: