Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Ключевые слова: многоугольник, правильный многоугольник, сторона, угол, вписанная, описанная окружность

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность
См. также:
Вписанная окружность, Описанная окружность, Выпуклый четырёхугольник, Произвольный выпуклый многоугольник

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением

Содержание:

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

  1. прямая имеет только две общие точки с окружностью;
  2. прямая имеет только одну общую точку с окружностью;
  3. прямая не имеет общих точек с окружностью.

Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Понятие о вписанных и описанных многоугольниках

Взаимное расположение окружности со (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой I характеризуется соотношением между расстоянием d(0, I) от центра О окружности до прямой I и радиусом R окружности. Докажем это.

1) Прямая I имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I меньше радиуса окружности, т. е. Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Пусть прямая I не проходит через центр О окружности и расстояние Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Обозначим OF Свойства углов многоугольника вписанного в окружность— перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, тогда OF = m. Пусть точки А и В лежат на прямой I

так, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Докажем, что точки А и В принадлежат окружности.

Действительно, так как по теореме Пифагора

Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Таким образом, точки А и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая I и окружность Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьне имеют.

Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности О равноудален от точек А, В, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьк отрезкам АВ и ВХ, т. е. О — точка перессечения серединных перпендикуляровСвойства углов многоугольника вписанного в окружность. Но так какСвойства углов многоугольника вписанного в окружность,. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет.

Если прямая I проходит через центр О окружности, т. е. d(0, Z) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) Прямая I имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, т. е. если d(0, I) = R.

Пусть расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой I (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой I, не совпадающей с точкой F, выполняется условие ОХ > OF, OF = R, так; как наклонная ОХ больше перпендикуляра OF.

Следовательно, точка X не лежит на окружности.

3) Прямая I не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса окружности, т. е. если d(0, I) > R.

Пусть расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности к прямой I (рис. 3). Тогда OF = d(0, I), d(0, I) > R.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Для любой точки X прямой выполняется условие Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случае Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьпрямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности

Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная.

Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности.

Если прямая I имеет единственную общую точку А с окружностью, то говорят, что прямая I касается окружности в точке А.

Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

1) Пусть прямая I касается окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьДокажем, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой I. Перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, меньше наклонной ОА, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой

меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая I перпендикулярна радиусу ОА.

Рассмотрим следствия из данной теоремы.

Пусть через точку А проведены две прямые, касающиеся окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТогда отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А (рис. 5).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

1) Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенные из точки А (рис. 5). Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

2) По свойству касательной Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, т. е. треугольники АВО и АСО — прямоугольные.

3)Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, так как АО — общая гипотенуза, а катеты О В и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

Следствие 1 доказано.

Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Таким образом, получим еще одно следствие.

Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

1) Пусть прямая I проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу О А (рис. 6). Для доказательства того, что прямая I касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) Так как точка А лежит на окружности и прямая I проходит через точку А, то А — общая точка прямой I и окружности.

3) Других общих точек прямая I и окружность не имеют. Действительно, для любой точки Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьотрезок ОХ является наклонной, так как по условию Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСледовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой I и окружности, а, значит, прямая I — касательная к окружности.

Пример №1

Через точку А, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где Б и С — точки касания. Вычислите площадь Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьчетырехугольника АВОС, если АВ + АС = = 16 см ( рис. 7).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Решение:

1) Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

2) По свойству касательной Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ=АС = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислимСвойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Таким образом, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Ответ: Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Пример №2

Точка F — середина основания ВС равнобедренного треугольника АБС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 8, а, б).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Доказательство.

1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) В равнобедренном треугольнике AВС отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТаким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Что и требовалось доказать.

Пример №3

Точка А лежит вне окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьПостройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку А.

1) Пусть прямая I, проходящая через точку А и касающаяся окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, построена. Точка В — точка касания. Тогда по свойству касательной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьтак, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружность.

2) Рассмотрим окружность coj, диаметром которой является отрезок АО, т. е. Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьПусть В и С — точки пересечения окружностей Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 9, б). Заметим, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, как углы при основании равнобедренных треугольников ВО,О и ВО,А соответственно. Так как Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, то Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьЗначит, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, т. е.Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Аналогично доказывается, чтоСвойства углов многоугольника вписанного в окружность. Отсюда по признаку

касательной к окружности следует, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.
Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

1) Проводим отрезок О А, соединяющий центр О данной окружности и точку А (рис. 10, а).

2) Строим середину Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьотрезка ОА: Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТочки F и Е — точки пересечения окружностей Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

гдеСвойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 10, б).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

3) Строим окружность Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 10, в) и точки Б, С — точки пересечения данной и построенной окружностей.

4) Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

Доказательство. По построению Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(см. задачу № 251 учебного пособия «Геометрия, 7»), т. е. АВ1ОВ и АС 1ОВ. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

Взаимное расположение двух окружностей

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом, (рис. 12, б)).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Пример №4

Докажите, что если две окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружностькасаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е.Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Доказательство.

1) Пусть окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностькасаются внешним образом в точке А (рис. 13, а).

2) Докажем, что точка А лежит на отрезке Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьДопустим, что точка А не лежит на отрезке Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьЗаметим, что в случае внешнего касания точка А не может лежать на продолжении отрезка Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьПусть точка касания А не лежит на отрезке Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 13, б). Тогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

3) Пусть F — точка, симметричная точке А относительно прямой Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Тогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьимеют две общие точки А и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания А лежит на отрезке Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

4) Докажем, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТочка А лежит на отрезке Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьзначит, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Справедливо и обратное утверждение.

Пример №5

Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

1) Пусть даны две окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи известно, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьДокажем, что окружности касаются внешним образом.

2) На отрезкеСвойства углов многоугольника вписанного в окружностьрассмотрим точку А такую, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Таким образом, точка А принадлежит каждой из данных окружностей.

3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьтаких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьпринадлежащая каждой окружности. Тогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьВ треугольнике Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьдлина стороныСвойства углов многоугольника вписанного в окружностьравна сумме длин сторон Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, что невозможно.

4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки А, не существует, т. е. окружности касаются.

5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружностиСвойства углов многоугольника вписанного в окружностьвыполняется условие Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТаким образом, либо точка F лежит вне окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностькогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, либо эта точка принадлежит обеим окружностям, если Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьНо в этом случае точка F есть точка А касания окружностей. Следовательно, окружность Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьрасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Аналогично можно доказать, что окружность Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьрасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Теперь доказано, что окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружностькасаются внешним образом.

Пример №6

Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Другими словами, если окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностькасаются внутренним образом, то Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьИ наоборот, если выполняется равенство Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, то окружности касаются внутренним образом.

Пример №7

Две окружности с центрами в точках О и К, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведена общая касательная АВ, где точки А и В — точки касания.

Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает касательную АВ в точке Т (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка СТ.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Решение:

Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то ТС = ТА = ТВ, т. е. Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка АВ.

2) Так как окружности касаются внешним образом, то ОК = ОС + СК = 16 + 9 = 25 (см).

3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, тоСвойства углов многоугольника вписанного в окружность, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно,

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = ОК = = 25 см. Кроме того, DA = ОА — OD = ОА — КВ =16-9 = 7 (см).

Тогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСледовательно,Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Ответ: ТС = 12 см.

Центральные и вписанные углы

В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов.

Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла.

Любые две различные точки А и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и Т, то в этом случае дуги обозначаются Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи данная запись читается так: «дуга АТВ и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Дуга АВ окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности.

Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и АС В.

Пусть точки А и Б не являются концами диаметра окружности с центром в точке О. Тогда лучи ОА и ОБ служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а).
Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Дуга АВ окружности Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи центральный угол АОВ, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности.

Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга АТВ — больше полуокружности.

Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности.

Дадим определение градусной меры дуги окружности.

Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Градусная мера дуги АВ, как и сама дуга, обозначается Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Таким образом, если дуга АВ окружности меньше полуокружности, a Свойства углов многоугольника вписанного в окружность— соответствующий ей центральный угол, то Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(см. рис. 20, а).

Если дуга АВ является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б).

Градусная мера дуги АТВ, которая больше полуокружности и дополняет дугу АВ, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, где угол АОВ соответствует дуге АВ (рис. 20, в).

Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности.

Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры.

Если градусная мера дуги АВ равна 33°, то пишут Свойства углов многоугольника вписанного в окружность= 33°. Читают: «Градусная мера дуги АВ равна 33°», или кратко «Дуга АВ равна 33°».

Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Окружность Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьпересекает стороны ВС и CD квадрата в точках F и L соответственно. Тогда Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна Свойства углов многоугольника вписанного в окружность Свойства углов многоугольника вписанного в окружность(рис. 21, а).

Рассмотрим еще один пример. Пусть точка О — центр окружности, отрезок АВ — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок АС — диаметр окружности (рис. 21, б).
Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Тогда градусная мера дуги АВ, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник АОВ — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла АОВ равна 60°. Градусная мера дуги ВС, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла ВОС равна 120°.

Можем вычислить градусную меру дуги ВАС, которая больше полуокружности: Свойства углов многоугольника вписанного в окружность= 240°.

Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла

Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки А, В и С лежат на окружности, то каждый из угол ABC, ВСА, САВ является вписанным (рис. 22, б).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Пусть Свойства углов многоугольника вписанного в окружность— вписанный угол, при этом Г и В — точки пересечения его сторон с окружностью, a TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а).

Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы ВАС, ВОС и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу ВС.

Теперь докажем теорему о вписанном угле.

Теорема 1(о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры, дуги, на которую он опирается.

Пусть вписанный в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружностьугол ABC опирается на дугу АС.

Докажем, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьРассмотрим три возможных случая. Центр О окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла.

Первый случай. Центр О окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне ВС (рис. 23).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

1) Дуга АС меньше полуокружности, следовательно, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ равны, то Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

4) Так как Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, тоСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Второй случай. Центр О окружности лежит во внутренней области угла.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Таким образом, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Третий случай. Центр О окружности лежит во внешней области угла ABC.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае
Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Таким образом, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Из данной теоремы получим следующие следствия.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б).

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла АОВ равна 60°, значит, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность. Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равнаСвойства углов многоугольника вписанного в окружность

Теорема 2 (об угле между хордой и касательной).

Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Доказательство.

Первый случай. Пусть угол FAB — острый (рис. 27, о.).

1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВ А опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е. Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТаким образом, Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьТак как вписанный угол АСВ опирается на дугу Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Следовательно, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр СА. Тогда

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

но дуга ВСА лежит внутри тупого угла FAB.

Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей

Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

1) Проведем хорды АС и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники АОСи DOB.

2) Заметим, что Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьтак как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу СВ. Кроме того, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD.

3) Треугольник АОС подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как Свойства углов многоугольника вписанного в окружностьи Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

4) Из подобия треугольников АОС и DOB следует, что

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Значит, Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и Б, и SC

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.

Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Теорема.

В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).

Обратная теорема:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.

Свойства углов многоугольника вписанного в окружность

Пусть ABCDвписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:

Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .

Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.

Следствия.

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

💥 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

9 класс, 21 урок, Правильный многоугольникСкачать

9 класс, 21 урок, Правильный многоугольник

#Свойство углов вписанного четырехугольникаСкачать

#Свойство углов вписанного четырехугольника

Многоугольник. Сумма углов многоугольникаСкачать

Многоугольник. Сумма углов многоугольника
Поделиться или сохранить к себе:
Свойства углов многоугольника вписанного в окружность