Три попарно пересекающиеся окружности

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,812
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

• Главная 
• Вопросы & Ответы 
• Вопрос 6603225

Зачетный Опарыш

Даны три попарно пересекающиеся окружности. Докажите, что три прямые, каждая из которых проходит через две точки пересечения двух окружностей, пересекаются в одной точке. Даны три попарно пересекающиеся окружности. Докажите, что три прямые, каждая из которых проходит через две точки пересечения двух окружностей, пересекаются в одной точке.

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что прямые, содержащие три общие хорды каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке.

Пусть окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, окружности S₁ и S₃ — в точках C и D, окружности S₂ и S₃ — в точках E и F. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки AB, CD и EF.

Если M — точка пересечения отрезков CD и EF, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

Через точки A и M проведём прямую, вторично пересекающую окружность S₂ в точке B₁. Тогда хорды AB₁ и EF окружности S₂ пересекаются в точке M, поэтому

Значит точки A, B₁, C и D лежат на одной окружности, а т.к. через точки A, C и D проходит единственная окружность S₁, то точка B₁ лежит на окружности S₁. Таким образом, точка B₁ является общей точкой окружностей S₁ и S₂, отличной от точки A. Значит, точка B₁ совпадает с точкой B. Следовательно, хорда AB проходит через точку пересечения хорд CD и EF.

Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков AB, CD и EF.

Пусть окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, окружности S₁ и S₃ — в точках C и D, окружности S₂ и S₃ — в точках E и F. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки AB, CD и EF.

Если M — точка пересечения отрезков CD и EF, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

Через точки A и M проведём прямую, вторично пересекающую окружность S₂ в точке B₁. Тогда хорды AB₁ и EF окружности S₂ пересекаются в точке M, поэтому

Значит точки A, B₁, C и D лежат на одной окружности, а т.к. через точки A, C и D проходит единственная окружность S₁, то точка B₁ лежит на окружности S₁. Таким образом, точка B₁ является общей точкой окружностей S₁ и S₂, отличной от точки A. Значит, точка B₁ совпадает с точкой B. Следовательно, хорда AB проходит через точку пересечения хорд CD и EF.

Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков AB, CD и EF.

Пусть окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, окружности S₁ и S₃ — в точках C и D, окружности S₂ и S₃ — в точках E и F. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки AB, CD и EF.

Если M — точка пересечения отрезков CD и EF, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

Через точки A и M проведём прямую, вторично пересекающую окружность S₂ в точке B₁. Тогда хорды AB₁ и EF окружности S₂ пересекаются в точке M, поэтому

Значит точки A, B₁, C и D лежат на одной окружности, а т.к. через точки A, C и D проходит единственная окружность S₁, то точка B₁ лежит на окружности S₁. Таким образом, точка B₁ является общей точкой окружностей S₁ и S₂, отличной от точки A. Значит, точка B₁ совпадает с точкой B. Следовательно, хорда AB проходит через точку пересечения хорд CD и EF.

Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков AB, CD и EF.