Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон AD, АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырехугольник ABCD.

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 238, б). Проведем касательную C’D’, параллельную стороне CD (С’ и D’ — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABC’D’ — описанный четырехугольник, то по свойству его сторон

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Но ВС’ =ВС -С’С, AD’ =AD — D’D, поэтому из равенства (2) получаем:

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

т.е. в четырехугольнике C’CDD’ одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №724
к главе «Глава VIII. Окружность. Дополнительные задачи».

Видео:Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то
КвадратЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

ТрапецияЕсли в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС.

Доказать: в Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

2. Точка О равноудалена от сторон Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС выражается формулой: Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то, где Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то— периметр Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тоАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны тои ВС + АD = Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны то

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🔍 Видео

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

🔴 В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащихСкачать

Геометрия Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащих

Ответы на вопросы к § 10 - Геометрия 8 класс МерзлякСкачать

Ответы на вопросы к § 10 - Геометрия 8 класс Мерзляк

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 клСкачать

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 кл

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

24 задание ОГЭ по математике - Геометрия, окружность : ДоказательствоСкачать

24 задание ОГЭ по математике - Геометрия, окружность : Доказательство

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащихСкачать

№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: