Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Геометрия. 10 класс
Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

  1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
  2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
  3. Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как ас, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то аx.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что аb. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, аb, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойβ = c (невозможно)→ аb

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DCЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. Плоскость (DCЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), проходит через грань куба DCЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой.

  • Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DCЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), к грани куба (DDCЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой).Эти ребра — AD, A1D1, BC, B1C1

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

  • Две прямые называются перпендикулярными, если …..
  • Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

  • Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой
  • Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой
  • параллельны
  • один
  • она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
  • перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Перпендикулярность прямой и плоскости — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Перпендикулярность прямой и плоскости:

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая а перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Представление о части прямой, перпендикулярной плоскости, дает прямая пересечения поверхностей стен комнаты по отношению к плоскости пола. Колонны здания расположены перпендикулярно по отношению к плоскости фундамента.

В дальнейшем понадобится следующая теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой.

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Пусть а и b — параллельные прямые и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойДокажем, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойВозьмем точку О на прямой b и через нее проведем прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, параллельную прямой с. Тогда угол между прямыми b и с равен углу между пересекающимися прямыми b и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТак как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойто угол между прямыми б и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойравен углу между прямыми а и с, т. е. равен Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойОтсюда следует, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 144, а, б).

Теперь докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью плоскости.

Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямые а и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельны и прямая а перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойДокажем, что прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойтакже перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойРассмотрим произвольную прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойв плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 145, а., б). Так как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойИз теоремы 1 следует, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТаким образом, прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, т. е. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Пусть прямые а и b перпендикулярны плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 146, а). Докажем, что прямые а и b параллельны. Допустим, что прямая b не параллельна прямой а. Через произвольную точку О прямой b проведем прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельную прямой а. По теореме 2 прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна плоскости а. Рассмотрим плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, в которой лежат прямые b и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. Пусть Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— прямая, по которой пересекаются плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 146, б). Тогда в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойчерез точку О проходят две прямые b и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, перпендикулярные прямой I. Но это невозможно, следовательно, наше предположение неверно и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Для установления факта перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Это вытекает из следующей теоремы.

Видео:№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямойСкачать

№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямая а перпендикулярна прямым р и q, лежащим в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи пересекающимся в точке О. Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна произвольной прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойплоскостиЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Рассмотрим первый случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельную прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(если прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроходит через точку О, то в качестве Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, возьмем прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и I соответственно в точках Р, Q и L. Пусть для определенности точка Q лежит между точками Р и L (рис. 147, а, б).

Заметим, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойтак как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(указанные треугольники равны по двум катетам). Следовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(так как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, чтоЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Треугольники APL и BPL равны (так как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— общая сторона, a Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), следовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТаким образом, треугольник ABL — равнобедренный, и его медиана OL является высотой, т. е. прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна прямой а. Так как прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельна прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойто по теореме 1 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойПрямая а перпендикулярна каждой прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойплоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойзначит, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если прямая а не проходит через точку О, тогда проведем через точку О прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельную прямой а. Тогда по теореме 1 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойСледовательно, по доказанному в первом случае Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТеперь по теореме 2 прямая а перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТеорема доказана.

Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

I. Докажем существование плоскости.

Пусть а — данная прямая, а точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку О и перпендикулярная прямой а.

1)Рассмотрим плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроходящую через прямую а и точку О, и плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроходящую через прямую а (рис. 148, а, б).

2)В плоскости а через точку О проведем прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярную прямой а. Пусть точка Е — точка пересечения прямых а и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

3)Через точку Е в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроведем прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярную прямой а.

4)Плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроходящая через прямые Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойявляется искомой. Действительно, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойплоскости у, следовательно, она перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

II. Докажем единственность плоскости.

Допустим, что через точку О проходит еще одна плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярная прямой а. Пусть плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпересекает плоскость а по прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТогда Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойСледовательно, в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойчерез точку О проходят две прямые Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярные прямой а. Как известно из планиметрии, этого быть не может. Таким образом, наше предположение неверно и плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойединственная.

Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

I.Докажем существование прямой.

Пусть дана плоскость а и точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует прямая, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 149, а, б).

1)Проведем в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойнекоторую прямую а и рассмотрим плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроходящую через точку О и перпендикулярную прямой а.

2)Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

3)В плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойчерез точку О проведем прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, перпендикулярную прямой b. Прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— искомая прямая. Действительно, прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b плоскости a ( Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпо построению и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойтак как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), следовательно, она перпендикулярна плоскости а (см. рис. 149, а, б).

II.Докажем единственность плоскости.

Предположим, что через точку О проходит еще одна прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярная плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТогда по теореме 3 прямые Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельны, что невозможно, так как прямые Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпересекаются в точке О. Таким образом, наше предположение неверно и через точку О проходит одна прямая, перпендикулярная плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Пусть Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники). Докажем, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Из условия следует, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойЗначит, по признаку перпендикулярности прямой плоскости прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна плоскости, в которой лежит грань ABCD. Отсюда следует, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойВ прямоугольном треугольнике Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпо теореме Пифагора Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойКроме того, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(так как АС — диагональ прямоугольника ABCD). Следовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 150, а, б, в).

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Пример:

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то эта прямая перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельны, а прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойДокажем, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

  1. Рассмотрим пересекающиеся прямые а и b в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой
  2. Через произвольную точку в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроведем прямые Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпараллельные прямым а и b соответственно. Эти прямые лежат в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой.
  3. Прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна прямым а и b (так какЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), следовательно, она перпендикулярна прямым Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(глава 3, § 1, теорема 1).
  4. Таким образом, прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна двум пересекающимся прямым Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойплоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойследовательно, прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка А не лежит на плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойПроведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 163, а). Перпендикуляром., проведенным из точки А к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО — перпендикуляр к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойа М — произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойа точка М — основанием, наклонной. Отрезок ОМ — ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной AM на плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Например, если Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— прямая треугольная призма, то перпендикуляр, проведенный из точки Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойк плоскости ее основания АВС, есть ребро Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойотрезок СB — проекция наклонной Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойна плоскость АБС (рис. 163, б).

Теорема о трех перпендикулярах

Докажем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойа — прямая, проведенная в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи перпендикулярная проекции ОМ (рис. 164, а, б). Докажем, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и ОМ этой плоскости ( Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпо условию, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойтак как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой). Следовательно, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АОМ, т. е. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Теорема 2. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпрямая а лежит в плоскости а и перпендикулярна наклонной AM (см. рис. 164, а, б). Докажем, что прямая а перпендикулярна проекции ОМ. Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и AM этой плоскости ( Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпо условию, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойтак как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости АОМ, в частности Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Пример №1

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— куб, точка О — точка пересечения диагоналей грани Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойa F — середина ребра Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойДокажите, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

1) Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— проекция Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойна плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойСледовательно, по теореме о трех перпендикулярах Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

2) Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(так как OF — средняя линия треугольника Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), значит, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 165, а, б).

Теорема 3. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

1)две наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2)из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Пусть АО — перпендикуляр к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойАВ и АС — наклонные к этой плоскости (рис. 166, о). По условию Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойследовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойИз прямоугольных треугольников АОВ и АОС найдем Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой
Теорема доказана.
Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(см. рис. 166, а). В прямоугольном треугольнике АОМ сторона АО является катетом, а сторона AM — гипотенузой, следовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТаким образом, перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости .

Значит, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойнаименьшим является расстояние до основания О перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой.

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

Расстояние от точки А до прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойобозначается d (А, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой) (читают: «Расстояние от точки А до прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой»).
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Пусть Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— параллельные плоскости. Из любых точек А и Б плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроведем к плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикуляры Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 166, б). Так как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойто Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойОтрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, следовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойОтсюда следует, что все точки плоскости а находятся на одном и том же расстоянии от плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. Аналогично, все точки плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойнаходятся на том же расстоянии от плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойобозначается d Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(читают: «Расстояние между плоскостями Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой»).

Аналогично, каждая точка прямой, параллельной некоторой плоскости, находится на одном и том же расстоянии от этой плоскости.

Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстояние между прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи параллельной ей плоскостью а обозначается d (Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой) (читают: «Расстояние между прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи плоскостью Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой»).

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит единственная плоскость, параллельная другой.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b обозначается d (а, b) (читают: « Расстояние между прямыми а и b »).

Например, в прямоугольном параллелепипеде Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойрасстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат грани Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойравно длине ребра AD, так как AD перпендикулярно каждой из указанных плоскостей. Расстояние от прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойдо параллельной ей плоскостиЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойравно длине ребра DC (рис. 166, в).

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Пример №2

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— куб. Постройте основание перпендикуляра, проведенного из точки Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойк плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Решение:

1)Заметим, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— проекция Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойна плоскость граниЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойследовательно, по теореме о трех перпендикулярах Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойАналогично, DB — проекция Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойна плоскость грани AJBCD и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойзначит, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТаким образом, прямая В,В перпендикулярна двум пересекающимся прямым Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи АС плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойследовательно, прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойперпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 167, а).

2)Так как Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойто искомое основание перпендикуляра есть точка пересечения прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойс плоскостью Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(см. рис. 167, а).

3)Строим точку Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 167, б).

4)Точка Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— искомое основание перпендикуляра (точка X лежит в плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойтак как она лежит на прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 167, в)).

Пример №3

Дан куб Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойНайдите расстояние между прямыми Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойесли длина ребра куба равна а.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Решение:

1)Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи параллельную прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТакой плоскостью является плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойв которой лежит граньЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойЕсли плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойследовательно, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой) ( рис. 168, а, б).

2)Расстояние между прямыми Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойесть расстояние от любой точки прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойдо плоскости а. Отрезок Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— перпендикуляр, проведенный из точки Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойк плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойзначит, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой), следовательно, его длина а равна расстоянию между прямыми Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойОтвет: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Угол между прямой и плоскостью

Ортогональная проекция прямой

Пусть в пространстве даны плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи прямая а. Ортогональной проекцией прямой а на плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойназывается проекция этой прямой на плоскость а в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойНапример, если Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— куб, тогда ортогональной проекцией прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойна плоскость грани Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойявляется прямая Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойа ортогональная проекция этой прямой на плоскость основания ABCD куба есть прямая RD (рис. 171, а).Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Дадим определение угла между прямой и плоскостью, при этом воспользуемся понятием ортогональной проекции прямой на плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее ортогональная проекция на эту плоскость есть точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим понятие угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Теорема. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Пусть прямая а пересекает плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойв точке О, Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— ортогональная проекция прямой а на плоскость Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, b — произвольная прямая, лежащая в плоскости а, проходящая через точку О и не совпадающая с прямой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой. Обозначим буквой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойугол между прямыми а и Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой, а буквой Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой— угол между прямыми а и b. Докажем, что Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой(рис. 171, б).

Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойпроведем перпендикуляры МА и MB к прямым Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойи b соответственно. Из прямоугольных треугольников МАО и МВО найдем Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямойТак как МА

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Видео:10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными , если угол между ними составляет Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой.

При этом прямые могут пересекаться,

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

а могут быть скрещивающимися:Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Перпендикулярность плоскостей

Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Свойство перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых то она и другой прямой

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

📹 Видео

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

4.2 Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскостиСкачать

4.2 Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости

Геометрия 10 класс (Урок№9 - Признак перпендикулярности прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№9 - Признак перпендикулярности прямой и плоскости.)

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Видеоурок 7. Геометрия 10 классСкачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. Видеоурок 7. Геометрия 10 класс

10 класс, 23 урок, Признак перпендикулярности двух плоскостейСкачать

10 класс, 23 урок, Признак перпендикулярности двух плоскостей
Поделиться или сохранить к себе: