Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Параллельность прямой и плоскости
Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Данный урок посвящен теме «Параллельность прямой и плоскости». На этом уроке мы обсудим параллельность прямой и плоскости как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве, рассмотрим ситуацию плоскость параллельная прямой. Сформулируем теорему и докажем ее и два утверждения, которые часто используются при решении задач на эту тему.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 25

Дисциплина: Математика

Тема: Параллельность прямой и плоскости

Цель занятия: ввести понятия параллельности прямой и плоскости; изучить признак параллельности прямой и плоскости; обобщить и систематизировать знания о взаимном расположении прямой и плоскости.

Планируемые результаты

Предметные:формировать умения и навыки читать и строить чертежи пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

Метапредметные: развивать пространственное воображение при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность, математическую речь, память, внимание;

Личностные: овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

Норма времени:2 часа

Вид занятия:Лекция информационная + решение задач

План занятия:

1. Параллельность прямых

2. Параллельность прямой и плоскости

Оснащение: Мультимедийная доска

Литература:Башмаков М.И. Математика: Алгебра и начала анализа и геометрия. Рек. ФГАУ «ФИРО». М.: Академия, 2017. Занятие 3, с.40-45.

Преподаватель: Сулейманов Р.Р.

Тема Параллельность в пространстве

1. Параллельность прямых

2. Параллельность прямой и плоскости

Параллельные прямые в пространстве

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Доказательство:

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b точку A.

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямаяДоказательство:

1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Определение параллельных прямых;
  2. Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
  3. лемма о двух параллельных прямых;
  4. теорему о параллельности трех прямых;
  5. определение параллельных прямой и плоскости;
  6. признаком параллельности прямой и плоскости.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямаяПерейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямаяПроиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

  1. М и а задают плоскость α
  2. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
  3. В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
  4. На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
  5. Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямаяЛемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

  1. Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
  2. Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)
  1. Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
  1. Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

  1. Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

  1. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямаяДоказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

  1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
  2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

MC Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая. BC=AD= 8 см; Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость то как расположена другая прямая

🎬 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

6. Параллельность прямой и плоскостиСкачать

6. Параллельность прямой и плоскости

№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямойСкачать

№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Параллельность прямых, прямой и плоскостиСкачать

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теорияСкачать

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теория

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул
Поделиться или сохранить к себе:
    1. прямая лежит в плоскости
    1. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются
    1. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки