Свойство хорд окружности 8 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Свойство хорд окружности 8 классОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойство хорд окружности 8 классСвойства хорд и дуг окружности
Свойство хорд окружности 8 классТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство хорд окружности 8 классДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство хорд окружности 8 классТеорема о бабочке

Свойство хорд окружности 8 класс

Видео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойство хорд окружности 8 класс
КругСвойство хорд окружности 8 класс
РадиусСвойство хорд окружности 8 класс
ХордаСвойство хорд окружности 8 класс
ДиаметрСвойство хорд окружности 8 класс
КасательнаяСвойство хорд окружности 8 класс
СекущаяСвойство хорд окружности 8 класс
Окружность
Свойство хорд окружности 8 класс

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойство хорд окружности 8 класс

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойство хорд окружности 8 класс

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойство хорд окружности 8 класс

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойство хорд окружности 8 класс

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойство хорд окружности 8 класс

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойство хорд окружности 8 класс

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойство хорд окружности 8 классДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойство хорд окружности 8 классЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойство хорд окружности 8 классБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойство хорд окружности 8 классУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойство хорд окружности 8 классДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойство хорд окружности 8 класс

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойство хорд окружности 8 класс

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойство хорд окружности 8 класс

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойство хорд окружности 8 класс

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойство хорд окружности 8 класс

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойство хорд окружности 8 класс

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойство хорд окружности 8 класс

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство хорд окружности 8 класс

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойство хорд окружности 8 класс
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойство хорд окружности 8 класс
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойство хорд окружности 8 класс
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойство хорд окружности 8 класс

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство хорд окружности 8 класс

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Пересекающиеся хорды
Свойство хорд окружности 8 класс
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойство хорд окружности 8 класс
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойство хорд окружности 8 класс
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойство хорд окружности 8 класс
Пересекающиеся хорды
Свойство хорд окружности 8 класс

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство хорд окружности 8 класс

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Тогда справедливо равенство

Свойство хорд окружности 8 класс

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойство хорд окружности 8 класс

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство хорд окружности 8 класс

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойство хорд окружности 8 класс

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство хорд окружности 8 класс

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойство хорд окружности 8 класс

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 классСкачать

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Свойство хорд окружности 8 класс

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойство хорд окружности 8 класс

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Свойство хорд окружности 8 класс

Видео:Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Свойство хорд окружности 8 класс

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Свойство хорд окружности 8 класс

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Свойство хорд окружности 8 класс

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Свойство хорд окружности 8 класс

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Свойство хорд окружности 8 класс

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Свойство хорд окружности 8 класс

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Свойство хорд окружности 8 класс

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Свойство хорд окружности 8 класс

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Видео:Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд окружностиСкачать

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд  окружности

Геометрия. 8 класс

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Свойства хорд окружности
Теорема: Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.

Дано: окружность с центром O, AB – хорда, OCAB
Доказать: AM = MB
Доказательство:
Проведём радиусы OA и .

AOB — равнобедренный, OMAB, следовательно OM – медиана, AM = MB
Утверждение доказано.
Обратная теорема: если радиус окружности делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дано: окружность с центром O, AB – хорда, AM = MB
Доказать: OCAB
Докажите самостоятельно.
Докажем еще одно свойство хорд окружности: Дуги, заключенные между равными хордами, равны.

Дано: окружность с центром O, AB и CD – хорды, AB = CD
Доказать: ∪AB = ∪CD
Доказательство:
Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС и ОD
AOB = ∆ COD (по трём сторонам: два радиуса и равные хорды), следовательно ∠COD = ∠BOA. Они являются центральными углами окружности. Значит, равны дуги, на которые они опираются, т.е. ∪AB = ∪CD
Самостоятельно докажите утверждение: Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Дано: окружность с центром O, AB и CD – хорды, AB || CD
Доказать: ∪AC = ∪DB

Теорема об отрезках пересекающихся дуг
Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Дано: окружность c центром O, AB и CD – хорды, M – точка пересечения хорд

Доказать: AMMB = CMMD.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ADM и BDM.

В этих треугольниках ∠ACM = ∠DBM как вписанные опирающиеся на одну и ту же дугу AD.
CMB = ∠DMA (вертикальные)
По первому признаку подобия треугольников
ACM

DBM, отсюда следует равенство отношений
AM/DM = CM/BM, следовательно
AMMB = CMMD
Утверждение доказано.
Найдите в справочниках другие свойства хорд, докажите их самостоятельно.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

🎬 Видео

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Геометрия 8 класс. Свойство пересекающихся хорд.Скачать

Геометрия 8 класс. Свойство пересекающихся хорд.

8 класс. Геометрия. Свойство отрезков хорд и касательныхСкачать

8 класс. Геометрия. Свойство отрезков хорд и касательных

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной
Поделиться или сохранить к себе: