Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Перпендикулярность прямых и плоскостей
Содержание
  1. Перпендикулярные прямые
  2. Перпендикулярность прямой и плоскости
  3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  4. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
  5. Перпендикулярность плоскостей
  6. Признак перпендикулярности плоскостей
  7. Свойство перпендикулярных плоскостей
  8. Геометрия. 10 класс
  9. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  10. Определения параллельных прямых
  11. Признаки параллельности двух прямых
  12. Аксиома параллельных прямых
  13. Обратные теоремы
  14. Пример №1
  15. Параллельность прямых на плоскости
  16. Две прямые, перпендикулярные третьей
  17. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  18. Признаки параллельности прямых
  19. Пример №2
  20. Пример №3
  21. Пример №4
  22. Аксиома параллельных прямых
  23. Пример №5
  24. Пример №6
  25. Свойства параллельных прямых
  26. Пример №7
  27. Пример №8
  28. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  29. Расстояние между параллельными прямыми
  30. Пример №9
  31. Пример №10
  32. Справочный материал по параллельным прямым
  33. Перпендикулярные и параллельные прямые
  34. 📺 Видео

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными , если угол между ними составляет Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

При этом прямые могут пересекаться,

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

а могут быть скрещивающимися:Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Перпендикулярность плоскостей

Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Свойство перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

  1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
  2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
  3. Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как ас, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то аx.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что аb. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, аb, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныβ = c (невозможно)→ аb

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DCЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Плоскость (DCЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны), проходит через грань куба DCЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

  • Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DCЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны), к грани куба (DDCЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны).Эти ребра — AD, A1D1, BC, B1C1

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

  • Две прямые называются перпендикулярными, если …..
  • Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны
  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны
  • параллельны
  • один
  • она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
  • перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, но не принадлежит прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Говорят, что прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпересекаются в точке М.
Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Это можно записать так: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— знак принадлежности точки прямой, «Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныперпендикулярны (рис. 12), то пишут Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb.
  2. Если Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 90°, то а Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныАВ и b Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb.
  3. Если Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныОFА = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2). Из равенства этих треугольников следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЗ = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4 и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны5 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны6.
  6. Так как Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны5 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны6 следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны6 = 90°. Получаем, что а Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныFF1 и b Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныFF1, а аЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны
2) Заметим, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныAOF = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныl + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180° и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180° следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныF и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3. Кроме того, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAF. Действительно, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4 и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныFAC равны как соответственные углы, a Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныFAC = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180° (рис. 97, а).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3= 180°.

4) Из равенств Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны= Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 = 180° следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAF + Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Так как Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = 90°, то и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = 90°, а, значит, сЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпараллельны, то есть Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, лучи АВ и КМ.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(рис. 161).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, перпендикулярную прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи строят другую перпендикулярную прямую Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, затем — третью прямую Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи т. д. Поскольку прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныперпендикулярны одной прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, то из указанной теоремы следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, параллельной прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельнытретьей прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны5,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны8,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны6,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны7,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны5,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны8 — соответственные углы;
  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны6,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны5 — внутренние односторонние углы;
  • Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны7,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— данные прямые, АВ — секущая, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 (рис. 166).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи продлим его до пересечения с прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 по условию, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBMK =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныANM =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBKM = 90°. Тогда прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 (рис. 167).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи секущей Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныl +Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180° (рис. 168).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи секущей Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныAOB = Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAO=Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAK = 26°, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAC = 2 •Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныADK +Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1=Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2. Так как Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны||Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Реальная геометрия

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпроходит через точку М и параллельна прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны||Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(рис. 187).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны||Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Доказательство:

Предположим, что прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, параллельные третьей прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны||Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны4. Доказать, что Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Так как Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, которая параллельна прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, которые параллельны прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, АВ — секущая,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2.

Доказательство:

Предположим, чтоЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, параллельные прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— секущая,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 — соответственные (рис. 196).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать:Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— секущая,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 иЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказать:Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныl +Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 +Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 = 180°. По свойству параллельных прямыхЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныl =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3 как накрест лежащие. Следовательно,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныl +Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, т. е.Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 = 90°. Согласно следствию Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, т. е.Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 = 90°.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныАОВ =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныABD =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныADB =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныпараллельны, то пишут: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(рис. 211).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны3. Значит,Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны1 =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны2.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи АВЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, то расстояние между прямыми Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, А Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, С Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, АВЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, CDЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныCAD =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныравны (см. рис. 285). Прямая Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, проходящая через точку А параллельно прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, которая параллельна прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныбудет перпендикуляром и к прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAD +Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, параллельную прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Тогда Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны|| Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныравноудалены от прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельнына расстояние Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, то есть расстояние от точки М до прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныравно Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Но через точку К проходит единственная прямая Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, параллельная Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Значит, точка М принадлежит прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны.

Таким образом, все точки прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныравноудалены от прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны. Прямая Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныЕсли две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны— параллельны.

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныи Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельныесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны третьей прямой то они параллельны

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Теорема о двух прямых параллельных третьейСкачать

Теорема о двух прямых параллельных третьей

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

Две прямые, параллельные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, параллельные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.Скачать

№123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: