Видео:Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать
Планиметрия. Страница 2
Главная
Репетиторы
Учебные материалы
Контакты
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
1.Параллельность прямых
Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.
Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
2.Признаки параллельности прямых
Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)
Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.
Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.
Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.
Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)
Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.
Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать
4.Сумма углов треугольника
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).
Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.
Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.
Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать
5.Единственность перпендикуляра к прямой
Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.
Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)
Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.
Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.
Видео:Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать
6. Высота, биссектриса и медиана треугольника
Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)
Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
7. Свойство медианы равнобедренного треугольника
Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство:
Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.
Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.
Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.
Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.
Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)
Доказательство:
Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.
Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.
Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .
Пример 2
Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)
Доказательство:
Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.
Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.
Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.
Пример 3
Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.
Решение:
Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.
Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.
Решение:
Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а
α1 + β1 = 240° по условию задачи, то
А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то
α + β + γ = 180°, т.е.
И следовательно, γ = 60°
Ответ: угол при вершине С = 60°.
Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.
Пример 5
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.
Доказательство:
Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:
α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.
Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.
Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:
λ = 180° — (α / 2 + α)
Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.
Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .
Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьей
Если две параллельные прямые пересекает третья, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних равна 180°. Доказательство — от противного. Предположим, что прямые AC и BD параллельны и пересечены секущей AB, но образовавшиеся накрест лежащие углы CAB и DBA не равны. Тогда отложим от луча BA новый угол ABE, равный углу CAB. Новый луч BE и дополнительный к нему луч проведены пунктиром — получилась пунктирная прямая BE. Два равных угла CAB и ABE — это накрест лежащие углы при пересечении двух прямых AC и BE секущей AB. По признаку параллельности прямых это значит, что прямая BE параллельна прямой AC. У нас получилось, что через точку B проходят сразу две прямые BD и BE, параллельные одной и той же третьей прямой AC. Этого быть не может, следовательно предположение неверно, и два накрест лежащих угла CAB и DBA всё-таки равны. ЧТД.
Видео:решение задач на параллельность прямыхСкачать
Дайте правильный ответ Если две параллельные прямые пересечены третьей, то 1)Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусам 2)Односторонние углы равны 3)Сумма односторонних углов равна 180 градусам 4)?
Геометрия | 5 — 9 классы
Дайте правильный ответ Если две параллельные прямые пересечены третьей, то 1)Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусам 2)Односторонние углы равны 3)Сумма односторонних углов равна 180 градусам 4)Сумма соответственных углов равна 180 градусам.
3)сумма односторонних углов 180 градусам.
Видео:29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
Укажите в ответе номера верных утверждений?
Укажите в ответе номера верных утверждений.
1) Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны 45 градусов, то прямые параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые перпендикулярны.
3) Если две перпендикулярные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Видео:Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьейСкачать
Выберите правильное утверждение : 1) Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны?
Выберите правильное утверждение : 1) Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны.
2) Две прямые параллельны, если вертикальные углы равны.
3) Две прямые параллельны, если односторонние углы равны.
4) Две прямые параллельны, если если сумма соответственных углов равна 180 градусов.
Видео:Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать
Выберите правильное утверждение : 1?
Выберите правильное утверждение : 1.
Если односторонние углы равны то две прямые параллельны.
2. если соответственные углы равны то две другие параллельны.
3. если сумма соответственных углов равна 180, то две прямые параллельны.
4. если сумма накрест лежащих углов равно 180, то две прямые параллельны.
Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
В какой формулировке допущена ошибка?
В какой формулировке допущена ошибка?
Выберите один ответ : a.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
B. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма вертикальных углов равна 180 градусов.
C. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.
Видео:Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать
Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).
Отметьте утверждения, которые верны 1 Соответственные углы равны.
2 Накрест лежащие углы равны.
3 Односторонние углы равны.
4 Сумма односторонних углов равна 180 градусов.
5 Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.
6Сумма соответственных углов равна 180 градусов.
Видео:Задачи на признаки параллельности прямых. Часть 1. Как кратко и грамотно оформить завершение задачи.Скачать
Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).
Отметьте утверждения, которые ложны.
Накрест лежащие углы равны.
Сумма односторонних углов равна 180 градусов.
Соответственные углы не равны.
Односторонние углы равны.
Сумма соответственных углов равна 180 градусов.
Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.
Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать
Выберите правильное утверждение Две прямые параллельны если А накрест лежащие углы равны Б если вертикальные углы равны В односторонние углы равны Г сли сумма соответственных углов равна 180 градусов?
Выберите правильное утверждение Две прямые параллельны если А накрест лежащие углы равны Б если вертикальные углы равны В односторонние углы равны Г сли сумма соответственных углов равна 180 градусов.
Видео:Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать
Ве параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
Ве параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).
Отметьте утверждения, которые ложны.
1)Накрест лежащие углы равны?
2)Сумма соответственных углов равна 180 градусов?
3)Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов?
4)Соответственные углы равны?
5)Односторонние углы равны?
6)Сумма односторонних углов равна 360 градусов?
Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать
Две прямые параллельны , если при пересечении данных прямых третьей прямой :1?
Две прямые параллельны , если при пересечении данных прямых третьей прямой :
Вертикальные углы равны.
2. сумма смежных углов равна 180 градусам
Накрест лежащие углы равны
Сумма соответственных углов равна 180 градусов.
Видео:№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать
Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).
Отметьте утверждения, которые ложны.
1 Сумма односторонних углов равна 180 градусов.
2 Односторонние углы равны.
3 Сумма соответственных углов равна 180 градусов.
4 Накрест лежащие углы равны.
5 Соответственные углы равны.
6 Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.
Вопрос Дайте правильный ответ Если две параллельные прямые пересечены третьей, то 1)Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусам 2)Односторонние углы равны 3)Сумма односторонних углов равна 180 градусам 4)?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.
Некорректное условие, как у трапеции может быть 5 вершин? Где находится т. М? И какая это трапеция.
В = Д = 30°(Т. К ромб это параллелограмм ) А = С = (180 — 30) : 2 = 75°(при текущей и параллельных прямых. Смежные углы в сумме составляют 180°, противолежащие углы равны).
4 — ый пункт оформи сам.
70024 = 70000 + 20 + 4 Удачи ).
Решение смотри на фотографии.
Возможны 2 случая : 1) Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 110°. Тогда смежный к нему угол равен 180 — 110 = 70°. Сумма углов при основании треугольника равна 180 — 70 = 110°, а каждый из углов при основании равнобедренного ..
1. Пусть один градус данного угла = х , тогда составим уравнение 2х + 3х + 7х = 180 12х = 180 х = 15 2 * 15 = 30 градусов 3 * 15 = 45 градусов 7 * 15 = 105 градусов. Ответ : 30, 45, 105 2. Пусть один градус данного угла = х , тогда составим уравнен..
1. Так как треугольники АВС и МNP равны, то их елементы тоже равные. Значит : ВС = NP = 12см угол С = углу Р = 121° 2. Нет, не могут , потому что MNP имеет разные по длинне стороны.
Так как у квадрата все стороны равны, а их диагонали при пересечении образуют перпендикуляр, то можно сделать вывод, что полученный четырехугольник — квадрат, а квадрата все стороны равны. Значит ВС = ВД ч. Т. д.
