Вероятность и треугольник паскаля

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Основная формула

Строки треугольника обычно нумеруются, начиная со строки n = 0 в верхней части. Записи в каждой строке целочисленные и нумеруются слева, начиная с k = 0, обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строчках. Построить фигуру можно следующим образом:

• В центре верхней части листа ставится цифра «1».
• В следующем ряду — две единицы слева и справа от центра (получается треугольная форма).
• В каждой последующей строке ряд будет начинаться и заканчиваться числом «1». Внутренние члены вычисляются путём суммирования двух цифр над ним.

Запись в n строке и k столбце паскалевской фигуры обозначается (n k). Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке (0 0) = 1. С помощью этого конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом, образуя формулу треугольника Паскаля (n k) = (n — 1 k-1) + (n — 1 k), для любого неотрицательного целого числа n и любого целого числа k от 0 до n включительно. Трёхмерная версия называется пирамидой или тетраэдром, а общие — симплексами.

Видео:Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)Скачать

История открытия

Паскаль ввёл в действие многие ранее недостаточно проверенные способы использования чисел треугольника, и он подробно описал их в, пожалуй, самом раннем из известных математических трактатов, специально посвящённых этому вопросу, в труде об арифметике Traité du triangle (1665). За столетия до того обсуждение чисел возникло в контексте индийских исследований комбинаторики и биномиальных чисел, а у греков были работы по «фигурным числам».

Из более поздних источников видно, что биномиальные коэффициенты и аддитивная формула для их генерации были известны ещё до II века до нашей эры по работам Пингала. К сожалению, бо́льшая часть трудов была утеряна. Варахамихира около 505 года дал чёткое описание аддитивной формулы, а более подробное объяснение того же правила было дано Халаюдхой (около 975 года). Он также объяснил неясные ссылки на Меру-прастаара, лестницы у горы Меру, дав первое сохранившееся определение расположению этих чисел, представленных в виде треугольника.

Примерно в 850 году джайнский математик Махавира вывел другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентное современной формуле. В 1068 году Бхаттотпала во время своей исследовательской деятельности вычислил четыре столбца первых шестнадцати строк. Он был первым признанным математиком, который уравнял аддитивные и мультипликативные формулы для этих чисел.

Примерно в то же время персидский учёный Аль-Караджи (953–1029) написал книгу (на данный момент утраченную), в которой содержалось первое описание треугольника Паскаля. Позднее работа была переписана персидским поэтом, астрономом и математиком Омаром Хайямом (1048–1131). Таким образом, в Иране фигура упоминается как треугольник Хайяма.

Известно несколько теорем, связанных с этой темой, включая биномы. Хайям использовал метод нахождения n-x корней, основанный на биномиальном разложении и, следовательно, на одноимённых коэффициентах. Треугольник был известен в Китае в начале XI века благодаря работе китайского математика Цзя Сианя (1010–1070). В XIII веке Ян Хуэй (1238–1298) представил этот способ, и поэтому в Китае он до сих пор называется треугольником Ян Хуэя.

На западе биномиальные коэффициенты были рассчитаны Жерсонидом в начале XIV века, он использовал мультипликативную формулу. Петрус Апиан (1495–1552) опубликовал полный треугольник на обложке своей книги примерно в 1527 году. Это была первая печатная версия фигуры в Европе. Майкл Стифель представил эту тему как таблицу фигурных тел в 1544 году.

В Италии паскалевский треугольник зовут другим именем, в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500–1577). Вообще, современное имя фигура приобрела благодаря Пьеру Раймонду до Монтрмору (1708), который назвал треугольник «Таблица Паскаля для сочетаний» (дословно: Таблица мистера Паскаля для комбинаций) и Абрахамом Муавром (1730).

Видео:Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

Отличительные черты

Треугольник Паскаля и его свойства — тема довольно обширная. Главное, в нём содержится множество моделей чисел. Обзор следует начать с простого — ряды:

• Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы строки, предшествующей ей. Например, строка 0 (самая верхняя) имеет значение 1, строчка 1–2, а 2 имеет значение 4 и т. д. Это потому что каждый элемент в строке производит два элемента в следующем ряду: один слева и один справа. Сумма элементов строки n равна 2 n .
• Принимая произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов можно связать с основанием натурального логарифма.
• В треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилаканты можно найти число Пи.
• Значение строки, если каждая запись считается десятичным знаком (имеется в виду, что числа больше 9 переносятся соответственно), является степенью 11 (11 n для строки n). Таким образом, в строке 2 ⟨1, 2, 1⟩ становится 11 2 , равно как ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в строке пять становится (после переноса) 161, 051, что составляет 11 5 . Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении (x + 1) n и корректировкой значений в десятичной системе.
• Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в треугольнике Лозанича.
• Сумма квадратов элементов строки n равна среднему элементу строки 2 n. Например, 1 2 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 1 2 = 70.
• В любой строчке n, где n является чётным, средний член за вычетом члена в двух точках слева равен каталонскому числу (n / 2 + 1).
• В строчке р, где р представляет собой простое число, все члены в этой строке, за исключением 1s, являются кратными р.
• Чётность. Для измерения нечётных терминов в строке n необходимо преобразовать n в двоичную форму. Пусть x будет числом 1s в двоичном представлении. Тогда количество нечётных членов будет 2 х . Эти числа являются значениями в последовательности Гулда.
• Каждая запись в строке 2 n -1, n ≥ 0, является нечётной.
• Полярность. Когда элементы строки треугольника Паскаля складываются и вычитаются вместе последовательно, каждая строка со средним числом, означающим строки с нечётным числом целых чисел, даёт 0 в качестве результата.

Диагонали треугольника содержат фигурные числа симплексов. Например:

• Идущие вдоль левого и правого краёв диагонали содержат только 1.
• Рядом с рёбрами диагонали содержат натуральные числа по порядку.
• Двигаясь внутрь, следующая пара содержит треугольные числа по порядку.
• Следующая пара — тетраэдрические, а следующая пара — числа пятиугольника.

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.

Видео:Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

Общие свойства

Образец, полученный путём раскраски только нечётных чисел, очень похож на фрактал, называемый треугольником Серпинского. Это сходство становится всё более точным, так как рассматривается больше строк в пределе, когда число рядов приближается к бесконечности, получающийся в результате шаблон представляет собой фигуру, предполагающую фиксированный периметр. В целом числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, являются ли они кратными 3, 4 и т. д.

В треугольной части сетки количество кратчайших путей от заданного до верхнего угла треугольника является соответствующей записью в паскалевском треугольнике. На треугольной игровой доске Плинко это распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов. Если строки треугольника выровнены по левому краю, диагональные полосы суммируются с числами Фибоначчи.

Благодаря простому построению факториалами можно дать очень простое представление фигуры Паскаля в терминах экспоненциальной матрицы: треугольник — это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4… на её субдиагонали, а все другие точки — 0.

Количество элементов симплексов фигуры можно использовать в качестве справочной таблицы для количества элементов (рёбра и углы) в многогранниках (треугольник, тетраэдр, квадрат и куб).

Шаблон, созданный элементарным клеточным автоматом с использованием правила 60, является в точности паскалевским треугольником с биномиальными коэффициентами, приведёнными по модулю 2. Правило 102 также создаёт этот шаблон, когда завершающие нули опущены. Правило 90 создаёт тот же шаблон, но с пустой ячейкой, разделяющей каждую запись в строках. Фигура может быть расширена до отрицательных номеров строк.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Секреты треугольника

Конечно, сейчас большинство расчётов для решения задач не в классе можно сделать с помощью онлайн-калькулятора. Как пользоваться треугольником Паскаля и для чего он нужен, обычно рассказывают в школьном курсе математики. Однако его применение может быть гораздо шире, чем принято думать.

Начать следует со скрытых последовательностей. Первые два столбца фигуры не слишком интересны — это только цифры и натуральные числа. Следующий столбец — треугольные числа. Можно думать о них, как о серии точек, необходимых для создания групп треугольников разных размеров.

Точно так же четвёртый столбец — это тетраэдрические числа или треугольные пирамидальные. Как следует из их названия, они представляют собой раскладку точек, необходимых для создания пирамид с треугольными основаниями.

Столбцы строят таким образом, чтобы описывать «симплексы», которые являются просто экстраполяциями идеи тетраэдра в произвольные измерения. Следующий столбец — это 5-симплексные числа, затем 6-симплексные числа и так далее.

Полномочия двойки

Если суммировать каждую строку, получатся степени основания 2 начиная с 2⁰ = 1. Если изобразить это в таблице, то получится следующее:

Суммирование строк показывает силы базы 2.

Силы одиннадцати

Треугольник также показывает силы основания 11. Всё, что нужно сделать, это сложить числа в каждом ряду вместе. Как показывает исследовательский опыт, этого достаточно только для первых пяти строк. Сложности начинаются, когда записи состоят из двузначных чисел. Например:

Оказывается, всё, что нужно сделать — перенести десятки на одно число слева.

Совершенные квадраты

Если утверждать, что 4² — это 6 + 10 = 16, то можно найти идеальные квадраты натуральных чисел в столбце 2, суммируя число справа с числом ниже. Например:

• 2² → 1 + 3 = 4
• 3² → 3 + 6
• 4² → 6 + 10 = 16 и так далее.

Комбинаторные варианты

Чтобы раскрыть скрытую последовательность Фибоначчи, которая на первый взгляд может отсутствовать, нужно суммировать диагонали лево-выровненного паскалевского треугольника. Первые 7 чисел в последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… найдены. Используя исходную ориентацию, следует заштриховать все нечётные числа, и получится изображение, похожее на знаменитый фрактальный треугольник Серпинского.

Возможно, самое интересное соотношение, найденное в треугольнике — это то, как можно использовать его для поиска комбинаторных чисел, поскольку его первые шесть строк написаны с помощью комбинаторной записи. Поэтому, если нужно рассчитать 4, стоит выбрать 2, затем максимально внимательно посмотреть на пятую строку, третью запись (поскольку счёт с нуля), и будет найден ответ.

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Действия с биномами

Например, есть бином (x + y), и стоит задача повысить его до степени, такой как 2 или 3. Обычно нужно пройти долгий процесс умножения (x + y)² = (x + y)(x + y) и т. д. Если воспользоваться треугольником, решение будет найдено гораздо быстрее. К примеру, нужно расширить (x + y)³. Поскольку следует повышать (x + y) до третьей степени, то необходимо использовать значения в четвёртом ряду фигуры Паскаля (в качестве коэффициентов расширения). Затем заполнить значения x и y. Получится следующее: 1 x³ + 3 x²y + 3 xy² + 1 y³. Степень каждого члена соответствует степени, до которой возводится (x + y).

В виде более удобной формулы этот процесс представлен в теореме бинома. Как известно, всё лучше разбирать на примерах. Итак — (2x – 3)³. Пусть x будет первым слагаемым, а y — вторым. Тогда x = 2x, y = –3, n = 3 и k — целые числа от 0 до n = 3, в этом случае k = . Следует внести эти значения в формулу. Затем заполнить значения для k, которое имеет 4 разные версии, их нужно сложить вместе. Лучше упростить условия с показателями от нуля до единицы.

Как известно, комбинаторные числа взяты из треугольника, поэтому можно просто найти четвёртую строку и подставить в значения 1, 3, 3, 1 соответственно, используя соответствующие цифры Паскаля 1, 3, 3, 1. Последнее — необходимо завершить умножение и упрощение, в итоге должно получиться: 8 x³ — 36 x² + 54x — 27. С помощью этой теоремы можно расширить любой бином до любой степени, не тратя время на умножение.

Биномиальное распределение описывает распределение вероятностей на основе экспериментов, которые можно разделить на группы с двумя возможными исходами. Самый классический пример этого — бросание монеты. Например, есть задача выбросить «решку» — успех с вероятностью p. Тогда выпадение «орла» является случаем «неудачи» и имеет вероятность дополнения 1 – p.

Если спроектировать этот эксперимент с тремя испытаниями, с условием, что нужно узнать вероятность выпадения «решки», можно использовать функцию вероятности массы (pmf) для биномиального распределения, где n — это количество испытаний, а k — это число успехов. Предполагаемая вероятность удачи — 0,5 (р = 0,5). Самое время обратиться к треугольнику, используя комбинаторные числа: 1, 3, 3, 1. Вероятность получить ноль или три «решки» составляет 12,5%, в то время как переворот монеты один или два раза на сторону «орла» — 37,5%. Вот так математика может применяться в жизни.

Видео:Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

«Треугольник Паскаля».

Проектная работа по математике

Видео:Комбинаторика: перестановка, размещение и сочетание | Математика | TutorOnlineСкачать

Скачать:

Видео:4.3 Треугольник Паскаля 1. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать

Предварительный просмотр:

Проектная работа по математике

Ученика 9 «Е» класса

МАОУ гимназии № 69

Имени Сергея Есенина

1. Теоретическая часть.

1. Актуальность проблемы. Цель и задачи работы.
2. История исследований.
3. Определение треугольника Паскаля. Бином Ньютона и биноминальные коэффициенты.

1.4. Построение треугольника Паскаля.

1. Практическая часть.

1. Использование в комбинаторике.
2. Связь с теорией вероятностей.
3. Треугольник Серпинского.
4. Применение в математическом анализе.

1. Заключение. Выводы.
2. Список использованной литературы.

Актуальность проблемы: в последнее время наблюдается тенденция к усложнению математических задач, в том числе в комбинаторике и теории вероятностей. Тем не менее, треугольник Паскаля позволяет быстро их решить. Также эта схема находит применение в других областях математики, так что она довольно часто используется на практике и в наши дни.

Цель работы: изучить треугольник Паскаля и его свойства.

1. Дать определение треугольника Паскаля.
2. Описать схему его построения.
3. Рассмотреть основные свойства.
4. Найти связь с другими областями математики.

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.» Так сказал Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы». Что же такого необычного в треугольнике Паскаля?

1.2. Для начала немного истории. На самом деле треугольник Паскаля был известен ещё индийским математикам X века под названием Лестница на гору Меру(meru-prastaara). В Иране эту таблицу называют треугольником Омара Хайяма, китайцы — треугольником Яна Хуэя. Мы же знаем его, как треугольник Паскаля в честь французского учёного Блеза Паскаля. Он, несомненно, внёс вклад в развитие представлений об этой таблице, хотя не был в числе его первооткрывателей.

В 1654 году кавалер де Мере, большой поклонник азартных игр, предложил Паскалю решить некоторые задачи, возникающие при определённых игровых условиях. В ходе решения одной из них, в переписке Паскаля с Ферма, закладываются основы теории вероятностей. Учёные, решая задачу о распределении ставок между игроками при прерванной серии партий, использовали каждый свой аналитический метод подсчёта вероятностей и пришли к одинаковому результату. Паскаль создаёт «Трактат об арифметическом треугольнике» (издан в 1665 году), где исследует свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчёту числа сочетаний, не прибегая к алгебраическим формулам.

1.3. Перейдём к изучению треугольника Паскаля. Также рассмотрим его основные свойства.

Его определение таково: треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. Даже здесь можно встретить незнакомые слова. Например, что это – биноминальные коэффициенты? Дадим определение.

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1 + x) n по степеням x. То есть, если мы начнём раскладывать на отдельные слагаемые многочлен (1+x) n , то перед любым k(k . Это и будет биномиальным коэффициентом. А бином Ньютона позволяет разложить на отдельные слагаемые любую сумму двух переменных в n-ной степени: (a + b) n.

1.4. Итак, треугольник Паскаля представляет собой бесконечную таблицу коэффициентов разложения суммы на слагаемые. По какой схеме строится этот треугольник? В его основании находится единица (это строка называется нулевой). В следующей строке две единицы, а начиная с третьей строки по краям находятся единицы, а остальные числа представляют собой сумму чисел над ними. Получается вот такая схема:

1.5. Настало время переходить к свойствам треугольника. Первое, и самое главное было уже упомянуто. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, — это биномиальные коэффициенты. Например, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 и (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 . Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 — в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y) n , достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

Другие свойства (первые два для строки с номером n):

1. Первое и последнее числа равны 1.
2. Второе и предпоследнее числа равны n.
3. Первая зелёная линия – последовательность натуральных чисел.
4. Третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде равностороннего треугольника, т. е. 1, 3, 6, 10…). Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21… (вторая зелёная линия) и так далее. Каждый член этого ряда равен сумме натурального ряда чисел (21=1+2+3+4+5+6).
5. Четвёртое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании (1, 4, 10, 20, 35…- третья зелёная линия)
6. Следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35. ) демонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве — 1 шар касается 4, а те, в свою очередь, десяти. Еще более невообразимый пятимерный тетраэдр «выстраивается» с помощью чисел шестого ряда треугольника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126…
7. Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную постоянным читателям последовательность чисел Фибоначчи (элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…, в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
8. Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2 n . Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 2 0 =1.
9. Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана (последовательность: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132…). Например, для второй строки: 2-1=1; для шестой строки 20-15=5.
10. Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

2.1. Я предоставил основные свойства треугольника Паскаля. Однако числа, встречающиеся в нём, возникают естественным образом в самых разных областях математики (алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел).

Начнём с исследования значения треугольника Паскаля в комбинаторике. Рассмотрим пример от Мартина Гарднера: некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать? Для ответа на этот вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7, оно оказывается равным 35. Если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего m различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и m-ой строки.

Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой .

А ведь по ней же вычисляются биномиальные коэффициенты, а, следовательно, и числа треугольника Паскаля. Таким образом, можно решить любую задачу на сочетания, не прибегая к сложным подсчётам факториалов. Достаточно найти искомое число в треугольнике Паскаля.

2.2. Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпадают лишь в одном случае, два герба — в трех случаях, один герб — также в трех случаях и ни одного герба — в одном случае. Числа благоприятных исходов для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля.

Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов, вычисления можно намного сократить, если воспользоваться свойством о сумме чисел в ряду. Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256.

2.3. Давайте заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные — прозрачным, или цветом фона. Результат таков: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть «составленные» из одних лишь четных чисел. Получим фрактал, известный как треугольник Серпинского.

2.4. Биноминальные коэффициенты, составляющие треугольник Паскаля, используются в математическом анализе для дифференцирования сложных функций. Примером является формула Лейбница для нахождения производной произведения, где u и v — n раз дифференцируемые функции:

1. Треугольник Паскаля – бесконечная таблица биноминальных коэффициентов.

2. В основании треугольника находится единица, в следующей строке две единицы; в каждой следующей строке первое и последнее число равно 1, а остальные – сумме чисел над ними.

3. Числа на диагоналях треугольника Паскаля обладают интересными свойствами, образуя различные последовательности (натуральных чисел, треугольных чисел, чисел Фибоначчи и т.д.)

4. Числа, составляющие треугольник Паскаля, используются прежде всего в комбинаторике и теории вероятностей, однако могут встретиться и в других областях математики.

4. Список использованной литературы:

Журнал Hard’n’soft №10, 2003

Информатика-54. Треугольник Паскаля. А.Н.Швец

Видео:#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов | Python для начинающихСкачать

Исследовательская работа по математике на тему «Треугольник Паскаля» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Отдел образования, спорта и туризма Борисовского райисполкома

Государственное учреждение образования

«Средняя школа № 16 г. Борисова»

учащаяся 7 «А» класса

Абоян Елизавета Александровна,

домашний адрес: г. Борисов,

ул Смолевичская, д. 8, 76-51-80

Ищук Ольга Эдуардовна, учитель математики

Видео:Удивительный треугольник Паскаля | Лекции по математике – Яков Ерусалимский | Научпоп | НаукаPROСкачать

Введение

В этом учебном году мы начали изучать новый предмет «геометрия».

Одна из глав курса геометрии называется «Треугольники». Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотела узнать много нового о треугольниках, об их происхождении и значении в нашей жизни. Ведь мир треугольников очень загадочен и интересен.

Треугольник — первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изучая литературу, я узнала, что в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы.

Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу — Отца, Сына и Святого Духа.

Существует множество видов треугольников, но больше всего меня заинтересовал треугольник Паскаля.

Проблема моего исследования состоит в том, что я попыталась выявить и показать то, насколько широко треугольники используются в практической жизни.

Практическая значимость исследования:

Данная исследовательская работа может быть использован как дополнительный материал к урокам геометрии, для внеклассной работы по математике.

— ознакомиться с треугольником Паскаля и его применением как разновидностью треугольников;

Если числа треугольника Паскаля обладают особыми свойствами, то его можно считать уникальным для решения различных задач

— определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

— изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;

— выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

— сформулировать вывод и итоги исследования;

Объект исследования: треугольник как геометрическая фигура

Предмет исследования: свойства треугольника Паскаля

— аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

— поиск информации в интернет — ресурсах.

— выбор проблемы, источников литературы, составление плана;

— работа с литературой и другими источниками;

— обработка полученных данных;

— анализ результатов, формулирование вывода;

Основные этапы исследования: подготовительный; деятельностный;

Ход исследования: рефлексивный; аналитический; презентационный.

Видео:Несколько красивых свойств треугольника ПаскаляСкачать

Теоретическая часть работы

Видео:Бином Ньютона и его свойства. 9 класс.Скачать

Знакомство с треугольником Паскаля

Моё первое знакомство с треугольником Паскаля произошло во время изучения темы «Возведение двучлена в степень» на уроке алгебры. Мне уже известны формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности. Я заметила, что получить формулы для возведения двучлена в четвёртую, пятую и т.д. степень возможно, учитывая некоторую закономерность в коэффициентах и степенях каждого слагаемого.

Коэффициенты всех строк можно расположить в виде треугольника:

Таким образом я познакомилась с треугольником Паскаля и решила продолжить изучение арифметического треугольника.

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Блез Паскаль – французский математик

Блез Паскаль (19 июня 1623, Клермон-Ферран, — 19 августа 1662, Париж) — французский математик, физик, литератор и философ.

Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Треугольник Паскаля как разновидность треугольника

Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года — даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике». Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника уже около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Ещё я узнала из книги «Математические новеллы» (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера, что «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Я рассмотрела схему построения треугольника, предложенную Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно — розовыми. Это один из вариантов построения треугольника.

Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова : каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел .

Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две — итого три — к двум можно приладить еще три — итого шесть.

Получили треугольные числа на рисунке: 3; 6; 10; 15.

Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66. что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 — совершенные числа, 36 — квадратное число, 8 и 21 — числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа — один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее.

Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого, (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще — ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. «Спустившись» по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120.

Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей и обладает замечательными свойствами.

Видео:Комбинаторика 05 Треугольник ПаскаляСкачать

Свойства треугольника Паскаля и их применение в решении задач

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего «треугольника». Приведу для примера лишь 3 свойства «треугольника», найденные самим Паскалем; при этом буду исходить из того расположения «треугольника» на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах.

Свойство 1: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А (в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы). (Рисунок 4)

(Рисунок 4) (Рисунок 5) (Рисунок 6)

Свойство 2: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. (Рисунок 5)

Свойство 3: Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются). (Рисунок 6)

Видео:РАЗБИРАЕМСЯ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПАСКАЛЯ ЧАСТЬ II 😊 #shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

Треугольник Паскаля и теория вероятности.

Блез Паскаль и другой великий француз, Пьер Ферма, стали основателями теории вероятностей, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки. Два игрока играют в «безобидную» игру (т.е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй — три). Как справедливо разделить приз? Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5 : 3, т.е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому — в отношении 2 : 1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам).

А между тем делить надо в отношении 7:1. И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, причем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 2 3 = 8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7 : 1.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач .

Рассмотрим основные формулы комбинаторики:

Размещение

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n .

Перестановки ( ). Если k = n , то эти размещения называются перестановками.

Сочетания () – это любое подмножество из k – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.

.

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k -ой диагонали и n -ой строки. Чтобы вычислить сочетание , н айду диагональ седьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 35.

Можно использовать треугольник Паскаля и для вычисления размещений. .Если нам нужно посчитать , то зная что , а 3!=6, получим значение данного размещения 210.

Я пришла к выводу, что рассмотренные свойства треугольника Паскаля подтверждают слова Мартина Гарднера о том, что треугольник Паскаля одна из наиболее изящных схем во всей математике.

Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ЦТ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и в геометрии.

Видео:БИНОМ Ньютона | треугольник ПаскаляСкачать

Практическая часть работы

В своей практической работе я подобрала ряд задач по теме «Треугольник Паскаля»

Задача 1. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56. (Рисунок 8)

Задача 2.Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

Задача4. На плоскости даны 10 прямых, причём среди них нет параллельных и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: ответ находится на пересечении -45 точек!

Задача 5. В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 10 имеющихся можно 45 способами. Вероятность нашего события 2 из 45. (Рисунок 11)

В ходе проведения практического исследования я пришла к следующим выводам: при решении комбинаторных задач и задач по теории вероятностей можно пользоваться не только формулами комбинаторики, но и использовать свойства треугольника Паскаля

Видео:Основы комбинаторикиСкачать

Заключение

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема.

В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля — понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности и комбинаторики. С комбинаторными задачами я встречалась на уроках математики в 6 классе и при решении олимпиадных задач

Практическая значимость данной работы заключается в следующем: я, изучив много литературы по данному вопросу, получила дополнительные знания в области математики, укрепила свой интерес к этой науке.

Я узнала, что треугольник Паскаля применяется:

В курсе алгебры

При решении комбинаторных задач

Для решения различных задач в области физики

С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

Видео:Треугольник Паскаля алгоритмСкачать

Список использованных источников и литературы

1. Абачиев С. К., Радужная фрактальность треугольника Паскаля / С. К. Абачиев, — Минск, 1999.—168с.

2. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл.Москва, «Просвещение», 1996г. – 194 с.

3. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля / Математические новеллы. — Минск: Мир, 1974.— 456 с.

4. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. — 2 — е изд. – Москва: Наука, 1979. – 48с.

5. Фукс Д., Фукс М., Арифметика биномиальных коэффициентов / Квант. — 1970. — № 6. — С.17-25.

6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

8. http :// davaiknam . ru / text / volshebnij — treugolenik .