Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит

Докажите признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство.

На рисунке изображен прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD которого равны.

Докажем, что параллелограмм ABCD— прямоугольник .

Рассмотрим ΔABD и ΔACD . У них AB = CD , BD= AC , AD — общая сторона.

Cледовательно, ΔABD и Δ ΔACD равны по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда ∠BAD = ∠CDA . Эти углы являются односторонними при параллельных прямых и DC и секущей AD . Cледовательно, ∠BAD + ∠CDA = 180°. Тогда ∠BAD = ∠CDA = 90° .

Поэтому параллелограмм ABCD- прямоугольник .

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Докажите признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство.

На рисунке изображен прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD которого равны.

Докажем, что параллелограмм ABCD— _________________.

Рассмотрим ΔABD и Δ_______. У них AB = ________,BD= ________, ________- общая сторона.

Cледовательно, ΔABD и Δ_______ равны по _____________ признаку равенства треугольников.

Отсюда ∠BAD = ∠_________. Эти углы являются _____________________________________ при параллельных прямых _______ и __________ и секущей _________. Cледовательно, ∠BAD + ∠______ = _________. Тогда ∠BAD = ∠______ = _________.

Поэтому параллелограмм ABCD- _______________________________.

Видео:Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если диагонали параллелограмма равны, то этотСкачать

Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если диагонали параллелограмма равны, то этот

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.» — верно, если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) «Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.» — верно, если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) «Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.» — неверно, стороны параллелограмма параллельны и образуют односторонние углы, а сумма односторонних углов равна 180°.

4) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.» — верно, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм: свойства и признаки

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

О чем эта статья:

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромб

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если диагонали параллелограмма равны то этот четырехугольник параллелограмм

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

🎬 Видео

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

№957. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольникомСкачать

№957. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником

Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Если диагонали параллелограмма равны, то это квадрат. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали параллелограмма равны, то это квадрат. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этотСкачать

Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот

Геометрия Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этотСкачать

Геометрия Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

Сумма квадратов диагоналей параллелограммаСкачать

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 кл

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?
Поделиться или сохранить к себе: