Как определить, что треугольник — равносторонний? Это можно сделать, использовав либо определение, либо признаки равностороннего треугольника.
По определению, треугольник равносторонний, если все его стороны равны.
Признаки равностороннего треугольника
1) Если у треугольника все углы равны, то этот треугольник — равносторонний.
то треугольник ABC — равносторонний.
2) Если у треугольника совпадают проведённые к двум сторонам
— медиана и высота
— биссектриса и высота
— медиана и биссектриса,
то этот треугольник — равносторонний.
Если AK и BF (или AK и CD, или BF и CD)
— медианы и высоты
— или биссектрисы и высоты
— или медианы и биссектрисы,
то треугольник ABC — равносторонний.
3) Если у треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадают, то этот треугольник — равносторонний.
Если точка O для треугольника ABC —
- Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
- Определение равностороннего треугольника
- Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- Треугольник вписанный в окружность
- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- 🎥 Видео
Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
Треугольник вписанный в окружность
Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
🎥 Видео
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Построение равностронего треугольника.Скачать
Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать
Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать
9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать