Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам то этот четырехугольник ромб

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.» — верно, если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) «Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.» — верно, если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) «Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.» — неверно, стороны параллелограмма параллельны и образуют односторонние углы, а сумма односторонних углов равна 180°.

4) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.» — верно, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Видео:Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам то этот четырехугольник ромб

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

(sim) противоположные углы ромба попарно равны;

(sim) соседние углы ромба в сумме дают (180^circ) ;

(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство

Рассмотрим ромб (ABCD) .

По определению ромба (AB = AD) , поэтому треугольник (BAD) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой (O) пересечения делятся пополам. Следовательно, (AO) – медиана равнобедренного треугольника (BAD) , а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому (ACperp BD) и (angle BAC = angle DAC) .

Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) . Пусть (ACperp BD) .

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – высота (следует из условия), то (triangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

2) Пусть (AC) – биссектриса угла (angle A) .

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – биссектриса (следует из условия), то (triangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

3) Пусть (ABCD) – произвольный четырехугольник и (AB=BC=CD=AD) .

Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб.

Видео:Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этотСкачать

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть и — диагонали ромба (рис. 49), — точка их пересечения. Поскольку и то — медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника

Следовательно, и

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол а диагональ делит пополам углы и

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть — диагональ ромба а — его высота (рис. 50), = 28°.

1) В

2) Так как делит угол пополам, то

3) Тогда

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть — параллелограмм (рис. 48). Так как (по условию) и (по свойству параллелограмма), то Следовательно, — ромб.

2) Пусть (рис. 49). Поскольку (по свойству параллелограмма), то (по двум катетам). Следовательно, По п. 1 этой теоремы — ромб.

3) Диагональ делит пополам угол параллелограмма (рис. 49), то есть Так как — секущая, то (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Поэтому по признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный и По п. 1 этой теоремы — ромб.

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник — ромб.

Доказательство:

Пусть (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то — параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма соседние стороны равны. Поэтому — ромб (по признаку ромба).

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

• Квадрат и его свойства
• Трапеция и ее свойства
• Площадь трапеции
• Центральные и вписанные углы
• Четырехугольники и окружность
• Параллелограмм, его свойства и признаки
• Площадь параллелограмма
• Прямоугольник и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

№408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимноСкачать

Геометрия Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на биссектрисах его углов, то такойСкачать

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Диагонали параллелограмма делятся пополамСкачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его угловСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Ромб. 8 класс.Скачать

Параллелограмм и вся его семейкаСкачать

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его угловСкачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

№405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы,Скачать

Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если диагонали параллелограмма равны, то этотСкачать