Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Параллелограмм: свойства и признаки

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

О чем эта статья:

Содержание
  1. Определение параллелограмма
  2. Свойства параллелограмма
  3. Признаки параллелограмма
  4. 443 Сформулировать теорему 9 класс Алимов
  5. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  6. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  7. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  8. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  9. Параллелограмм
  10. Параллелограмм и его свойства
  11. Признаки параллелограмма
  12. Прямоугольник
  13. Признак прямоугольника
  14. Ромб и квадрат
  15. Свойства ромба
  16. Трапеция
  17. Средняя линия треугольника
  18. Средняя линия трапеции
  19. Координаты середины отрезка
  20. Теорема Пифагора
  21. Справочный материал по четырёхугольнику
  22. Пример №1
  23. Признаки параллелограмма
  24. Пример №2 (признак параллелограмма).
  25. Прямоугольник
  26. Пример №3 (признак прямоугольника).
  27. Ромб. Квадрат
  28. Пример №4 (признак ромба)
  29. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  30. Пример №5
  31. Пример №6
  32. Трапеция
  33. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  34. Центральные и вписанные углы
  35. Пример №8
  36. Вписанные и описанные четырёхугольники
  37. Пример №9
  38. Пример №10
  39. 📽️ Видео

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а уголСкачать

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а угол

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Площадь ромба. Легче понять...

443 Сформулировать теорему 9 класс Алимов

443 Сформулировать теорему, обратную теореме:
1)сумма противоположных углов четырёхугольника, впи-
санного в окружность, равна 180°;
2)если две параллельные прямые пересечены секущей, то
образовавшиеся накрест лежащие углы равны;
3)около любого прямоугольника можно описать окруж-
ность;
4) диагональ параллелограмма делит его на два равных
треугольника.
Установить, истинной или ложной является каждая из
этих теорем.

1) Если сумма противоположных углов четырёхугольника рав­на 180°, то около него можно описать окружность; истинна.
2)Если при пересечении двух прямых секущей образовавшиеся на­крест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны; истинна.
3)Если в фигуру можно вписать в окружность, то эта фигура — прямоугольник; ложна.
4)Если диагональ четырёхугольника делит его на два равных тре­угольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; ложна.

Видео:145 Длины сторон выпуклого четырёхугольника уменьшили. Могли ли при этом обе диагонали удлиниться?Скачать

145 Длины сторон выпуклого четырёхугольника уменьшили. Могли ли при этом обе диагонали удлиниться?

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоуглы Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляются внешними.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЕсли диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЕсли диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тото параллелограмм Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляется ромбом.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство теоремы 1.

Дано: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника торомб.

Докажите, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство (словестное): По определению ромба Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника торавнобедренный. Медиана Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(так как Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоТак как Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляется прямым углом, то Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Аналогичным образом можно доказать, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

План доказательства теоремы 2

Дано: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника торавнобедренная трапеция. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Докажите: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тотогда Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топроведем параллельную прямую к прямой Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника точерез точку Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то— середину стороны Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топроведите прямую параллельную Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоКакая фигура получилась? Является ли Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тотрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоМожно ли утверждать, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Пусть дан треугольник Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои его средняя линия Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПроведём через точку Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топрямую параллельную стороне Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тот.е. совпадает со средней линией Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоТ.е. средняя линия Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топараллельна стороне Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоТеперь проведём среднюю линию Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоТ.к. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тото четырёхугольник Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПо теореме Фалеса Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоТогда Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство: Через точку Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои точку Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тосередину Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника точерез Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника торадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои точка Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токоторая является серединой отрезка Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тото Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоа отсюда следует, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

2) По теореме Фалеса, если точка Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляется серединой отрезка Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тото на оси абсцисс точка Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

3) Координаты середины отрезка Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тос концами Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоточки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тонаходятся так:

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тото, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то— прямоугольный.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тотакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЕсли диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Решение:

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(АВ CD, ВС-секущая), Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(ВС || AD, CD — секущая), Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. По свойству углов четырёхугольника, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Следовательно, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо двум сторонами и углу между ними.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПри помощи циркуля сравните длины отрезков Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказать: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Проведём через точки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топрямые Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топараллельные ВС. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо стороне и прилежащим к ней углам. У них Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топо условию, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак противоположные стороны параллелограммов Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоПроведём прямую Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Через точки Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника топроведём прямые, параллельные прямой Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказать: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Поэтому Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРЕсли диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак вертикальные, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника товнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника торавнобедренный. Поэтому Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тосоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЕсли диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. По свойству внешнего угла треугольника, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоЕсли диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Из доказанного в первом случае следует, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоизмеряется половиной дуги AD, a Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то— половиной дуги DC. Поэтому Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника токак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказать: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Тогда Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Докажем, что Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то. По свойству равнобокой трапеции, Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Тогда Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тои, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника тоцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника товписанного в окружность. Действительно,

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Следовательно, четырёхугольник Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника то

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника

78 Углы и диагонали четырёхугольника (146)Скачать

78 Углы и диагонали четырёхугольника (146)

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 НайдитеСкачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 Найдите

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+CСкачать

№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+C

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и ADСкачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали
Поделиться или сохранить к себе: