Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника

О чем эта статья:

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
   
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
   

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

   

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:145 Длины сторон выпуклого четырёхугольника уменьшили. Могли ли при этом обе диагонали удлиниться?Скачать

443 Сформулировать теорему 9 класс Алимов

443 Сформулировать теорему, обратную теореме:
1)сумма противоположных углов четырёхугольника, впи-
санного в окружность, равна 180°;
2)если две параллельные прямые пересечены секущей, то
образовавшиеся накрест лежащие углы равны;
3)около любого прямоугольника можно описать окруж-
ность;
4) диагональ параллелограмма делит его на два равных
треугольника.
Установить, истинной или ложной является каждая из
этих теорем.

1) Если сумма противоположных углов четырёхугольника рав­на 180°, то около него можно описать окружность; истинна.
2)Если при пересечении двух прямых секущей образовавшиеся на­крест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны; истинна.
3)Если в фигуру можно вписать в окружность, то эта фигура — прямоугольник; ложна.
4)Если диагональ четырёхугольника делит его на два равных тре­угольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; ложна.

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

Свойства и признаки параллелограмма

1°. Количество параллелограммов, изображенных на рисунке 1, равно

2°. Длина одной из сторон параллелограмма составляет 80% от длины другой стороны. Найдите длину меньшей стороны этого параллелограмма, если его полупериметр равен 18см.

3°. Сумма градусных мер трех углов параллелограмма равна 300°. Найдите величину тупого угла этого параллелограмма.

4°. Если сумма любых двух неравных углов четырехугольника равна 180°, то этот четырехугольник

5°. Периметр параллелограмма равен 20 см. Какое наибольшее целое значение может принимать длина одной из диагоналей этого параллелограмма?

6*. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Периметр треугольника ОВС на 6 больше периметра треугольника АОВ. Найдите разность длин сторон АD и DC .

7*. На рисунке 2 отрезки АМ и АК — высоты параллелограмма АВСD. Найдите величину угла МАК, если величина угла ADC равна 23 °.

8°. Биссектриса АК угла ВАD параллелограмма АВСD делит сторону ВС на отрезки ВК=7 и КС=5. Найдите периметр этого параллелограмма.

9°. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два неравных треугольника, то этот четырехугольник

10°. Если АС — диагональ четырехугольника АВСD, а медианы треугольников АВС и АDС, проведенные к стороне АС, равны между собой и лежат на одной прямой, то четырехугольник АВСD

11°. В четырехугольнике МКРТ середина отрезка МР является серединой отрезка КТ. Какому из указанных числовых промежутков принадлежит сумма длин сторон МК и КР, если периметр четырехугольника равен 20?

12°. Точки М и Р лежат на противоположных сторонах параллелограмма так, что точка О пересечения диагоналей параллелограмма лежит на отрезке МР. В таком случае длина отрезка МР составляет от длины отрезка ОР

13*. Диагональ КР параллелограмма КМРТ перпендикулярна стороне МК и равна

стороне ТР. Тупой угол этого параллелограмма равен

14*. Через вершины треугольника АВС провели прямые, параллельные противоположным сторонам этого треугольника. Эти прямые попарно пересекаются в точках М, К и Н (рис.3). Найдите периметр треугольника АВС, если сумма периметров всех получившихся при этом параллелограммов равна 40см.

15*. Градусная мера угла между биссектрисами двух соседних углов параллелограмма в пять раз больше, чем градусная мера острого угла этого параллелограмма. Отношение градусных мер двух соседних углов этого параллелограмма равно

📸 Видео

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 НайдитеСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и ADСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.Скачать

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а уголСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать