E по замкнутой поверхности поток вектора (4 видео)

Поток вектора Е через поверхность

Введем понятие потока Ф вектора Е через поверхность S. Сначала определим элемент потока йФ через элементарную площадку dS следующим образом:

т. е. это скалярное произведение векторов Е и dS (рис. 4.6, а). Под вектором dS понимается вектор, по абсолютной величине равный dS, и направленный перпендикулярно площадке. Для обозначения того, поток какого вектора имеется в виду, внизу будем ставить соответствующий индекс.

Поток через всю поверхность S будет

где а — угол между нормалью к поверхности и вектором Е. Если поле однородно, а поверхность плоская (рис. 4.6, б), то ? и cosa можно вынести за знак интеграла. Тогда

Если cosa отнести к Е, то Ecosa = Е„ — нор- Рис 4 6 мальная к площадке составляющая векто

ра Е, а если cosa отнести к S, то S-cosa = — S_n — проекция площадки S на поверхность, нормальную к Е. В самом же простом случае, когда площадка перпендикулярна Е (рис. 4.6, в), т. е. a = О,

Если придерживаться условия проводить силовые линии такой густоты, чтобы N/S = Е, то поток через данную площадку — это просто число силовых линий N, пронизывающих эту площадку.

Содержание

Теорема Гаусса
Поток вектора напряженности
Теорема Гаусса. Доказательство
Применение теоремы Гаусса
Теорема Гаусса для электростатического поля. Поток и дивергенция вектора Е
🔍 Видео

Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Теорема Гаусса

Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.

Видео:Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать

Поток вектора напряженности

Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка Δ S .

Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S ) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E → , площади Δ S и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:

Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.

В данной формуле E n является модулем нормальной составляющей поля E → .

Рисунок 1 . 3 . 1 . Иллюстрация элементарного потока Δ Φ .

Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S . Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера Δ S i , рассчитаем элементарные потоки Δ Φ i поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1 . 3 . 2 ):

Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Рисунок 1 . 3 . 2 . Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S .

Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Теорема Гаусса. Доказательство

Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.

Поток вектора напряженности электростатического поля E → через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

Уравнение Гаусса имеет вид:

Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р

Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S . В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q . Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:

E = E n = 1 4 π ε 0 · q R 2 ,

где R является радиусом сферы.

Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4 π R 2 . Тогда: Φ = 1 ε 0 q .

Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R 0 (рис. 1 . 3 . 3 ).

Рисунок 1 . 3 . 3 . Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд.

Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом Δ Ω при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку Δ S 0 , а на поверхности S – площадку Δ S . Элементарные потоки Δ Φ 0 и Δ Φ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:

Δ Φ 0 = E 0 Δ S 0 , Δ Φ = E Δ S cos α = E Δ S ‘ ,

где выражением Δ S ‘ = Δ S cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом Δ Ω на поверхности сферы радиуса n .

Поскольку ∆ S 0 ∆ S ‘ = R 0 2 r 2 , то ∆ Φ 0 = ∆ Φ . Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q , поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1 . 3 . 2 . Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φ i электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд q i расположен внутри поверхности S , он дает вклад в поток, равный q i ε 0 . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

Так, мы доказали теорему Гаусса.

Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).

Видео:Формула Остроградского-ГауссаСкачать

Применение теоремы Гаусса

В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R . Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1 . 3 . 4 ).

Рисунок 1 . 3 . 4 . Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. O O ‘ – ось симметрии.

Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:

Φ = E 2 π r l = τ l ε 0 .

В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r R . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ = E 2 π r l . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.

К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.

Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1 . 3 . 5 ).

Рисунок 1 . 3 . 5 . Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

2 E ∆ S = σ ∆ S ε 0 или E = σ 2 ε 0 .

Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.

Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.

Видео:Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхностьСкачать

Теорема Гаусса для электростатического поля. Поток и дивергенция вектора Е

Рис. 12.3. Однородное поле Ё изображено параллельными силовыми линиями. Штриховыми линиями изображена проекция площади ДS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям поля

Рис. 12.4. К определению потока напряженности через неплоекую поверхность 5, когда поле Е неоднородно

Рассмотрим элементарную площадку dS, которую пронизывают линии напряженности (рис. 12.3). Пусть п — единичный вектор, перпендикулярный площадке AS и направленный под углом а к вектору Ё. Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку AS, равно Е AS cosa = E_nAS, где Е_п — проекция вектора Ё на нормаль п к площадке dS.

Величина ДФ_Е = ?„AS = Е AS cosa = — Ё AS называется потоком вектора напряженности электростатического поля через площадку AS. Здесь AS = AS п — вектор, модуль которого равен AS; его направление совпадает с направлением п к площадке. Отметим, что выбор направления вектора И условен: его можно было направить в противоположную сторону (рис. 12.3).

Если поле неоднородно и поверхность S неплоская (рис. 12.4), то, разбивая поверхность на участки АД,- (/ = 1, п) так, чтобы каждый элемент AS,- был плоским и электрическое поле в пределах элемента было однородным, для потока напряженности через всю поверхность получаем

где E_t — напряженность поля, отвечающая векторному элементу площади поверхности Д5). При Д5,-—»0 сумма переходит в интеграл по всей поверхности и равенство становится точным:

Поток вектора Е через произвольную замкнутую поверхность S, т.е. через поверхность, ограничивающую некоторую область пространства, определяется по формуле

где знак ф показывает, что интеграл берется по замкнутой поверхности. s

Для наглядного изображения электростатического поля через единичную площадку, перпендикулярную силовым линиям поля, будем проводить силовые линии N_E, число которых равно модулю потока Ф_? вектора напряженности.

Рис. 12.5. К выбору вектора dS = dSn элемента замкнутой поверхности S

В случае замкнутой поверхности S принято брать нормаль п , внешнюю по отношению к области, охватываемой этой поверхностью, т.е. внешнюю нормаль (рис. 12.5). Знак потока Ф_? определяется следующим образом. Если силовые линии выходят из объема (рис. 12.5, угол а я/2 , т.е. cosa г

Рис. 12.6. К выводу теоремы Гаусса

Рассмотрим воображаемую замкнутую сферическую поверхность S радиуса г, в центре которой помещен точечный положительный заряд q. Силовые линии заряда q центрально-симметричны (рис. 12.6). В соответствии с формулой (12.11а) в каждой точке этой поверхности проекция вектора Е на внешнюю нормаль

Следовательно, поток вектора Е через поверхность S

Выражение (12.116) не зависит от /*. Так как силовые линии нигде не пересекаются, то их число будет таким же через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряд q.

Если заряд положителен, то на нем начинается число линий

Для отрицательного заряда линии идут из бесконечности, заканчиваясь на нем:

Количество линий при этом N_E K >0, т.е. неотрицательно, так как q Теорема Гаусса для вектора Е в дифференциальной форме. При рассмотрении поля, создаваемого макроскопическим зарядом, заряд считают распределенным в пространстве непрерывно с конечной объемной плотностью р. Тогда можно считать, что каждый элементарный объем AV представляет собой точечный заряд pAV.

Разделим поток вектора Е через замкнутую поверхность S на объем AV, ограниченный данной поверхностью:

и будем стягивать эту поверхность в точку. Полученная скалярная величина называется дивергенцией вектора Е:

Можно показать, что в декартовой системе координат

Согласно теореме Остроградского из векторного анализа

Сопоставив уравнения (12.11) и (12.12), сформулируем теорему Гаусса (12.11) в дифференциальной форме: дивергенция вектора Е в некоторой точке электростатического поля равна объемной плотности электрического заряда р в этой точке, деленной на ?₀:

Те точки поля, где div? положительна, называются источниками векторного поля (положительные заряды), а те точки, где она отрицательна, — стоками (отрицательные заряды).