Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Системы случайных величин

Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:

  • ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
  • ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции rx,y, условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M[X/Y=yi];

Кроме этого, дается ответ на вопрос, «зависимы ли случайные величины X и Y ?».

  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:

Y/X1234
1000,110,120,03
2000,130,090,02
300,020,110,080,01
400,030,110,05q

Найти величину q и коэффициент корреляции этой случайной величины.

Решение. Величину q найдем из условия Σpij = 1
Σpij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X10203040
P0.260.240.220.28∑Pi = 1

Математическое ожидание M[X] = 10*0.26 + 20*0.24 + 30*0.22 + 40*0.28 = 25.2
Дисперсия D[X] = 10 2 *0.26 + 20 2 *0.24 + 30 2 *0.22 + 40 2 *0.28 — 25.2 2 = 132.96
Среднее квадратическое отклонение σ(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(132.96) = 11.531

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y1234
P0.050.460.340.15∑Pi = 1

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 — 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Ковариация cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 — 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:

  1. написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
  2. написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
  3. изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
  4. рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
  5. написать выборочное уравнение прямой регрессии;
  6. изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.

Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2. n, j=1,2. m

X / Y2030405060
1120000
1646000
2103620
26004584
3100467
3600003

События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2. n, j=1,2. m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X111621263136
P2101157173∑Pi = 100

Математическое ожидание M[X].
M[x] = (11*2 + 16*10 + 21*11 + 26*57 + 31*17 + 36*3 )/100 = 25.3
Дисперсия D[X].
D[X] = (11 2 *2 + 16 2 *10 + 21 2 *11 + 26 2 *57 + 31 2 *17 + 36 2 *3 )/100 — 25.3 2 = 24.01
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y2030405060
P69551614∑Pi = 100

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14 )/100 = 42.3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14 )/100 — 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y).
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=20).
M[X/Y=y] = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D[X/Y=20).
D[X/Y=y] = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=30).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D[X/Y=30).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=40).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D[X/Y=40).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 — 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=50).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D[X/Y=50).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 — 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M[X/Y=60).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D[X/Y=60).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 — 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y.
Условный закон распределения Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=11).
M[Y/X=x] = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D[Y/X=11).
D[Y/X=x] = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=16).
M[Y/X=x] = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D[Y/X=16).
D[Y/X=x] = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=21).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D[Y/X=21).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 — 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M[Y/X=26).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D[Y/X=26).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 — 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M[Y/X=31).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D[Y/X=31).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 — 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M[Y/X=36).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D[Y/X=36).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 — 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 — 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 — 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 9.99 и σy = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
и вычисляя, получаем:
yx = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
и вычисляя, получаем:
xy = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Задание. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение

Пример. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение

Задание. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Случайный вектор двумерной случайной величины

Двумерная дискретная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной дискретной случайной величины. Но бывает, что результат испытания описывается не одной, а несколькими случайными величинами (случайным вектором).

В случае двух величин (скажем, $X$ и $Y$) мы имеем дело с так называемой двумерной дискретной случайной величиной $(X,Y)$ (или системой случайных одномерных величин). Кратко выпишем основы теории.

Видео:Двумерное дискретное распределениеСкачать

Двумерное дискретное распределение

Система двух случайных величин: теория

Двумерная ДСВ задается законом распределения (обычно представленным в виде таблицы распределения):

$$ P(X=x_i, Y=y_k)=p_, i=1,2. m; k=1,2. n; quad sum_p_=1. $$

По нему можно найти одномерные законы распределения (составляющих):

$$ p_i=P(X=x_i)=sum_p_, i=1,2. m; \ p_k=P(Y=y_k)=sum_ p_, k=1,2. n. $$

Интегральная функция распределения задается формулой $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$. Даже для самого простого закона распределения 2 на 2 функция занимает 5 строк, поэтому ее редко выписывают в явном виде.

Если для любой пары возможных значений $(X=x_i, Y=y_k)$ выполняется равенство

$$P(X=x_i, Y=y_k)=P(X=x_i)cdot P(Y=y_k),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми.

Если случайные величины зависимы, для них можно выписать условные законы распределения (для независимых они совпадают с безусловными законами):

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

Далее вы найдете разные примеры задач с полным решением, где используются дискретные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Видео:Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределение

Примеры решений

Задача 1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта В — 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X — индикатор дефекта А, a Y — индикатор дефекта В. Составить матрицу распределения двумерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и У и исследовать их зависимость.

Задача 2. Два баскетболиста по два раза бросают мяч в корзину. При каждом броске вероятность попадания для первого баскетболиста 0,6, для второго – 0,7. Случайная величина X – число попаданий первым баскетболистом по кольцу. Случайная величина Y – суммарное число попаданий обоими баскетболистами. Построить таблицу распределения случайного вектора (X,Y). Найти характеристики вектора (X,Y). Зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Задача 3. Слово РОССИЯ разрезано по буквам. Случайным образом вынимаем две буквы, тогда X – количество гласных среди них, затем вынимаем еще две буквы и Y – количество гласных во второй паре. Составить закон распределения системы случайных величин X, Y.

Задача 4. $X, Y$ — индикаторы событий $A, B$, означающий положительные ответы соответственно на вопросы $alpha, beta$ социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина $(X,Y)$ имеет следующую таблицу распределения.
Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.
Найти коэффициент корреляции $rho_$.

Задача 5. Составить закон распределения X — сумм очков и Y — числа тузов при выборе двух карт из колоды, содержащей только тузов, королей и дам (туз=11, дама=3, король=4)
Найти законы распределения величин Х и Y. Зависимы ли эти величины? Написать функцию распределения для (Х, Y). Построить ковариационный граф. Посчитать ковариацию (X,Y). Написать ковариационную матрицу. Посчитать корреляцию (X,Y) и написать корреляционную матрицу.

Задача 6. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайная величина X равна 1, если сумма выпавших чисел четна, и равна 0 в противном случае. Случайная величина Y равна 1, если произведение выпавших чисел четно, и 0 в противном случае. Описать закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти D[X], D[Y] и cov[X,Y].

Задача 7. В урне лежат 100 шаров, из них 25 белых. Из урны последовательно вынимают два шара. Пусть $X_i$ – число белых шаров, появившихся при $i$-м вынимании. Найти коэффициент корреляции между величинами $X_1$ и $X_2$.

Задача 8. Для заданного закона распределения вероятностей двухмерной случайной величины (Х, Y):
YX 2 5
8 0,15 0,10
10 0,22 0,23
12 0,10 0,20
Найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y.

Задача 9. Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y).
А) найти безусловные законы распределения составляющих;
Б) построить регрессию случайной величины Y на X;
В) построить регрессию случайной величины X на Y;
Г) найти коэффициент ковариации;
Д) найти коэффициент корреляции.
20 30 40 50 70
3 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01
4 0,04 0,3 0,06 0,03 0,01
5 0,02 0,03 0,06 0,07 0,05
9 0,05 0,03 0,04 0,02 0,03
10 0,03 0,02 0,01 0,01 0,02

Задача 10. Система (x, y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей. Определить:
А) безусловные законы распределения составляющих;
Б) условный закон распределения y при x=1;
В) условное математическое ожидание x при y=2.
Г) вероятность того, что случайная величина (x,y) будет принадлежать области $|x|+|y|le 3$.
-3 0 2
-1 0 0,1 0,15
1 0,05 0,3 0,05
2 0,15 0,05 0,15

Видео:2.8. Совместное распределение двух случайных величин.Скачать

2.8. Совместное распределение двух случайных величин.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределения

Системы случайных величин — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Системы случайных величин или случайные векторы:

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать два, три и большее число случайных величин.

Например, 1) попадание снаряда в цель определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки попадания, 2) случайное отклонение точки разрыва снаряда при дистанционной стрельбе определяется комплексом трех случайных величин: тремя координатами этой точки.

Определение 57. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин или к случайному вектору.

(X, Y) — двумерный случайный вектор или система двух СВ.

Изучать систему — значит изучать сами случайные величины, ее составляющие; связи и зависимости между ними.

Геометрическая интерпретация системы: 1) систему двух случайных величин (X, У) рассматривают как случайную точку на плоскости (Охх) или как случайный вектор с составляющими X, У; 2) систему трех случайных величин (X, У, Z) рассматривают как случайную точку на плоскости (Оxyz) или как случайный вектор с составляющими X, У; Z и т.д.

В зависимости от типа случайных величин, образующих систему, могут быть дискретные, непрерывные и смешанные системы.

Определение 58. Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений не более, чем счетно.

Определение 59. (первое определение) Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором непрерывного типа (СВНТ), если множество его возможных значений непрерывно заполняет некоторую область плоскости (Оху)-

Определение 60. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Видео:Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Законы распределения СВДТ и СВНТ

Таблица распределения — закон распределения СВДТ:

Рассмотрим двумерный случайный вектор (X, У), где X и У — дискретные случайные величины с возможными значениями Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Пример:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 наудачу отбирают две цифры. Х — число четных цифр в выборке, Y — число нечетных. Описать закон распределения.

Решение.

X (четные) — 2, 4, 6, 8; Y ( нечетные) — 1, 3, 9. Следовательно, возможные значения X Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы: Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(нет четных цифр), Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(одна цифра четная), Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(обе цифры четные); возможные значения Y Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы: Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(нет нечетных цифр), Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(одна цифра нечетная), Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(обе цифры нечетные). Найдем вероятности.

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(0 четных, 0 нечетных) = 0, не выбираем ни одной цифры, а по условию выбираем две цифры. Аналогично, Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(выбираем всего одну цифру либо нечетную, либо четную), Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицыДвумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(выбираем три цифры вместо двух по условию), Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы(выбираем четыре цифры вместо двух по условию).

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы— (обе цифры нечетные),

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы— (одна четная, одна нечетная),

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы— (обе цифры четные).

Таблица распределения имеет вид:

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Проверка: Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Пример:

Дана таблица распределения случайного вектора (X, Y). Получить ряды распределения для Х и Y отдельно.

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Решение.

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы, (складываем по строкам), следовательно,

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Проверка: Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы, (складываем по столбцам), следовательно,

Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Проверка: Двумерный случайный вектор задач с помощью таблицы

Функция распределения — закон распределения СВДТ и СВНТ

Функция распределения — универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 61. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

Корреляция и ковариация двумерной случайной величиныСкачать

Корреляция и ковариация двумерной случайной величины

Программирование на С++. Урок 71. Пример работы с вектором. Двумерный вектор.Скачать

Программирование на С++. Урок 71. Пример работы с вектором. Двумерный вектор.

Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Нормальное Распределение за 6 Минут

Как решать задачи по программированию. Пример: задача "Спираль"Скачать

Как решать задачи по программированию. Пример: задача "Спираль"

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величин

02-05 Многомерное нормальное распределениеСкачать

02-05 Многомерное нормальное распределение

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Функция распределения дискретной случайной величины

Зависимость компонент двумерного распределенияСкачать

Зависимость компонент двумерного распределения

Урок 22. Решение задач на относительность движения (двумерный случай)Скачать

Урок 22. Решение задач на относительность движения (двумерный случай)

Двумерные таблицы распределения частот (видео 24) | Статистика и теория вероятностейСкачать

Двумерные таблицы распределения частот (видео 24) | Статистика и теория вероятностей

2.9.Задача на совместное распределение двух дискретных случайных величин.Скачать

2.9.Задача на совместное распределение двух дискретных случайных величин.

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Функция распределения и плотность распределения

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минутСкачать

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минут
Поделиться или сохранить к себе: