Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

2. Рассмотрим Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАВС и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАDС: АС — общая, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 =Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны3 (т.к. по условию АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАВС =Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАВ = DC и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2 = Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны4. Но Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2 и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАВДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равны.

3. Итак, АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС и АВДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равны, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равнычетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

2. Рассмотрим Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАВС и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАВС =Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 = Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2, при этом Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныпо признаку параллельности двух прямых АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

1. Рассмотрим Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАОD и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАОD и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВОС (как вертикальные углы), Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАОD =Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныАD = ВC и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 = Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2.

2. Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 и Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны1 = Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны2, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныпо признаку параллельности двух прямых АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДве стороны четырехугольника параллельны а две другие равныВС, Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равныпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Верно ли, что если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны, то этот четырехугольник — параллелограмм?

Видео:№52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторонаСкачать

№52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона

Ваш ответ

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

решение вопроса

Видео:10 класс, 8 урок, Углы с сонаправленными сторонамиСкачать

10 класс, 8 урок, Углы с сонаправленными сторонами

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,688
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 смСкачать

№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см

Параллелограмм: свойства и признаки

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

О чем эта статья:

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Задание 25 Четырехугольник Описанная окружностьСкачать

Задание 25 Четырехугольник Описанная окружность

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Две стороны четырехугольника параллельны а две другие равны

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

📽️ Видео

Задача про А и ВСкачать

Задача про А и В

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD

Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Почти никто... ➜ Найдите площади треугольников на рисункеСкачать

Почти никто... ➜ Найдите площади треугольников на рисунке

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

В СССР такую задачу решали 2 человека Я и ты, но ты лучшеСкачать

В СССР такую задачу решали 2 человека                       Я и ты, но ты лучше
Поделиться или сохранить к себе: