Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Содержание
  1. Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг
  2. Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг
  3. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  4. Определения параллельных прямых
  5. Признаки параллельности двух прямых
  6. Аксиома параллельных прямых
  7. Обратные теоремы
  8. Пример №1
  9. Параллельность прямых на плоскости
  10. Две прямые, перпендикулярные третьей
  11. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  12. Признаки параллельности прямых
  13. Пример №2
  14. Пример №3
  15. Пример №4
  16. Аксиома параллельных прямых
  17. Пример №5
  18. Пример №6
  19. Свойства параллельных прямых
  20. Пример №7
  21. Пример №8
  22. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  23. Расстояние между параллельными прямыми
  24. Пример №9
  25. Пример №10
  26. Справочный материал по параллельным прямым
  27. Перпендикулярные и параллельные прямые
  28. 🎦 Видео

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Какие из следующих утверждений верны?

1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

2. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.

3. Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны — неверно, они параллельны.

2. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным — верно, в равностороннем треугольнике углы по 60 градусов, следовательно, он остроугольный.

3. Любой квадрат является прямоугольником — верно, т. к. квадрат удовлетворяет всем признакам прямоугольника.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Задание 11. Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Пусть основание DC=1, а основание AB=19. Тогда отрезок MO будет являться средней линией треугольника ADC, а отрезок ON – средней линией треугольника ABC. Известно, что длина средней линии треугольника в 2 раза меньше основания, которому она параллельна. То есть ON=AB:2, а MO=DC:2. Так как AB>DC, то больший отрезок – это ON=19:2=9,5.

Задание 12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Так как размер одной клетки 1×1, то площадь клетки равна Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Следовательно, площадь всей фигуры будет равна числу клеток, которые она занимает, то есть 11 кв. единицам.

Задание 13. Какое из следующих утверждений верно?

1) Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.

2) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то это квадрат.

3) Все углы ромба равны.

1) Верно. Только две параллельные прямые могут быть одновременно перпендикулярны третьей прямой.

2) Не верно. Чтобы такой четырехугольник был квадратом, необходимо еще, чтобы точка пересечения диагоналей делила их пополам.

3) Не верно. У ромба углы могут быть и не равными.

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, но не принадлежит прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Говорят, что прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпересекаются в точке М.
Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Это можно записать так: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— знак принадлежности точки прямой, «Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другперпендикулярны (рис. 12), то пишут Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb.
  2. Если Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 90°, то а Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другАВ и b Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb.
  3. Если Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другОFА = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2). Из равенства этих треугольников следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другЗ = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4 и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг5 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг6.
  6. Так как Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг5 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг6 следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг6 = 90°. Получаем, что а Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другFF1 и b Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другFF1, а аДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг
2) Заметим, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другAOF = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другl + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180° и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180° следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другF и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3. Кроме того, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAF. Действительно, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4 и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другFAC равны как соответственные углы, a Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другFAC = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180° (рис. 97, а).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3= 180°.

4) Из равенств Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг= Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 = 180° следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAF + Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друга (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Так как Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = 90°, то и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = 90°, а, значит, сДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпараллельны, то есть Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, лучи АВ и КМ.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(рис. 161).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, перпендикулярную прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други строят другую перпендикулярную прямую Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, затем — третью прямую Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други т. д. Поскольку прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другперпендикулярны одной прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, то из указанной теоремы следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, параллельной прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другтретьей прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг5,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг8,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг6,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг7,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг5,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг8 — соответственные углы;
  • Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг6,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг5 — внутренние односторонние углы;
  • Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг7,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— данные прямые, АВ — секущая, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 (рис. 166).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други продлим его до пересечения с прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 по условию, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBMK =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другANM =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBKM = 90°. Тогда прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 (рис. 167).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други секущей Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другl +Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180° (рис. 168).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други секущей Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другAOB = Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAO=Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAK = 26°, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAC = 2 •Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другADK +Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1=Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2. Так как Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг||Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Реальная геометрия

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпроходит через точку М и параллельна прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг||Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(рис. 187).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг||Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Доказательство:

Предположим, что прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, параллельные третьей прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг||Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг4. Доказать, что Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Так как Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, которая параллельна прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, которые параллельны прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, АВ — секущая,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2.

Доказательство:

Предположим, чтоДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, параллельные прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— секущая,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 — соответственные (рис. 196).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать:Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— секущая,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 иДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказать:Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другl +Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 +Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другl =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3 как накрест лежащие. Следовательно,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другl +Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, т. е.Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 = 90°. Согласно следствию Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, т. е.Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 = 90°.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другАОВ =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другABD =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другADB =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другпараллельны, то пишут: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(рис. 211).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг3. Значит,Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг1 =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг2.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други АВДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, то расстояние между прямыми Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, А Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, С Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, АВДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, CDДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другCAD =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другравны (см. рис. 285). Прямая Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, проходящая через точку А параллельно прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, которая параллельна прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другбудет перпендикуляром и к прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAD +Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, параллельную прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Тогда Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг|| Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другравноудалены от прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другна расстояние Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, то есть расстояние от точки М до прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другравно Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Но через точку К проходит единственная прямая Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, параллельная Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Значит, точка М принадлежит прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг.

Таким образом, все точки прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другравноудалены от прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг. Прямая Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другДве прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг— параллельны.

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны други Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны другесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Две прямые на плоскости перпендикулярные третьей прямой параллельны друг

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Две прямые, параллельные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, параллельные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Плоскость. Пересекающиеся прямые. 6 класс.Скачать

Плоскость. Пересекающиеся прямые. 6 класс.

две прямые перпендикулярные третьей неСкачать

две прямые перпендикулярные третьей не
Поделиться или сохранить к себе: