Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Содержание
  1. Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причем точки A и C лежат на прямо a, а точки B и D — на прямо b?
  2. Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причём точки B и D на прямой b?
  3. Сколько углов, меньших 180°, образуется, если две параллельные прямые пересечь двумя секущими?
  4. Это опять я?
  5. Прямая AB и CD пересечены третьей прямой MN в точках K и Z так что точки A и C находятся в одной полуплоскости а B и D в другой относительно прямой MN?
  6. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА?
  7. AB и CD — перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD, Доказать что BD параллельно AD, если AB = CDС фото пожалуйста?
  8. Докажите , что две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, быстрей пожалуйста?
  9. На рисунке 3 AB и CD пересекаются в их общей середине M?
  10. Cколько углов , меньших 180°, образуется, если две параллельные прямые пересечь двумя секущими?
  11. Верным является высказывание под буквой :А) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны?
  12. Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd
  13. Итоговая контрольная работа по геометрии Уровень 2 (средний). Геометрия 7 класс
  14. Решения и ответы на контрольную работу:
  15. ОТВЕТЫ на Вариант 3
  16. ОТВЕТЫ на Вариант 4
  17. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  18. Определения параллельных прямых
  19. Признаки параллельности двух прямых
  20. Аксиома параллельных прямых
  21. Обратные теоремы
  22. Пример №1
  23. Параллельность прямых на плоскости
  24. Две прямые, перпендикулярные третьей
  25. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  26. Признаки параллельности прямых
  27. Пример №2
  28. Пример №3
  29. Пример №4
  30. Аксиома параллельных прямых
  31. Пример №5
  32. Пример №6
  33. Свойства параллельных прямых
  34. Пример №7
  35. Пример №8
  36. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  37. Расстояние между параллельными прямыми
  38. Пример №9
  39. Пример №10
  40. Справочный материал по параллельным прямым
  41. Перпендикулярные и параллельные прямые
  42. 🎬 Видео

Видео:29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причем точки A и C лежат на прямо a, а точки B и D — на прямо b?

Геометрия | 5 — 9 классы

Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причем точки A и C лежат на прямо a, а точки B и D — на прямо b.

Докажите, что AC = BD.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Четырехугольник ВАСД параллелограмм по признаку пар — ма АВ параллельна СД по условию и а параллельно б по условию.

Сл — но длина АС = СД.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причём точки B и D на прямой b?

Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причём точки B и D на прямой b.

Докажите AC = BD.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Сколько углов, меньших 180°, образуется, если две параллельные прямые пересечь двумя секущими?

Сколько углов, меньших 180°, образуется, если две параллельные прямые пересечь двумя секущими?

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Это опять я?

Не ту задачу написала.

Прошу прощения, вот она :

Прямые AB и CD пересечены секущей MN в точках K и P соответственно.

Являются ли прямые AB и CD параллельными, если угол BKP = 112° и угол KPD = 58°?

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

Прямая AB и CD пересечены третьей прямой MN в точках K и Z так что точки A и C находятся в одной полуплоскости а B и D в другой относительно прямой MN?

Прямая AB и CD пересечены третьей прямой MN в точках K и Z так что точки A и C находятся в одной полуплоскости а B и D в другой относительно прямой MN.

Угол MKD = MLB углу, Докажите что прямые AB и CD параллельны.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА?

Укажите номера верных утверждений

1) если прямая a параллельна прямой с, а прямая с параллельна прямой b, то прямые а и b пересекаются

2) если при пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы равны, то прямые параллельны

3) через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и притом только одну

4) если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны по 60 градусов, то прямые параллельны.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност

AB и CD — перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD, Доказать что BD параллельно AD, если AB = CDС фото пожалуйста?

AB и CD — перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD, Доказать что BD параллельно AD, если AB = CD

С фото пожалуйста.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Докажите , что две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, быстрей пожалуйста?

Докажите , что две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, быстрей пожалуйста.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

На рисунке 3 AB и CD пересекаются в их общей середине M?

На рисунке 3 AB и CD пересекаются в их общей середине M.

Через точку В проведена прямая а, параллельная прямой АD.

Докажите , что прямая а проходит через точку С.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Cколько углов , меньших 180°, образуется, если две параллельные прямые пересечь двумя секущими?

Cколько углов , меньших 180°, образуется, если две параллельные прямые пересечь двумя секущими?

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Верным является высказывание под буквой :А) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны?

Верным является высказывание под буквой :

А) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Б)Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она перпендикулярна другой.

В) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то односторонние углы равны.

На этой странице находится вопрос Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причем точки A и C лежат на прямо a, а точки B и D — на прямо b?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Оби элементарные 1. По т. Пифагора x ^ 2 = 225 — 81 x = 12 Ответ : 12 ; 2. S = (BC + AD) / 2 * BH.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Ответ : 11 см, 11 см, 17 см, 17 см. Объяснение : противоположные стороны параллелограмма равны. Полупериметр параллелограмма (сумма двух смежных сторон) а + в = р = 56 : 2 = 28 см. А = в + 6Составим уравнение : в + в + 6 = 282в = 22в = 11 см, тогд..

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

∠XOZ = ∠ZOV + ∠VOY + ∠YOU + ∠UOX По условию задачи ∠ ZOV = ∠VOY, ∠YOU = ∠UOX, поэтому ∠XOZ = 2∠VOY + 2∠YOU = 2 * ∠UOV = 2 * 80 = 160°Ответ : ∠XOZ = 160°.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Во втором не знаю как доказать, извиняюсь.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Рассмотрим треугольник АDB и треугольник ACB : угол CA = углу ABD , угол АBD = углу DBA Сторона AB — общая . Значит треугольник ACB = треугольнику BDA по второму признаку равенства треугольников . Тогда AC = BD = 13см.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Так как∆АВС и∆АДС равнобедренные, то АД = ДС АВ = ВС Что бы получить АБД и СВД нужно провести от точки Д до точки Б прямую, она же будет общей стороной. Значит по третьему признаку равенства треугольников∆АВД = ∆СВД.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Дано : ΔCBDостроугольный и равнобедренный ; СB = CD ; BB₁┴CD ; DD₁┴CB ; ∠BPD = 126°( P — точка пересечения высотBB₁ иDD₁). — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ∠С — ? , ∠B = ∠D — ? * * * иначе ∠СBD = ∠СDB — ? * * * ∠С + ∠B + ∠D = 180 ; ΔCBDравно..

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

23 вроде. Ээээээээээээээээээээээээээээххххххххххххххххххххххххэхххээхэхэхэхэ.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Нужен циркуль и линейка 1. Чертим луч ОО1. 2. Строим перпендикуляр к лучу ОО1. 3. Точка пересечения лучей будет точка А. 4. Отложим от точки А влево катет равный b, и место пересечения будет точка С 5. Отложим от точки А катет равный a вверх, по..

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке М, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку ..

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Итоговая контрольная работа по геометрии в 7 классе с ответами УМК Атанасян Просвещение (средний уровень). Урок 68 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 7 Атанасян К-6 Уровень 2 (варианты 3, 4). Цитаты использованы в учебных целях.

Другие варианты итоговой контрольной работы в 7 классе:

Итоговая контрольная работа по геометрии
Уровень 2 (средний). Геометрия 7 класс

Вариант 3

  1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: ΔABD = ΔDCA.
  2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника.
  3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D — на прямой b. Доказать: АС = BD.
  4. * Дано: АВ = ВС, ВТ = 4 см (рис. 5.94).
    а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС?
    б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС. Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Вариант 4

  1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10° (рис. 5.95). Доказать: ΔABD = ΔDCA.
  2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника.
  3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а точки В и D — прямой b. Доказать: АВ = CD.
  4. * Дано: АВ = ВС, АС = 10 см (рис. 5.96).
    а) Между какими целыми числами заключена длина высоты AВС?
    б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС. Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Решения и ответы на контрольную работу:

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
ΔADC: ∠ACD = 90°, ∠ADC = 50°, ⇒ ∠ ACD = 90° — 50° = 40°
В прямоугольных треугольниках ABD и DCA общая гипотенуза AD и одинаковые острые углы (∠ACD = ∠ADB = 40°), ⇒ ΔABD = ΔDCA по гипотенузе и острому углу.

№ 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. А сумма углов треугольника равна 180°. Будем решать алгебраическим способом. Для удобства, назовем треугольник ABC, а бОльшим будем угол A.
Пусть угол В = х. Тогда угол С= х, а угол А равен 3х (в три раза больше). Их сумма равна х+х+3х. А по теореме суммы углов треугольника 180°. Составим уравнение: х + х + 3х = 180. Решив уравнение получим: х = 36.
Значит, угол В (при основании) равен 36°, угол С (тоже при основании) равен 36°, а угол А = 36 • 3 = 108°
Ответ: углы треугольника равны 36°, 36° и 108°.

№ 3. По условию параллельные прямые а и b пересекаются двумя параллельными секущими АВ и СD, в результате этого получается четырехугольник АВСD, в котором пары противолежащих сторон АВ и СD, АС и ВD (принадлежащие прямым а и b) параллельны, значит полученный четырехугольник АВСD является параллелограммом. Противолежащие стороны параллелограмма равны, значит АС = BD, что и требовалось доказать.

№ 4. а) между числами 13 и 14.

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. а) ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 40° + 10 °= 50°. б) ∠BAD = 180 — ∠ABD — ∠ADB = 180° — 90° — 40° = 50°. в) ∠BAD = ∠ADC = 50°; ∠ABD = ∠ACD = 90°; гипотенуза AD общая. Отсюда следует, что треугольники равны (если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны).

№ 2. Пусть ∠A и ∠С – углы при основании, а ∠В – угол между боковыми сторонами. Так как треугольник равнобедренный, то ∠A = ∠C. Угол В обозначим х, тогда ∠A = ∠C = 4х. Составим уравнение: x + 4x + 4x = 180°. Отсюда следует, что x = 20° = ∠B. Тогда ∠A = 4 • 20 = 80° = ∠C. Ответ: углы треугольника равны 80°, 80° и 20°.

№ 3. Проведем диагональ AD и докажем, что △ABD = △ACD. Так как a параллельно b, значит накрест лежащие углы равны: ∠BAD = ∠ADC и ∠BDA = ∠CAD. AD — общая, значит △ABD = △ACD по стороне и прилежащим углам. Следовательно, AB = CD

№ 4. a) Между числами 8 и 9.

Информация для учителя:

По прохождении каждой темы предусмотрена контрольная работа, состоящая из заданий трех уровней сложности, которые определяются или учителем, или самим учащимся (при этом число экземпляров вариантов должно быть достаточным). Разумеется, учащиеся должны знать о различной сложности вариантов и критериях оценки контрольной работы.
Контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1, 2 самые простые, варианты 3, 4 сложнее и варианты 5, 6 самые сложные). При этом сложность вариантов нарастает не очень резко. Каждый вариант содержит 6 задач примерно одинаковой сложности (может быть, несколько сложнее две последние задачи).

Другие варианты итоговой контрольной работы в 7 классе:

Вы смотрели: Итоговая контрольная работа по геометрии в 7 классе с ответами УМК Атанасян Просвещение (средний уровень). Урок 68 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 7 Атанасян К-6 Уровень 2 (варианты 3, 4).

В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Видео:Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, но не принадлежит прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Говорят, что прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпересекаются в точке М.
Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Это можно записать так: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— знак принадлежности точки прямой, «Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdперпендикулярны (рис. 12), то пишут Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb.
  2. Если Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 90°, то а Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdАВ и b Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb.
  3. Если Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cda.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdОFА = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2). Из равенства этих треугольников следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdЗ = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4 и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd5 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd6.
  6. Так как Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd5 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd6 следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd6 = 90°. Получаем, что а Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdFF1 и b Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdFF1, а аДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd
2) Заметим, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdAOF = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdl + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180° и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180° следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cda проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdF и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3. Кроме того, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAF. Действительно, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4 и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdFAC равны как соответственные углы, a Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdFAC = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180° (рис. 97, а).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3= 180°.

4) Из равенств Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd= Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 = 180° следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAF + Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Так как Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = 90°, то и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = 90°, а, значит, сДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdb.

Что и требовалось доказать.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпараллельны, то есть Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, лучи АВ и КМ.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(рис. 161).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, перпендикулярную прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи строят другую перпендикулярную прямую Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, затем — третью прямую Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи т. д. Поскольку прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdперпендикулярны одной прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, то из указанной теоремы следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, параллельной прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdтретьей прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd5,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd8,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd6,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd7,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd5,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd8 — соответственные углы;
  • Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd6,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd5 — внутренние односторонние углы;
  • Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd7,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— данные прямые, АВ — секущая, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 (рис. 166).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи продлим его до пересечения с прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 по условию, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBMK =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdANM =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBKM = 90°. Тогда прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 (рис. 167).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи секущей Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdl +Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180° (рис. 168).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи секущей Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdAOB = Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAO=Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAK = 26°, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAC = 2 •Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdADK +Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1=Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2. Так как Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd||Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Реальная геометрия

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпроходит через точку М и параллельна прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd||Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(рис. 187).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd||Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Доказательство:

Предположим, что прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, параллельные третьей прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd||Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd4. Доказать, что Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Так как Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, которая параллельна прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, которые параллельны прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, АВ — секущая,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2.

Доказательство:

Предположим, чтоДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, параллельные прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— секущая,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 — соответственные (рис. 196).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать:Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— секущая,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 иДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказать:Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdl +Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 +Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdl =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3 как накрест лежащие. Следовательно,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdl +Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, т. е.Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 = 90°. Согласно следствию Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, т. е.Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 = 90°.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdАОВ =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdABD =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdADB =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdпараллельны, то пишут: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(рис. 211).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd3. Значит,Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd1 =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd2.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи АВДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, то расстояние между прямыми Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, А Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, С Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, АВДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, CDДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdCAD =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdравны (см. рис. 285). Прямая Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, проходящая через точку А параллельно прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, которая параллельна прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdбудет перпендикуляром и к прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAD +Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, параллельную прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Тогда Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd|| Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdравноудалены от прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdна расстояние Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, то есть расстояние от точки М до прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdравно Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Но через точку К проходит единственная прямая Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, параллельная Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Значит, точка М принадлежит прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd.

Таким образом, все точки прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdравноудалены от прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd. Прямая Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdДве параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd— параллельны.

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdи Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cdесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими ab и cd

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Контрольная работа 3 | Вариант 1 | Геометрия | 7 класс | Параллельность прямых | Подробный разборСкачать

Контрольная работа 3 | Вариант 1 | Геометрия | 7 класс | Параллельность прямых | Подробный разбор

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами
Поделиться или сохранить к себе: