Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Действительно, углы Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникапараллелограмма Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи секущей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаПоэтому Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаАналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Так как Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникато Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаАналогично Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаПоэтому параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Доказательство:

Диагональ Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаразбивает параллелограмм Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникана два треугольника Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 17). Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника-их общая сторона, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи секущей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаТогда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как соответственные элементы равных треугольников). Так как Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникато Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

4. Периметр параллелограмма Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— точка пересечения диагоналей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникапараллелограмма Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 18). Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как противолежащие стороны параллелограмма), Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи секущих Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникасоответственно). Следовательно, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как соответственные стороны равных треугольников).

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Пример:

Дано: Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникапараллелограмм, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— биссектриса угла Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 19). Найдите: Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Решение:

1) Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

2) Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи секущей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

3) Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по условию), тогда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаТогда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

4) Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— высота параллелограмма, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаДве любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 22). Проведем диагональ Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаРассмотрим Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи секущей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— общая сторона, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по условию). Следовательно, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по двум сторонам и углу между ними). Тогда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникасекущей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаПоэтому Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникапротиволежащие стороны попарно параллельны. Поэтому Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника-параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 22). Проведем диагональ Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаТогда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по трем сторонам). Поэтому Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи следовательно, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаСледовательно, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— параллелограмм.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

3) Пусть в четырехугольнике Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникадиагонали Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникапересекаются в точке Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 23). Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(как вертикальные). Поэтому Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаАналогично доказываем, что Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаПринимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(рис. 16). Так как Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникато Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникат. е. Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаоткуда Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаНо Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— внутренние накрест лежащие углы для прямых Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи секущей Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаПоэтому Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаСледовательно, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаДве любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаДокажите, что Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— параллелограмм.

Доказательство:

Пусть Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаи Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника— их общая сторона, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по условию). Тогда, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникаНо тогда в четырехугольнике Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольникапротиволежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» — греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» — «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов.

Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. AB ∥ CD, BC ∥ AD.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведенный из любой точки одной стороны на противолежащую сторону (расстояние между противолежащими сторонами).

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Свойства параллелограмма:
1. Противолежащие стороны равны.
2. Противолежащие стороны параллельны.
3. Противолежащие углы равны.
4. Сумма соседних углов равна 180.
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
6. Диагональ делит пaрaллелограмм на два равных треугольника.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его четырех сторон.
8. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Признаки параллелограмма:
— две противолежащие стороны равны и параллельны,
— противолежащие стороны попарно равны,
— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
— каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Это конспект по геометрии в 8 классе «Свойства и признаки параллелограмма». Выберите дальнейшее действие:

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Параллелограмм: свойства и признаки

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

О чем эта статья:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Четырехугольники. Геометрия 8 класс.Скачать

Четырехугольники.  Геометрия 8 класс.

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Две любые стороны параллелограмма параллельны диагонали четырехугольника

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

📺 Видео

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.Скачать

В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1Скачать

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1

Геометрия Стороны параллелограмма равны 2√2 см и 5 см а один из его углов равен 45 Найдите диагоналиСкачать

Геометрия Стороны параллелограмма равны 2√2 см и 5 см а один из его углов равен 45 Найдите диагонали

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Геометрия Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см а одна из сторон на 2 см больше другойСкачать

Геометрия Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см а одна из сторон на 2 см больше другой

Второй признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Второй признак параллелограмма (доказательство).

Геометрия Стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см а его диагонали относятся как 2:3 НайдитеСкачать

Геометрия Стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см а его диагонали относятся как 2:3 Найдите

Геометрия Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см а одна из диагоналей 12 см Найдите вторуюСкачать

Геометрия Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см а одна из диагоналей 12 см Найдите вторую

Сумма квадратов диагоналей параллелограммаСкачать

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
Поделиться или сохранить к себе: