Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Диаметры АС и АД окружности пересекаются под углом 60 градусов. Длина дуги, соответствующая данному углу равна 4пи см.
- В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?
- В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?
- Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?
- Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?
- Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?
- Помогите?
- Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?
- Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?
- Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?
- О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?
- 💡 Видео
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:№589. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметромСкачать Диаметры АС и АД окружности пересекаются под углом 60 градусов. Длина дуги, соответствующая данному углу равна 4пи см.Найти длины хорд АД и ДС, Найти радиус окружности. Помогите пожалуйста. это не школьники такие, а учителя, которые составляют задачи . если дуга окружности в секторе 60град равна 4п, то длина всей окружности (360град) S = 4п х 360/60 = 4п х 6 = 24п см длина окружности (формулу надо запомнить один раз на всю жизнь) S = 2пR (читается двапиэр) , стало быть, радиус R = S / 2п В условиях явно какая-то фигня. Наверно, девушка радиус с диаметром спутала. Короче, длина хорды в секторе 60 градусов будет равна радиусу — т. е. 12 см. Видео:Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?Геометрия | 10 — 11 классы В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов. Найдите сторону cd четырёхугольника abcd, если радиус окружности 6см. Пусть ас и bd пересекаются в k, тогда угол dkc = 60 градусам ; мы знаем что диаметр равен двум радиусам, поэтому dk = kc = 6, отсюда следует что треугольник dkc – равнобедренный, тогда углы kdc и kcd — равны (180 — 60) : 2 = 60 градусов, значит треугольник dkc –равносторонний, тогда dc = 6. Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о. В ромб вписана окружность, касающаяся стороны AD в точке Е. Найти отношение диаметра окружности к стороне ромба, если кут OAE = 75 градусов. Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности. Сторона AB = 3 см, чему равна противолежащая ей сторона? Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD. Известно , что точки касания являются серединами сторон четырёхугольника. Вычислите периметр четырёхугольника ABCD. Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Помогите?В четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 19 и CD = 28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60° Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:В окружности проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.Скачать Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB = 60. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD. Найти углы трапеции, если ее диагонали пересекаются под углом 40 градусов. Видео:Окружность. 7 класс.Скачать О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда. Диаметр пересекается с хордой под углом 90 градусов в точке E. Радиус окружности равен 6 см, угол = 60 градусов. Найдите ED ; OCD, угол OCD(желательно с чертежом). Видео:ОГЭ 2021 задание №17 окружностьСкачать Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол C меньше угла A на 140 градусов и в 3 раза меньше угла B. Найдите углы четырёхугольника. Вы зашли на страницу вопроса В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке. Общая вершина , общая сторона, в сумме образовывали развернутый угол. Сумма двух смежный углов должна быть 180º градусов. 1) (ВС — менша основа, AD — більша) Нехай ВС = х, тоді AD = (6 + х). Площа трапеції = (ab / 2) * h. Складаємо рівняння : (х + (6 + х) / 2) * 22 = 594 ((2х + 6) / 2) * 22 = 594 (х + 3) * 22 = 594 22х + 66 = 594 22х = 528 х = 24 ВС = 24см, AD = 24 + .. P = AC + CB + AB AB = CB * 2 по теореме о катете, лежащем против угла в 30 градусов P = 8 + 12 + 6 = 26. Решение смотри на фото. 1) tg B = 2) Сторона = 8, значит диагональ = 8 * = 8 * 2 = 16 И значит радиус = 16 / 2 = 8 3) S = a * h (S — площади ромба, а — сторона, h — высота) Значит S = 10 * (3 + 3) = 60. Решение Ваших задач дано в приложении. (х + (х + 7)) * 2 = 662х + 7 = 332х = 26х = 13(AB)13 + 7 = 20(BC)AB = 13 BC = 20. Фигура, площадь которой находим, закрашена синим. Она ограничена всеми четырьмя графиками. За границы интеграла х = — 1 и х = 1. 💡 ВидеоДлина окружности. Математика 6 класс.Скачать ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать №147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВССкачать Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать |