- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Диаметры АС и АД окружности пересекаются под углом 60 градусов. Длина дуги, соответствующая данному углу равна 4пи см.
- В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?
- В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?
- Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?
- Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?
- Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?
- Помогите?
- Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?
- Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?
- Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?
- О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?
- 💡 Видео
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.
Фигура | Рисунок | Теорема |
Вписанный угол | ||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.
Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
Вписанный угол |
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:№589. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметромСкачать Диаметры АС и АД окружности пересекаются под углом 60 градусов. Длина дуги, соответствующая данному углу равна 4пи см.Найти длины хорд АД и ДС, Найти радиус окружности. Помогите пожалуйста. это не школьники такие, а учителя, которые составляют задачи . если дуга окружности в секторе 60град равна 4п, то длина всей окружности (360град) S = 4п х 360/60 = 4п х 6 = 24п см длина окружности (формулу надо запомнить один раз на всю жизнь) S = 2пR (читается двапиэр) , стало быть, радиус R = S / 2п В условиях явно какая-то фигня. Наверно, девушка радиус с диаметром спутала. Короче, длина хорды в секторе 60 градусов будет равна радиусу — т. е. 12 см. Видео:Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?Геометрия | 10 — 11 классы В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов. Найдите сторону cd четырёхугольника abcd, если радиус окружности 6см. Пусть ас и bd пересекаются в k, тогда угол dkc = 60 градусам ; мы знаем что диаметр равен двум радиусам, поэтому dk = kc = 6, отсюда следует что треугольник dkc – равнобедренный, тогда углы kdc и kcd — равны (180 — 60) : 2 = 60 градусов, значит треугольник dkc –равносторонний, тогда dc = 6. Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о. В ромб вписана окружность, касающаяся стороны AD в точке Е. Найти отношение диаметра окружности к стороне ромба, если кут OAE = 75 градусов. Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности. Сторона AB = 3 см, чему равна противолежащая ей сторона? Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD. Известно , что точки касания являются серединами сторон четырёхугольника. Вычислите периметр четырёхугольника ABCD. Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Помогите?В четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 19 и CD = 28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60° Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:В окружности проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.Скачать Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB = 60. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Видео:Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD. Найти углы трапеции, если ее диагонали пересекаются под углом 40 градусов. Видео:Окружность. 7 класс.Скачать О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда. Диаметр пересекается с хордой под углом 90 градусов в точке E. Радиус окружности равен 6 см, угол = 60 градусов. Найдите ED ; OCD, угол OCD(желательно с чертежом). Видео:ОГЭ 2021 задание №17 окружностьСкачать Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол C меньше угла A на 140 градусов и в 3 раза меньше угла B. Найдите углы четырёхугольника. Вы зашли на страницу вопроса В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке. Общая вершина , общая сторона, в сумме образовывали развернутый угол. Сумма двух смежный углов должна быть 180º градусов. 1) (ВС — менша основа, AD — більша) Нехай ВС = х, тоді AD = (6 + х). Площа трапеції = (ab / 2) * h. Складаємо рівняння : (х + (6 + х) / 2) * 22 = 594 ((2х + 6) / 2) * 22 = 594 (х + 3) * 22 = 594 22х + 66 = 594 22х = 528 х = 24 ВС = 24см, AD = 24 + .. P = AC + CB + AB AB = CB * 2 по теореме о катете, лежащем против угла в 30 градусов P = 8 + 12 + 6 = 26. Решение смотри на фото. 1) tg B = 2) Сторона = 8, значит диагональ = 8 * = 8 * 2 = 16 И значит радиус = 16 / 2 = 8 3) S = a * h (S — площади ромба, а — сторона, h — высота) Значит S = 10 * (3 + 3) = 60. Решение Ваших задач дано в приложении. (х + (х + 7)) * 2 = 662х + 7 = 332х = 26х = 13(AB)13 + 7 = 20(BC)AB = 13 BC = 20. Фигура, площадь которой находим, закрашена синим. Она ограничена всеми четырьмя графиками. За границы интеграла х = — 1 и х = 1. 💡 ВидеоДлина окружности. Математика 6 класс.Скачать ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать №147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВССкачать Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать |