С помощью линейки с делениями, циркуля, угольника, транспортира, лекал (рис. 313) вам не раз приходилось проводить различные геометрические построения.
А можно ли обходиться меньшим количеством чертёжных инструментов? Оказывается, что во многих случаях достаточно использовать только циркуль и линейку без делений . Например, чтобы провести биссектрису угла, совсем не обязательно иметь транспортир, а разделить отрезок пополам можно и тогда, когда на линейку не нанесена шкала.
А стоит ли в наше время, когда созданы точнейшие приборы и совершенные компьютерные программы, позволяющие выполнять сложнейшие измерения и построения, обходиться такими скудными средствами, как циркуль и линейка? На практике конечно нет. Поэтому, например, конструкторы, строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают себя в выборе инструментов.
Однако при построении фигур в геометрии принимают такие правила:
1) все построения выполняются только с помощью циркуля и ли нейки без делений ;
2) с помощью линейки можно через заданную точку провести произвольную прямую, а также через заданные две точки A и B провести прямую AB ;
3) с помощью циркуля можно построить окружность с данным центром и радиусом, равным заданному отрезку .
Итак, договоримся, что если в задаче требуется построить какую-то фигуру, то построение выполняется по описанным выше правилам.
Решить задачу на построение — это значит составить план ( алгоритм ) построения фигуры; реализовать план, выполнив построение; доказать, что полученная фигура является искомой.
Рассмотрим основные задачи на построение.
Задача 1. Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.
Решение. На рисунке 314 изображены угол A и луч OK . Надо построить угол, равный углу A , одной из сторон которого является луч OK .
Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке A . Точки пересечения этой окружности со сторонами угла A обозначим B и С (рис. 315). Тогда AB = AC = r .
Проведём окружность радиуса r с центром в точке O . Она пересекает луч OK в точке M (рис. 316, a ). Затем проведём окружность с центром в точке M и радиусом BC . Пусть E и F — точки пересечения окружностей с центрами O и M (рис. 316, б ). Проведём лучи ОЕ и OF (рис. 316, в ).
Покажем, что каждый из углов EOM и FOM — искомый. Докажем, например, что ∠ EOM = ∠ BAC .
Рассмотрим треугольники ABC (рис. 315) и OEM (рис. 316, в ). Имеем: AB = OE = r = AC = OM . Кроме того, по построению EM = BC . Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ EOM = ∠ BAC . Аналогично можно показать, что ∠ BAC = ∠ FOM . 
Замечание. Мы построили два угла ЕОМ и FOM , удовлетворяющие условию задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на построение имеет одно решение.
Задача 2. Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.
Решение. Пусть AB — данный отрезок (рис. 317, а ). Проведём две окружности с центрами A и B и радиусом AB . Точки пересечения этих окружностей обозначим M и N (рис. 317, б ). Проведём прямую MN (рис. 317, в ).
Из построения следует, что MA = MB = AB и NA = NB = AB (рис. 317, г ). Следовательно, точки M и N принадлежат серединному перпендикуляру отрезка AB . Прямая MN и является серединным перпендикуляром отрезка AB . 
Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать
Как построить высоту треугольника — основные способы
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
С применением циркуля
Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.
Способ начертить искомый отрезок:
- На листе бумаги чертят треугольник (можно нарисовать заранее, чтобы сэкономить время).
- Рисунок располагают так, чтобы вершина угла, из которого нужно начертить высоту, находилась сверху, а противоположная ему сторона фигуры была расположена горизонтально (по отношению к ученику).
- Иглу циркуля ставят в вершине любого угла у основания.
- Ножку с грифелем ставят в верхнюю точку треугольника, из которой проводится высота.
- Циркулем рисуют окружность и делают пометку в месте её пересечения с основанием фигуры.
- Аналогичным способом чертят круг из другого угла при основании. При этом важно определить новый радиус, который будет равен длине второй стороны треугольника.
- Делают пометку в месте пересечения начерченных окружностей.
- Ластиком стирают лишние линии, оставляя лишь поставленную точку.
- С помощью карандаша и линейки из неё проводят отрезок к вершине, который и будет высотой треугольника.
- Стирают линии, находящиеся под основанием.
Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
С помощью линейки
Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.
В остроугольном треугольнике
Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.
Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.
Правильная последовательность действий:
- Находят вершину, из которой хотят провести перпендикуляр.
- Совмещают угольник с противоположной стороной фигуры.
- Перемещают чертёжную принадлежность до тех пор, пока её перпендикулярная сторона не пройдёт через вершину.
- Простым карандашом проводят линию, которая и будет искомым отрезком.
В тупоугольной фигуре
Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.
Порядок действий:
- Располагают чертёж так, чтобы тупой угол оказался у основания.
- Угольник прикладывают к наибольшей стороне фигуры.
- Совмещают перпендикулярную сторону линейки с вершиной тупого угла.
- Соединяют 2 точки простым карандашом, получая искомую линию.
В прямоугольном и равнобедренном
В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.
Пошаговая инструкция:
- Прикладывают одну из перпендикулярных сторон угольника к гипотенузе.
- Вторую сторону линейки совмещают с вершиной прямого угла.
- Проводят линию, которая будет высотой.
Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.
Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:
- Линейкой замеряют длину основания.
- Эту величину делят на 2.
- Полученное значение откладывают от вершины одного из углов при основании.
- Отмечают середину стороны и соединяют её с верхней точкой фигуры.
Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.
Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.
Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать
Как построить высоту треугольника
Рассмотрим, как построить высоту треугольника с помощью чертежного угольника.
Чтобы построить высоту остроугольного треугольника, надо приложить угольник так, чтобы одна сторона прямого угла проходила через вершину треугольника, а вторая — через противоположную этой вершине сторону.
AK — высота треугольника ABC, проведённая из вершины A к противолежащей стороне BC.
BF⊥AC.
BF — высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на сторону AC.
CH — высота треугольника ABC, проведённая из вершины C к стороне AB.
Все высоты треугольника пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.
Если требуется построить все высоты треугольника, достаточно построить две, а третью провести из вершины треугольника через точку пересечения двух высот.
В прямоугольном треугольнике две стороны (катеты) являются также его высотами. Остаётся построить третью высоту.
Угольник прикладываем прямым углом так, чтобы одна сторона проходила через гипотенузу, а другая — через прямой угол.
CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.
Точка пересечения высот прямоугольного треугольника — вершина прямого угла.
Высоты AC, BC и CD прямоугольного треугольника ABC пересекаются в точке C, ∠C=90°.
В тупоугольном треугольнике проще всего построить высоту, выходящую из вершины тупого угла.
Прикладываем угольник прямым углом так, чтобы одна его сторона проходила через наибольшую сторону треугольника, а другая — через тупой угол.
AP — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины тупого угла A к стороне BC.
Только высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника. Две другие высоты находятся вне него.
Высоты тупоугольного треугольника, выходящие из вершин острых углов, проведены не к противолежащим сторонам, а к прямым, содержащим эти стороны.
Чтобы построить высоту, продлеваем противолежащую сторону и прикладываем угольник прямым углом таким образом, чтобы одна сторона угольника проходила через построенную прямую, а другая — через вершину острого угла.
BM — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла B к прямой, содержащей противолежащую сторону AC.
CN⊥AB,
CN — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла С к прямой, содержащей противолежащую сторону AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника лежит вне него, за тупым углом, напротив наибольшей стороны.
Чтобы построить точку пересечения высот треугольника ABC, продлим прямые BM, CN и AP до пересечения.
Мы рассмотрели, как строить высоты треугольника с помощью угольника.
Построение высот с помощью циркуля и линейки будем рассматривать в теме «Задачи на построение».
📽️ Видео
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
ПОСТРОЕНИЕ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
Высоты треугольника.Скачать
ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки - 7 класс геометрияСкачать
Построение биссектрисы в треугольникеСкачать
7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать
Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать
№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать
Типичный урок геометрииСкачать
