Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Планиметрия. Страница 4

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Видео:№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+CСкачать

№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+C

1.Параллелограмм

Параллелограмм — это геометрическая фигура, у которой диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам, а противолежащие стороны параллельны.

Теорема: если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся этой точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник называется параллелограммом.

Доказательство. Пусть АВСD данный четырехугольник. Точка О — точка пересечения его диагоналей (рис.1). Тогда треугольники Δ АОD и Δ ВOC равны по двум сторонам и углу между ними. А следовательно, угол ODA равен углу CBO и угол OAD равен углу BCO. Таким образом, эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей AC. А по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны. Аналогично можно доказать, что прямая АВ параллельна ВС. Теорема доказана.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.1 Теорема. Параллелограмм.

Теорема. если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство. Пусть дан параллелограмм АВСD. (Рис. 2)

Тогда его стороны AD и BC равны и лежат на параллельных прямых а и b. Если мы проведем секущие с и d так, чтобы прямая с проходила через точку А и С, а прямая d проходила через точку B и D, то угол ОАD будет равен углу ОСВ, а угол ОDА будет равен углу ОВС, как внутренние накрест лежащие. Следовательно, треугольники АОD и ВОС равны по стороне и прилегающим к ней углам. А отсюда следует и равенство сторон этих треугольников. Т.е. АО = ОС, а ВО = ОD. Сумма этих сторон и есть диагонали параллелограмма.

Пример 1

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что ее отрезок, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (Рис.9)

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм. EF данный отрезок, проходящий через точку О пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольники COF и AOE. Сторона АО треугольника АОЕ равна стороне ОС треугольника COF по свойству параллелограмма. Угол при вершине А треугольника АОЕ равен углу при вершине С треугольника COF, как внутренние накрест лежащие углы. Углы при вершине О у обоих треугольников равны как вертикальные.

Отсюда можно сделать вывод, что треугольники АОЕ и COF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Следовательно, отрезки OF и ОЕ равны.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.9 Задача. Через точку пересечения диагоналей.

Пример 2

Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а его периметр равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма. (Рис.10)

Решение:

Пусть ABCD данный параллелограмм. Обозначим сторону АВ как 3х, а сторону ВС как 4х. Тогда составим следующее соотношение:

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.10 Задача. Две стороны параллелограмма.

Пример 3

В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если периметр параллелограмма равен 4 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м. (Рис.11)

Решение:

Так как перпендикуляр BE, опущенный на сторону AD, делит ее пополам, то треугольники ABE и BED равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АЕ равна стороне ED, сторона BE — общая, а углы при вершине Е равны 90°.Отсюда следует, что диагональ BD равна стороне АВ.

Обозначим сторону АВ как х, а сторону AD — как 2y. Тогда можно составить следующие соотношения:

PABCD = 2*(х + 2y) = 4, PABD = 2x +2y = 3

PABCD = 2х + 4y = 4, а 2х = 4 — 4y.

Тогда подставим 4 — 4y во второе уравнение:

4 — 4y + 2y = 3 и,следовательно, y = 0,5, а х = 1

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.11 Задача. В параллелограмме ABCD перпендикуляр.

Пример 4

В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 8 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.(Рис.12)

Решение:

Пусть АВС данный треугольник. АВ = АС = 8 см. Тогда углы при вершинах В и С равны 45°. А следовательно, углы при вершине Е в треугольниках FEC и BDE также равны 45°. Если обозначить часть катета АF как х, то FC будет равно 8 — х.

Отсюда следует, что FE = AD = 8-х, а BD = х.

Теперь можно составить следующее соотношение:

РADEF = 2*(х + 8 — х) = 16 см.

Периметр прямоугольника ADEF равен 16 см.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.12 Задача. В прямоугольный треугольник.

Пример 5

Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.(Рис.13)

Доказательство:

Пусть АВСD данный параллелограмм. По свойству параллелограмма, у него противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, стороны АВ и CD можно рассматривать как параллельные прямые, а диагональ BD — как секущую. Тогда в треугольниках АВО и DOC углы при вершинах B и D равны как внутренние накрест лежащие. Так же как и углы при вершинах А и С.

Отсюда следует, что эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Сторона АВ = DC и внутренние накрест лежащие углы при них равны. Следовательно, АО = ОС, а ВО = OD.

Теперь рассмотрим треугольники AOD и DOC. Они также равны, но по первому признаку равенства треугольников. Сторона АО = ОС, а сторона OD у них общая. Углы при вершине О равны 90°. Т.е. по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, можно сделать вывод, что сторона AD = DC = AB = BC, т.е. данный параллелограмм является ромбом.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.13 Задача. Докажите, что если у параллелограмма.

Видео:Стрим в защиту темнокожих.Скачать

Стрим в защиту темнокожих.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

Теорема (1-й признак параллелограмма).

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойДано : ABCD — четырехугольник,

AC и BD — диагонали,

Доказать : ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOD и COB.

1) AO=OC (по условию);

2) BO=OD (по условию);

Следовательно, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠ADO=∠CBO.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD, то AD∥BC (по признаку параллельных прямых).

3. Аналогично, ∆ AOB=∆ COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD.

4. Доказали, что AD∥BC и AB∥CD.

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению).

Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Признаки параллелограмма

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 4
Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
2.Свойство диагоналей параллелограмма
Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.2 Теорема. Свойство диагоналей параллелограмма.

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

3.Ромб

Ромб — это геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Теорема. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. Пусть АВСD — ромб.(Рис. 3). Тогда треугольник АВС — равнобедренный. А это значит, что отрезок ВО, который является половиной диагонали, является биссектрисой медианой и высотой. Следовательно диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.3 Теорема. Свойство диагоналей ромба.

Видео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

Задача

В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Необходимо найти отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АD = 14 см (рис.4)

Решение. Так как прямая АЕ биссектриса, то это значит, что треугольники АВЕ и АЕР равны. Так как угол ВАЕ равен углу АЕР, а угол ЕАР равен углу ВЕА как внутренние накрест лежащие. Следовательно АВЕР — ромб, так как угол ВАЕ равен углу ЕАР ( по условию). Отсюда следует, что АВ = ВЕ = 9 см, а ЕС = 5 см.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

4.Теорема Фалеса

Теорема: параллельные прямые, пересекающие стороны угла и отсекающие на одной его стороне равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые (рис.5). Точки А 1 А 2 А 3 А 4 и В 1 В 2 В 3 В 4 — точки пересечения. Проведем прямую ОЕ. Тогда А 1 ЕОА 3 — параллелограмм. И ОЕ = А 1 А 3 Треугольники В 1 В 2 Е и ОВ 2 В 3 равны по стороне (ОВ 2 = ЕВ 2 ) и прилегающим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.5 Теорема Фалеса.

Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равнаСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равна

5.Средняя линия треугольника

Теорема. средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей его стороне и равна ее половине.

Доказательство. Пусть АВС — треугольник. Отрезок ЕР соединяет середины сторон АВ и ВС (Рис. 5). Тогда по теореме Фалеса отрезок ЕР параллелен основанию АС, так как он делит стороны АВ и ВС на равные части.
Если на стороне АС отметить точку К, которая делит ее пополам и провести отрезок РК, то он будет параллелен стороне АВ. А геометрическая фигура АЕРК будет являться параллелограммом. Отсюда следует, что средняя линия ЕР равна половине основания.
Таким образом, утверждение, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине, верно.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.5 Теорема. Средняя линия треугольника.

Видео:Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.

6.Трапеция

Трапеция — это геометрическая фигура, у которой только две противолежащие стороны параллельны.

Теорема. средняя линия трапеции параллельна двум своим основаниям и равна их полусумме.

Доказательство. Пусть АВСD — трапеция.(Рис. 6). Проведем прямую от вершины В через середину стороны СD точку Н к основанию, т.е. достроим треугольник АВО. Тогда треугольники ВСН и DHO равны по сторонам СН и НD и прилегающим к ним углам. Следовательно отрезок АО равен сумме оснований АD и ВС. Рассмотрим треугольник АВО. ЕН это средняя линия треугольника, которая равна половине основания АО, т.е. полусумме оснований трапеции АD и ВС.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.6 Теорема. Средняя линия трапеции.

Видео:Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 кл

7.Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема. параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые.
Необходимо доказать, что AС 1 /AС = AВ 1 /AВ (Рис. 7).

Разобьем угол ВAС параллельными прямыми на n частей. Тогда АВ = ns, a AB1 = ms. Где s — отрезок некоторой длины. По теореме Фалеса эти прямые разбивают сторону AС также на равные части. Тогда:

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.7 Теорема о пропорциональных отрезках.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Отложим на луче АС отрезок АС 2 1 , который равен АС 2 = АС*АВ 1 /АВ (Рис.8). Если отрезок АС разбить на большое число частей, то между точками С 1 и С 2 будут деления. Одно из них обозначим как x и y.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Т.е. мы пришли к противоречию, так как изначально мы взяли отрезок АС 2 = АС*АВ 1 /АВ.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

Рис.8 Теорема о пропорциональных отрезках.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

2. Рассмотрим Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАВС и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАDС: АС — общая, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 =Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой3 (т.к. по условию АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАВС =Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАВ = DC и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2 = Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой4. Но Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2 и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАВДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой.

3. Итак, АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС и АВДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойчетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

2. Рассмотрим Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАВС и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАВС =Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 = Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2, при этом Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойпо признаку параллельности двух прямых АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой

1. Рассмотрим Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАОD и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАОD и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВОС (как вертикальные углы), Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАОD =Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойАD = ВC и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 = Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2.

2. Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 и Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1 = Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой2, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойпо признаку параллельности двух прямых АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДокажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойВС, Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкойпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🌟 Видео

Обязан ли в данной ситуации водитель синего автомобиля пропустить пешехода ?Скачать

Обязан ли в данной ситуации водитель синего автомобиля пропустить пешехода ?

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Признаки параллелограмма. Геометрия 8кл Мерзляк #106Скачать

Признаки параллелограмма. Геометрия 8кл Мерзляк #106

Геометрия Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на биссектрисах его углов, то такойСкачать

Геометрия Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на биссектрисах его углов, то такой

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать

№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и ADСкачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD

№402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольникиСкачать

№402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники

Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). ЗадачаСкачать

Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Задача
Поделиться или сохранить к себе: