Докажите что для правильной шестиугольной призмы abcdefa1b1c1d1e1f1 параллельные прямые

Видео:Угол между прямыми в правильной шестиугольной призме | ЕГЭ, ПРОФИЛЬ - №8, БАЗА/ГВЭ - №13Скачать

Упражнение 14

Скачать
презентациюУпражнение >>

Упражнение 14. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскости AB1F1 и CED1 параллельны. Доказательство: Прямые AB1 и AF1, лежащие в плоскости AB1F1, соответственно параллельны прямым ED1 и CD1, лежащим в плоскости CED1. Следовательно, плоскости AB1F1 и CED1 параллельны.

Картинка 26 из презентации «Параллельность плоскостей в пространстве» к урокам геометрии на тему «Параллельность в пространстве»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Параллельность плоскостей в пространстве.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива — 171 КБ.

Видео:Урок 10. Нахождение расстояние между прямыми в шестиугольной призме (задача ЕГЭ)Скачать

Параллельность в пространстве

«Теоремы о параллельности плоскостей и прямых» — Плоскости не пересекаются. Провести плоскость. Расположение плоскостей в пространстве. Теорема. Следствия из аксиом. Взаимное расположение прямых в пространстве. Точки прямой. Различные прямые. Отрезки параллельных прямых. Любые три точки лежат в одной плоскости. Пропущенные слова. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

«Параллельность прямых в пространстве» — N параллельных между собой прямых. Прямые AA1 и CC1 параллельны. Назовите прямые, проходящие через вершины куба. Прямые AA2 и D1C2 параллельны. Прямые. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые. Прямые AB и C1F1 параллельны. Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра октаэдра.

«Определение параллельности прямых» — Угол между прямыми. Полуплоскости. Углы с сонаправленными сторонами. Признак параллельности. Плоскость. Взаимное расположение прямых. Стороны. Скрещивающиеся прямые. Параллелепипед. Свойство. Две прямые. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность плоскостей. Взаимное расположение. Две параллельные плоскости.

«Параллельные прямые в пространстве» — Какие прямые в планиметрии называются параллельными? Проходит прямая, параллельная данной и притом только одна. Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве? Какие прямые в пространстве называются параллельными? Через точку, не лежащую на данной прямой, Теорема о параллельности трех прямых в пространстве.

«Параллельность прямой и плоскости» — Найти скрещивающиеся прямые. ABCD – прямоугольник. 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. 1. Определение 2. Признак 3. Свойство 1. Угол между скрещивающимися прямыми. 3. Прямая и плоскость не имеют общих точек. AA1C1C и CС1B1B — параллелограммы. Какая же прямая называется параллельной плоскости?

«Параллельность плоскостей в пространстве» — Доказательство. Могут ли быть параллельными две плоскости. Плоские углы. Признак параллельности двух прямых. Докажите параллельность плоскостей. Грани икосаэдра. Параллельные плоскости. Плоскость. Прямые. Утверждение. Плоскости, параллельные одной и той же прямой. Параллельность плоскостей в пространстве.

Видео:ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призмаСкачать

Задача 52951 Докажите, что в правильной шестиугольной.

Условие

Докажите, что в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ( рис. 11.8) данные прямая и плоскость перпендикулярны а) АА1 и АВС; б) АВ и BDD1; в) АС и CDD1 ; г) АС и ВЕЕ1;

Все решения

Призма правильная, значит в основании правильный шестиугольник. См. рис.

Все боковые ребра перпендикулярны плоскости снования.

AA_(1) ⊥ пл АВС ⇒ АА_(1) перпендикулярна любой прямой, лежащей в пл АВС

АА_(1) ⊥ АВ
АА_(1) ⊥ АF

Аналогично AA_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AB

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости:

a) АА_(1) ⊥ АВ и АА_(1) ⊥ АF ⇒ AA_(1) ⊥ пл АВС

б) BB_(1) ⊥ AB и BD ⊥ AB ( см. рис.) ⇒ AB ⊥ пл ВВ_(1)DD_(1)

в) АС ⊥ СС_(1) и АС ⊥ СD ( см. рис.) ⇒ AС ⊥ пл СС_(1)DD_(1)

г) BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ АС и АС ⊥ ВЕ ( cм. рис) ⇒

АС ⊥ пл ВВ_(1)ЕЕ_(1)

Видео:ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 8. Правильная шестиугольная призма. УголСкачать

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы

Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.

Видео:Правильная шестиугольная призма Угол между прямымиСкачать

Общие сведения

Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.

Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:

• высота — прямая, перпендикулярная плоскостям, лежащим у основания многогранника;
• боковые рёбра — стороны, являющиеся общими для боковых граней;
• вершины — точки, принадлежащие сразу двум отрезкам и формирующим периметр геометрического тела;
• диагонали — отрезки, проходящие через 2 вершины, но при этом несвойственные одной грани;
• диагональные плоскости — пересекающие боковые рёбра и диагональ у основания.

Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.

В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.

Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Свойства шестигранника

Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:

Объём. Он равняется произведению площади основания на высоту. Роль последней может играть ребро любой стороны, например, BB1. Учитывая сказанное, формулу можно записать так: V = S * BB 1 = ((3 √ 3) / 2) * (a 2 * h).

Если рассмотреть правильный шестиугольник, лежащий в основе призмы ABCDEF, и провести отрезки AB, CD, EF, у них будет общая точка пересечения. Для удобства обозначить её можно буквой O. Так как, в соответствии со свойствами, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA будут правильными, можно составить равенство: AO = OD = EO = OB = CO = OF = a .

Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.

По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA1 2 + AE 2 )= √(h 2 + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB1 2 + BE 2 ) = √(h 2 + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE 2 + EE 2 ) = √(h 2 + a 2 ) = √2 *a.

Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h 2 + a 2 ), что и следовало доказать.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E 2 = C1C 2 + CE = 2 2 + (4 c3) 2 . C1E 2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

Видео:Геометрия Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равнаСкачать

Задача высокого уровня

Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.

Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R 2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a 2 * sin60 / 2 = (R 2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.

📹 Видео

Стереометрия 1 | mathus.ru | косинус угла между прямыми в правильной шестиугольной призмеСкачать

ЕГЭ СТЕРЕОМЕТРИЯ НАХОЖДЕНИЯ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРАВИЛЬНОЙ ШЕСТИУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЕ ЛАЙХАКИ ОТ СОСЕДКИ|Скачать

№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.Скачать

Ященко. ЕГЭ. Профильная математика. 25 вариант. 2023. 13 задание. GeoGebra.Скачать

Задача 1.1. Нахождение диагонали шестиугольной призмыСкачать

Стереометрия 15 | mathus.ru | угол между прямой и плоскостью в правильной шестиугольной пирамидеСкачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

Ященко. ЕГЭ. Профильная математика. 26 вариант. 2023. 13 задание. GeoGebra.Скачать

Стереометрия. ЕГЭ. В правильной шестиугольной призме найдите расстояние от точки B до прямой A1 F1Скачать

10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Стереометрия. В правильной шестиугольной призме найдите расстояние от точки B до плоскости F B​1 C1Скачать