Доказательство точка n середина bc проведем через нее прямую параллельную стороне ас

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Теорема Фалеса. Через середину стороны AB, треугольника ABC, точку M, провели прямую, параллельную стороне AC, эта прямая пересекает сторону BC в точке. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемНаталья Щелконогова

Похожие презентации

Видео:Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точкахСкачать

Презентация на тему: » Теорема Фалеса. Через середину стороны AB, треугольника ABC, точку M, провели прямую, параллельную стороне AC, эта прямая пересекает сторону BC в точке.» — Транскрипт:

2 Через середину стороны AB, треугольника ABC, точку M, провели прямую, параллельную стороне AC, эта прямая пересекает сторону BC в точке N. Докажем, что BN=NC Рассмотрим задачу A B C MN

3 Решение задачи Доказать: BN=NC Дано: ABC – треугольник, AM=MB, BM||ND A B C MN Доказательство 1. Дополнительное построение: через точку С проведем прямую параллельную AB AM=MB (по условию), AM=CD (свойство параллелограмма), следовательно MB=CD (по второму признаку) 6. BN=NC D

4 Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через из концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B1B1 B2B2 B3B3 B4B4

5 Теорема Фалеса Доказательство 1. Рассмотрим два случая 2. Первый случай, когда две прямые параллельны A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 3. Докажем что B 1 B 2 =B 2 B 3 4. A 1 A 2 = B 1 B 2, A 2 A 3 = B 2 B 3 (по свойству параллелограмма) 5. B 1 B 2 =B 2 B 3

6 Теорема Фалеса Доказательство 1. Второй случай, когда две прямые не параллельны 3. Через точку В 4 проведем прямую параллельную l, она пересечет прямые A 3 B 3 и A 2 B 2 в некоторых точках C и D 4. Как уже доказано B 4 C=CD 5. Рассмотрим треугольник B 4 B 2 D A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 l C D 5. Как нами было доказано в задаче, предшествующей теореме B 4 B 3 =B 3 B 2 6. Аналогично можно доказать что B 3 B 2 =B 2 B 1

7 Решение задач Произвольный отрезок разделить на 3 равные части

8 Решение задач Решение 1. Через точку A проведем прямую l AB A1A1 A2A2 A3A3 l 2. От точки A отложим 3 равных отрезка 3. Соединим точки A 3 и B 4. Через точки A 1 и A 2 проведем прямые параллельные A 3 B 5. Отрезок AB разделён на 3 равные части

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

теорема Менелая
презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему

теорема Менелая в задачах

Видео:№ 384 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

Скачать:

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

Видео:Стереометрия с нуля до уровня ЕГЭ. Координатно-векторный метод. Задачи на доказательствоСкачать

Подписи к слайдам:

Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение

Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .

Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого

Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого

Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая

Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.

Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая

Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то

Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая

Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .

В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.

Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD .

, тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :

Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.

Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S

Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О

Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите

Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .

Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .

Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .

Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1

Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :

Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T — точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.

Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:

C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .

Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .

В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи

Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС — в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Подписи к слайдам:

Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение

Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .

Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого

Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого

Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая

Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.

Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая

Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то

Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая

Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .

В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.

Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD .

, тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :

Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.

Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S

Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О

Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите

Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .

Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .

Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .

Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1

Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :

Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T — точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.

Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:

C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .

Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .

В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи

Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС — в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР Мне нравится

Видео:№384. Через середину М стороны АВ треугольника ABC проведена прямая,Скачать

§ 3. Четыре замечательные точки треугольника

Свойства биссектрисы угла

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

1) Возьмём произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK = ML (рис. 224). Рассмотрим прямоугольные треугольники AM К и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу (AM — общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 по условию). Следовательно, MK = ML.

2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч AM — биссектриса угла ВАС (см. рис. 224). Проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и AML равны по гипотенузе и катету (AM — общая гипотенуза, МК = ML по условию). Следовательно, ∠1 = ∠2. Но это и означает, что луч AM — биссектриса угла ВАС. Теорема доказана.

В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС и проведём из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА (рис. 225). По доказанной теореме ОК = ОМ и OK = OL. Поэтому ОМ = OL, т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС₁ этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке 226 прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Пусть прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — середина этого отрезка (рис. 227, а).

1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что AM = ВМ. Если точка M совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть M и О различные точки. Прямоугольные треугольники ОAM и ОВМ равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ — общий катет), поэтому AM = ВМ.

2) Рассмотрим произвольную точку N, равноудалённую от концов отрезка АВ, и докажем, что точка N лежит на прямой m. Если N — точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m. Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник ANB равнобедренный, так как AN = BN (рис. 227, б). Отрезок NO — медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, NO ⊥ АВ, поэтому прямые ON и m совпадают, т. е. N — точка прямой m. Теорема доказана.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС (рис. 228). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что m || n, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно.

По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и р к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

Теорема о пересечении высот треугольника

Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Ранее было доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (п. 64). Оказывается, аналогичным свойством обладают и высоты треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА₁ ВВ₁ и СС₁ содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 229).

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А₂С и АВ = СВ₂ как противоположные стороны параллелограммов АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂. Аналогично С₂А = АВ₂ и С₂В = ВА₂. Кроме того, как следует из построения, СС₁ ⊥ А₂В₂, АА₁ ⊥ В₂С₂ и ВВ₁ ⊥ А₂С₂. Таким образом, прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂. Следовательно, оНи пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Задачи

674. Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что АВ ⊥ ОМ.

675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой О А.

676. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r = 5 см, ∠A = 60°; б) г, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°.

677. Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.

678. Биссектрисы АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы ACM и ВСМ, если: a) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.

679. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите: a) AD и CD, если BD = 5 см, Ас = 8,5см; б) АС, если BD = 11,4 см, AD = 3,2 см.

680. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ∠A — ∠B + ∠C.

681. Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ = 18 см.

682. Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ.

683. Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

684. Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ.

685. Высоты АА₁ и ВВ₁ равнобедренного треугольника АВС, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

686. Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Пусть АВ — данный отрезок. Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (рис. 230). Эти окружности пересекаются в двух точках М₁ и М₂. Отрезки АМ₁, AM₂, ВМ₁, ВМ₂ равны друг другу как радиусы этих окружностей.

Проведём прямую М₁М₂. Она является искомым серединным перпендикуляром к отрезку АВ. В самом деле, точки М₁ и М₂ равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая М₁М₂ и есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

687. Даны прямая а и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. На прямой а постройте точку М, равноудалённую от точек А к В.

688. Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри данного угла, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от концов данного отрезка.

Ответы к задачам

674. Указание. Сначала доказать, что треугольник АОВ равнобедренный.

676. а) 10 см; б) 7√2 дм.

678. а) 46° и 46°; б) 21° и 21°.

679. a) АВ = 3,5 см, CD = 5 см; б) АС = 14,6 см.

683. Указание. Воспользоваться методом доказательства от противного.

687. Указание. Воспользоваться теоремой п. 75.

688. Указание. Учесть, что искомая точка лежит на биссектрисе данного угла.

1 То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.

📹 Видео

№34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DBСкачать

Замечательные точки треугольника + доказательства. ЕГЭ 2023, задание 16Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

№ 384 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

#5str. Как проверять перпендикулярность?Скачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикулярСкачать

#3str. Разбор геометрических задач 57-го Уральского турнираСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

Задание №13. Сечения многогранников. Урок №1Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать