Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:
Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.
Видео:Нахождение площади и теорема Вариньона | Ботай со мной #005 | Борис Трушин ||Скачать
Ход урока
Введение
В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.
Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.
1. Теоретическая часть
Вариньон Пьер [1] (1654–1722)
Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).
Теорема Вариньона [2]
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
ABCD – выпуклый четырехугольник
AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND
1) KLMN – параллелограмм;
Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL– средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN– средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.
Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)
Следствия из теоремы Вариньона
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
Доказать: KLMN – ромб
Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
KM и LN перпендикулярны
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).
Что и требовалось доказать.
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны
Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – равны
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Что и требовалось доказать.
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD
Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN
Доказать: KLMN – квадрат
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).
Что и требовалось доказать.
2. Практическая часть. Решение задач.
Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).
б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);
Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).
У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
См. теорему Вариньона.
Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.
Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.
Олимпиадные задачи
1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].
Доказать: SABCD= KM*LN
Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать.
2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].
Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.
Что и требовалось доказать.
Заключение
«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.
Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.
Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.
От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.
Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать
Теорема Вариньона
В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.
Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
M, N, K, F — середины его сторон.
Доказать : MNKF — параллелограмм.
1) Проведём диагональ AC.
2) Рассмотрим треугольник ABC.
Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.
3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и
4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).
Что и требовалось доказать.
Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).
Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).
(так как стороны MNKF равны половине диагонали AC или BD).
Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного параллелограмма:
углы COD и NMF равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN и секущей BD),
Видео:🔺📏 Теорема Вариньона: Новая глава геометрии! 🔺📏Скачать
Теорема Вариньона — формулировка, доказательство и следствия
Видео:Теорема из геометрии, о которой ты не знал | Теорема Вариньона | Дядя АртемСкачать
Теоретическая часть
Пьер Вариньон — великий ученый, достигший небывалых успехов в изучении математики и механики, родившийся в 1654 г. во Франции. Окончив университет в Кане, Пьер готовился посвятить свою жизнь духовенству, но серьезно увлекся точными науками, такими как механика и математика. Он посвятил себя изучению геометрии, физики и гидромеханики. В начале XVIII века он возглавил «Журнал ученых», где размещали свои труды многие известные математики и физики того времени. Какой же вклад был внесен в развитие точных наук древним ученым?
Древний математик стал первым, кто доказал, что центр каждой стороны образовывает внутри исходного выпуклого четырехугольника вершину параллелограмма.
Базовые определения
Перед началом работы необходимо ознакомиться с базовыми определениями. Они даются для того, чтобы разобраться с ключевыми моментами во время решения задачи и включают в себя основу теоремы и доказательств.
Теорема Вариньона — геометрический феномен, доказанный П. Вариньоном, утверждавшим, что любой произвольный четырехугольник образовывает в центре многогранник, если последовательно соединить точки, разделяющие его грани посередине, площадь которого равна ½ площади выпуклого четырехугольника.
Бимедианы — это отрезки, которые соединяют центральные точки диаметральных сторон, являющихся диагоналями вариньоновского параллелограмма.
Параллелограмм, вершины которого находятся в центральных точках соседних сторон произвольного четырехугольника, называют вариньоновым, или вариньоновским.
Основные свойства параллелограмма
Знание основных свойств параллелограмма Вариньона позволяет быстрее разобраться с поставленной задачей и сэкономить время на ее решение. Кроме того, умение применять данные знания понадобятся при дальнейшем изучении предмета.
Центральная точка рассматриваемого четырехугольника разделяет на равные части отрезок, соединяющий две диаметральные стороны исходного квадрата, ромба или трапеции.
Диагоналями внутреннего многогранника являются именно те отрезки, которые соединяют между собой середины сторон исходного многоугольника, расположенных противоположно друг к другу.
Длина диагоналей исходного четырехугольника в сумме равнозначна периметру образованного прямоугольника или ромба.
Площадь вариньонового параллелограмма составляет ½ площади произвольного четырехугольника.
Стороны многогранника, расположенного внутри ромба всегда будут располагаться под углом 90 °C, а в центре трапеции или квадрата будет только ромб.
Образованный четырехугольник будет иметь форму ромба только в том случае, когда диагонали исходного многогранника абсолютно равны, а его бимедианы располагаются строго перпендикулярно.
В том случае, когда диагонали начального квадрата или трапеции располагаются под прямым углом друг к другу, а его бимедианы имеют равную длину, образованный многогранник имеет форму прямоугольника.
В случае когда исходный четырехугольник имеет форму ромба с равнозначными диагоналями, которые расположены под прямым углом, а его бимедианы также имеют равные значения и находятся под углом 90 °C, образованный многоугольник будет иметь форму квадрата.
Применение теоремы Вариньона на практике. Цель — значительное уменьшение времени, затраченного на поиск решения задачи.
Следствие первое
Доказательство теоремы основывается на свойствах срединных линий треугольника Фалеса.
В центре основного прямоугольника ABCD расположен параллелограмм KLMN. В начальном многограннике проведена диагональная линия, соединяющая углы A и C, и разделяющая его на 2 равнозначных треугольника ABC и ACD. При рассмотрении треугольника ABC можно определить, что точки K и L, которые являются центрами сторон AB и BC, соединенные отрезком, представляют собой срединную линию треугольника ABC.
Согласно свойствам средней линии треугольника,
Также MN — линия, разделяющая треугольник ACD, а значит:
Формулировка свойств параллельности прямых линий заключается в том, что если 2 прямые расположены параллельно относительно третьей, то это значит, что они расположены параллельно по отношению друг к другу. Из этого следует, что если отрезки KL и MN расположены параллельно разделяющей линии AC, то они располагаются параллельно друг другу.
Повторив расчеты в отношении диагонали BD, видно, что все диаметральные стороны четырехугольника KLMN параллельны и равны, значит, согласно определению, полученный, путем сообщения срединных линий, многогранник и есть параллелограмм.
Следствие второе
Доказательство равенства площади вариньоновского параллелограмма и ½ площади начального квадрата.
Допустим, что диагональ AC проведена внутри прямоугольника. Значит, площадь треугольника ABC равна (AC * h1) / 2, где h 1 — высота треугольника ABC, выходящая из вершины B.
Таким же образом рассчитывается площадь треугольника ACD, которая равна (AC * h 2) / 2, где h 2 — высота треугольника ACD, выходящая из вершины D.
Исходя из проведенных расчетов, площадь начального прямоугольника равна AC *(h 1+ h 2) / 2, где (h 1+ h 2) / 2 — суммированное расстояние до диагонали AC от точек K и M, а значит, это значение является высотой полученного ромба KLMN. Исходя из того, что сторона LM составляет ½ AC, общая площадь ромба KLMN равнозначна ½ площади данного прямоугольника ABCD.
Что и требовалось доказать.
Несмотря на то что Пьер Вариньон жил очень давно, его труды, преодолев временной барьер, имеют большое значение и для современного школьника, помогая решать сложные задачи.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
1) Проведём диагональ AC.
