Доказательство с использованием векторов (4 видео)

Применение векторов к решению задач

Вы будете перенаправлены на Автор24

Содержание

Сущность векторного метода для решения геометрических задач
Общая схема для решения геометрических задач векторным методом
Примеры типов задач, которые решаются векторным методом
Готовые работы на аналогичную тему
Примеры задач на применение векторного метода
Векторный метод в школьном курсе геометрии
Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г. — презентация
Похожие презентации
Презентация на тему: » Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г.» — Транскрипт:
🎥 Видео

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

Сущность векторного метода для решения геометрических задач

Векторный метод решения задач основан на решении задач с использованием аппарата векторной алгебры.

Применение векторной алгебры к решению геометрических задач основано на следующих основных утверждениях.

Утверждение 1 (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): Два ненулевых вектора $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число $kne 0$, такое, что удовлетворяется следующее равенство

Утверждение 3: Любой вектор $overrightarrow$ в трехмерном пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow$, $overrightarrow$ и $overrightarrow$:

При решении задач векторным методом также применяются такие понятия, как сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятие скалярного произведения векторов.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Общая схема для решения геометрических задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой:

Провести анализ условия задачи:

а) Выяснить в какой системе координат (двумерной или трехмерной) рассматривается данная задача;

б) Записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертеж по условию задачи.

Перевести условие задачи и требования к векторному виду.

Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи.

Перевести полученный результат на геометрический язык.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Примеры типов задач, которые решаются векторным методом

Приведем теперь примеры классических задач, решаемых с помощью векторного метода (Не приводя их решений).

Задачи на доказательство параллельности.

Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок.

Задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой.

Задачи на доказательство принадлежности четырех точек одной плоскости.

Задачи на доказательство перпендикулярности.

Задачи на вычисление длины отрезка.

Задачи на нахождение величины угла.

Задачи на вычисление площадей и объемов геометрических фигур.

Готовые работы на аналогичную тему

Видео:10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Примеры задач на применение векторного метода

Далее рассмотрим ряд задач, которые решаются с помощью векторного метода.

Доказать, что линия, соединяющая середины диагоналей произвольной трапеции параллельна основаниям этой трапеции и равна их полуразности.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD.$ $MN$ — отрезок, соединяющий середины диагоналей данной трапеции (рис. 1).

Докажем, что $MN=frac$ и $MN||AD$

Рассмотрим вектор $overrightarrow$. Используя правило многоугольника для сложения векторов, с одной стороны, получим

С другой стороны

Сложим два последних равенства:

Так как $MN$ — отрезок, соединяющий середины диагоналей, то

Так как $overrightarrow и overrightarrow$ сонаправлены, то $overrightarrow||overrightarrow$.

Из этого получаем, что $MN=frac$ и $MN||AD$

Решение.

Обозначим через точку $E$ — точку пересечения отрезка $AM$ с прямой $KL$(рис. 2).

Введем, для удобства, следующие обозначения: $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=xoverrightarrow,$ $overrightarrow=yoverrightarrow$

Воспользуемся далее правилом треугольника для сложения векторов. С одной стороны получим

С другой стороны

Ответ: $3:4.$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 04 2022

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Векторный метод в школьном курсе геометрии

Разделы: Математика

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Векторный метод в решении задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках. Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.

В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.

Целью статьи является не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность, вопросах, активизирующих мыслительную деятельность обучающихся, могущих послужить основой для небольших учебных исследований.

1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.

Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.

Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки и представляют один и тот же вектор.

В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается .

Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.

2. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Равные и коллинеарные векторы

Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:

векторы

скаляры а=арефлексивностьa=bb=aсимметричность, a=b, b=c a=cтранзитивность

Общеизвестно следующее свойство равных веторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то .

Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:

1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?

И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).

Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?

Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.

Сумма векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:

Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.

Координаты вектора. Скалярное произведение.

Проекцией v_x вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.

При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если то вектор имеет координаты . При этом длина вектора равна

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: .

В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства:

3. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.

Компонентами умения использовать векторный метод являются следующие умения:

переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношения между фигурами на соотношения между векторами и наоборот);
выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векторов);
представлять вектор в виде суммы, разности векторов;
преобразовывать векторные соотношения;
переходить от соотношения между векторами к соотношениям между их длинами;
выражать длину вектора через его скалярный квадрат;
выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Классифицируем наиболее употребительные задачи, при решении которых применяется векторный метод.

Доказательство параллельности прямых и отрезков.
Задачи на доказательство деления отрезка в данном отношении.
Доказательство принадлежности трех точек одной прямой.
Доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
Задачи на обоснование зависимости между длинами отрезков.
Задачи на вычисление величины угла.

Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.

5. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.

1) Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.
2) Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?

7.8. Докажите.

Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся компонентами векторного метода решения задач. В процессе решения этих задач вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Приведем несколько примеров задач, при решении которых использован векторный метод.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемГалина Якшина

Презентация на тему: » Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г.» — Транскрипт:

1 Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г.

3 Введение. Векторы появились в нашем школьном курсе лишь в начале шестидесятых годов прошлого века. Появились, прежде всего, потому, что к этому времени стали важнейшим математическим аппаратом в электротехнике, радиотехнике, теории оптимального управления и т. д. Многие из доказательств ныне действующих учебников по геометрии являются сложными из-за своей искусственности: непонятно, почему следует делать именно такие выводы, выполнять именно такие дополнительные построения. Однако, если поставить цель свести к минимуму необходимость заучивания, то многие векторные доказательства предпочтительнее традиционных. Векторные доказательства позволяют избежать дополнительных построений или сделать их естественно вытекающими из логики доказательства.

4 Цель работы: Показать применение векторов при решении задач и доказательстве теорем. Задачи: 1. Изучить теоретический материал по теме «Векторы» 2. Обобщить и систематизировать изученный материал с целью применения различных способов и приемов решения задач векторным методом

5 Применение векторов для доказательства теорем. Теорема 1. (теорема Пифагора) Если треугольник прямоугольный, то квадрат его гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6 Теорема 2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания. Дано: MН – средняя линия треугольника АВС с основанием ВС(рис.3). Доказать: MH || BC, MH=0,5BC.