Доказательства свойств координат векторов

Координаты вектора в математике

Координаты вектора ― это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Содержание:

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Координаты вектора

Для введения понятия координат вектора следует рассмотреть возможность разложения вектора по осям координат. Мы хотим каждый вектор задать парой чисел — проекциями этого вектора на оси координат. При таком подходе действия над векторами можно свести к действиям с парами чисел.

Определим проекции вектора на координатную ось. Пусть задана координатная ось Ох. Единичный отрезок ОЕ теперь будем считать единичным вектором Доказательства свойств координат векторов, т. е. вектором, длина которого равна 1 (рис. 2.506).

Доказательства свойств координат векторовДоказательства свойств координат векторов

Возьмем любой вектор Доказательства свойств координат векторови отложим его от некоторой точки А: Доказательства свойств координат векторов

Спроектируем точки А и В на ось Ох. Получим точки Доказательства свойств координат векторови составляющую Доказательства свойств координат вектороввектора Доказательства свойств координат векторовпо оси Ох (рис. 2.507). Ее длина со знаком «плюс» или «минус» и называют проекцией вектора Доказательства свойств координат векторовна ось Ох.

Определение. Проекцией Доказательства свойств координат вектороввектора Доказательства свойств координат векторовна ось Ох называют длину его составляющей Доказательства свойств координат векторовпо этой оси, взятую со знаком «плюс» или «минус». При этом берется знак «плюс», если направление вектора Доказательства свойств координат векторовсовпадает с направлением оси Ох, и знак «минус», если эти направления противоположны. Если Доказательства свойств координат векторов= 0, т. е. Доказательства свойств координат векторов

Проекция точки — точка, проекция отрезка — отрезок (или точка), а проекция вектора — число.

Вектор Доказательства свойств координат векторовполучается из коллинеарного ему единичного вектора Доказательства свойств координат векторовумножением на Доказательства свойств координат векторов. При этом если Доказательства свойств координат векторовсонаправлен с Доказательства свойств координат векторов, то Доказательства свойств координат векторовЕсли же Доказательства свойств координат векторовпротивоположно направлен Доказательства свойств координат векторов, то Доказательства свойств координат векторов

Следовательно, имеет место равенство Доказательства свойств координат векторов

Можно доказать следующие свойства проекций векторов на ось.

1. Равные векторы имеют равные проекции на заданную ось.

2. При сложении векторов их проекции на ось складываются.

3. При умножении вектора на число его проекция умножается на это число.

Прежде чем ввести понятие координат вектора, докажем теорему.

Теорема 6. Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат с единичными векторами Доказательства свойств координат векторовкоординатных осей Ох и Оу. Пусть Доказательства свойств координат векторов— некоторый вектор, а Доказательства свойств координат векторов— его проекции на оси координат. Тогда вектор Доказательства свойств координат векторовединственным образом представляется в виде Доказательства свойств координат векторов(рис. 2.508).

Доказательства свойств координат векторов

Выше получена формула для разложения вектора а по векторам Доказательства свойств координат векторов(с учетом обозначения): Доказательства свойств координат векторов.

Пару чисел Доказательства свойств координат векторовназывают координатами вектора Доказательства свойств координат векторов в данной системе координат.

Координаты вектора в пространстве определяются так же, как на плоскости. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами Доказательства свойств координат векторовкоординатных осей Ох, Оу, Oz. Тогда вектор Доказательства свойств координат векторовединственным образом представляется в виде Доказательства свойств координат векторов(рис. 2.509).

Числа Доказательства свойств координат векторовназываются координатами вектора Доказательства свойств координат векторовотносительно векторовДоказательства свойств координат векторов, которые называются базисными векторами или, короче, базисом.

Введенные координаты вектора позволяют получить формулу длины вектора.

Рассмотрим рисунок 2.508.

1. Если точка А не лежит на координатных осях, то треугольник Доказательства свойств координат векторовпрямоугольный.

2. Доказательства свойств координат векторов(1, теорема Пифагора).

3. Так как Доказательства свойств координат векторовто получаем, что Доказательства свойств координат векторов Доказательства свойств координат векторов(2).

4. Но Доказательства свойств координат векторовпоэтому

Доказательства свойств координат векторов(3, 4).

Формула справедлива и в тех случаях, когда точка А лежит на какой-то оси координат.

Свойства координат вектора

В курсе геометрии нам практически не приходится работать с векторами в координатах (это приходится делать в курсе физики). Можно доказать различные свойства координат вектора:

1. Координаты равных векторов соответственно равны. Обратно: векторы, имеющие соответственно равные координаты, равны.

2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. А именно, если Доказательства свойств координат векторовДоказательства свойств координат векторовДоказательства свойств координат векторов

3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А именно, если Доказательства свойств координат векторов

Доказательства свойств координат векторов

Координаты вектора связаны с координатами точки по следующему правилу: чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

В частности, если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам его конца.

Доказательства свойств координат векторов

Возьмем в пространстве некую прямоугольную систему координат с началом в точке О и координатными осями х, у, z (рис. 2.510). Пусть А, В, С — точки с единичными координатами на этих осях, т. е. А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

Тогда векторыДоказательства свойств координат векторов Доказательства свойств координат векторов— это направляющие единичные векторы координатных осей х, у, z.

Возьмем любую точку М(х, у, г), и пусть Доказательства свойств координат векторов— ее радиус-вектор.

Теорема 8. Координаты точки М соответственно равны координатам ее радиус-вектора Доказательства свойств координат векторовотносительно базиса Доказательства свойств координат векторов.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Свойства координат векторов

Дата добавления: 2015-08-06 ; просмотров: 1918 ; Нарушение авторских прав

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: Доказательства свойств координат векторов. ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

( Доказательства свойств координат векторов) – (3.22) базис линейного пространства Доказательства свойств координат векторов;

Доказательства свойств координат векторов(3.23)

разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что Доказательства свойств координат векторов. ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

►Пусть некоторый вектор Доказательства свойств координат векторовв базисе (3.22) имеет два разных набора координат: Доказательства свойств координат векторови Доказательства свойств координат векторов. Тогда

Доказательства свойств координат векторов Доказательства свойств координат векторов( Доказательства свойств координат векторов) =

= [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] =

= Доказательства свойств координат векторов(3.24)

Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, Доказательства свойств координат векторов Доказательства свойств координат векторов, что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы Доказательства свойств координат векторовсвоими координатами в базисе (3.22) и пусть Доказательства свойств координат векторовТогда

Доказательства свойств координат векторов

Доказательства свойств координат векторов(3.25)

Равенство (3.25) – это разложение вектора Доказательства свойств координат векторовпо базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора Доказательства свойств координат векторовв базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем: Доказательства свойств координат векторов

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если Доказательства свойств координат векторови Доказательства свойств координат векторов Доказательства свойств координат векторовто

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

Доказательства свойств координат векторов

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Доказательства свойств координат векторов

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Доказательства свойств координат векторов

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Доказательства свойств координат векторов

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

  1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
    Доказательства свойств координат векторов
  2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
    Доказательства свойств координат векторов
  3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
  4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
  5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
  6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
  7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
  8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
    Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
    Доказательства свойств координат векторов

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

📸 Видео

Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.Скачать

Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.Скачать

Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Скалярное произведение векторовСкачать

Скалярное произведение векторов

9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатахСкачать

9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатах

Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.

11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Векторное произведение векторовСкачать

Векторное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы
Поделиться или сохранить к себе: