Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора. Показать, что векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторав этом базисе:

Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Даны векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора. Показать, что векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторав этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторавполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторалинейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, значит, векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторалинейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобразуют базис, то любой вектор Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораможно единственным способом разложить по данному базису: Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, где Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора– координаты вектора в базисе Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.

Поскольку наши векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобразуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораможно единственным образом разложить по данному базису:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, где Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора– координаты вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторав базисе Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.

По условию и требуется найти координаты Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.

Для удобства объяснения поменяю части местами: Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора. В целях нахождения Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораследует расписать данное равенство покоординатно:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, в правую часть записаны координаты вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Таким образом:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора– разложение вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторапо базису Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.

Ответ: Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора. Показать, что векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобразуют базис и найти координаты вектора Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторав этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Ответ: при Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораи Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.
Найдём векторы:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Вычислим определитель, составленный из координат векторов Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторане параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораи Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.
Найдём векторы:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Вычислим определитель, составленный из координат векторов Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, значит, данные векторы коллинеарны, и Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора.
Вывод: Две стороны четырёхугольника Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторапараллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Система не имеет решения, значит, векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторане коллинеарны.
Более простое оформление:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторане коллинеарны.
Ответ: векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторане коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора. Составим систему:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ: Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора(определитель раскрыт по первой строке):
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, значит, векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторалинейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Таким образом, векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторалинейно независимы и образуют базис.
Представим вектор Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты векторав виде линейной комбинации базисных векторов:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Покоординатно:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора
Систему решим по формулам Крамера:
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора, значит, система имеет единственное решение.
Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Ответ: Векторы Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектораобразуют базис, Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урокаВекторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Задача 40802 доказать,что векторы образуют базис.

Условие

Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

доказать,что векторы образуют базис пространства Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Решение

Доказать что векторы образуют базис в r3 найти координаты вектора

Стандартный базис в пространстве R^(3) имеет вид .
Чтобы доказать,что векторы a_(1);a_(2);a_(3) образуют базис, достаточно показать, что они линейно независимы.

Составляем их линейную комбинацию

[m]Delta =begin 2 & 2 &-1 \ 2 &-1 & 2\ -1 &2 & 2 end=-4-4-4+1-8-8neq 0[/m]

Система имеет единственное нулевое решение
α_(1)=α_(2)=α_(3)=0

Значит векторы линейно независимы и образуют базис

=(2 β β _(1)+2 β _(2)- β _(3))*x^2+(2 β _(1)- β _(2)+2 β _(3))*x+(- β _(1)+2 β _(2)+2 β _(3))

По условию
b=x^2+x+1

Решаем систему методом Крамера

[m]Delta =begin 2 & 2 &-1 \ 2 &-1 & 2\- 1 &2 & 2 end=-4-4-4+1-8-8=-27[/m]

[m]Delta_=begin 1 & 2 &-1 \ 1 &-1 & 2\ 1 &2 & 2 end=-2+4-2-1-4-4=-9[/m]

[m]Delta_ =begin 2 & 1 &-1 \ 2 &1 & 2\ -1 &1 & 2 end=4-2-2-1-4-4=-9[/m]

[m]Delta_ =begin 2 & 2 &1 \ 2 &-1 & 1\ -1 &2 & 1 end=-2-2+4-1-1-4=-9[/m]

💥 Видео

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 8Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 8

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 7Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 7

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 6Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 6

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 4Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 4

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Семинар 3 - Задача 3 (Какие из векторов образуют базис?)Скачать

Семинар 3 - Задача 3 (Какие из векторов образуют базис?)

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9Скачать

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9

Координаты вектора в базисе. Собственные числа и векторы (решение задач)Скачать

Координаты вектора в базисе. Собственные числа и векторы (решение задач)

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора
Поделиться или сохранить к себе: