Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Компланарные векторы, исследование системы векторов на компланарность.

В этой статье мы поговорим о компланарности векторов. Сначала вспомним определение компланарности и получим необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в трехмерном пространстве. Далее разберемся с задачей исследования системы из n векторов на компланарность, рассмотрим решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Видео:Доказать, что точки лежат в одной плоскости - bezbotvyСкачать

Доказать, что точки лежат в одной плоскости - bezbotvy

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Напомним определение компланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Два вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторытрехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторысоответственно. Проведем через начало вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыпрямую b1 , параллельную прямой b , а через начало вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыпрямую a1 , праллельную прямой a . Плоскости, образуемые прямыми a и b1 , а так же прямыми b и a1 , параллельны по построению, а векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыпринадлежат им. Следовательно, векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыкомпланарны.

А как же определить, являются ли три вектора компланарными?

Для этого существует необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве. Оно основано на понятии смешанного произведения векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Для компланарности трех векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторытрехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Пусть Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы, докажем что векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыкомпланарны.

Так как Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы, то векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыперпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыперпендикулярен и вектору Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи вектору Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы. Следовательно, векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыкомпланарны, так как перпендикулярны одному вектору Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы.

Пусть теперь векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыкомпланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы.

Так как векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыкомпланарны, то вектор Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыперпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторына Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыравно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы.

Итак, теорема полностью доказана.

Покажем применение доказанного условия компланарности трех векторов к решению задач.

Компланарны ли векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы, заданные в прямоугольной системе координат.

Вычислим их смешанное произведение по координатам:
Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Так как мы получили ноль, то условие компланарности выполнено, следовательно, заданные векторы компланарны.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов можно использовать для проверки принадлежности четырех точек пространства А, В, С и D одной плоскости. Для этого находим координаты векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи вычисляем их смешанное произведение. Если оно равно нулю, то точки лежат в одной плоскости, в противном случае – не лежат в одной плоскости.

Принадлежат ли точки Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыодной плоскости?

Найдем координаты векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы(при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца):
Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Теперь вычисляем смешанное произведение этих векторов
Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Так как смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыне компланарны, следовательно, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.

Видео:Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости Аналитическая геометрияСкачать

Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости  Аналитическая геометрия

Исследование системы векторов на компланарность, примеры и решения.

А как же быть, если требуется установить компланарность системы векторов, число векторов которой больше трех?

Давайте ответим на этот вопрос и получим условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства.

В предыдущем пункте мы показали, что для компланарности трех векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторынеобходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения: Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы. Так как смешанное произведение трех векторов в координатной форме представляет собой определитель матрицы, строками которой являются координаты векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы, то условие компланарности можно записать в виде Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы. Вспомнив понятие ранга матрицы, последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: ранг матрицы, строками которой являются координаты компланарных векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыи Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы, меньше трех.

Обобщив последнее утверждение, мы получим необходимое и достаточное условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства: для компланарности системы из n векторов трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, строками которой являются координаты векторов системы, был меньше трех.

Компланарны ли векторы
Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Составим матрицу, строками которой примем координаты данных векторов
Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Сразу легко отыскать минор второго порядка, отличный от нуля, Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы.

Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Все они равны нулю, следовательно, ранг матрицы равен двум, поэтому, векторы заданной системы векторов компланарны в силу выполнения необходимого и достаточного условия компланарности.

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x — x 0 + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = A x + B y + C z — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = — ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Видео:№4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три изСкачать

№4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y — z — 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( — 1 ) — ( — 3 ) — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , — 1 , — 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 — ( — 8 ) — 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , — 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y — z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , — 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , — λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( — 1 , 2 , — 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , — 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = — 1 , y 0 = 2 , z 0 = — 3 , A = 3 , B = 7 , C = — 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0

3 ( x — ( — 1 ) ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z — ( — 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

  1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 ) = ( x + 1 , y — 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y — 2 ) — 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y — 5 z — 26 = 0

Видео:№12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точкиСкачать

№12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

  1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

  1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = — D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = — D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = — D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , — D C , 0 , — D B , 0 и — D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , — 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , — 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = — 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x — 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C ( z — z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z — 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 = 0

Ответ: x — 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

Видео:10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиом

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ И ОТРЕЗКОВ, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

При решении этих задач наиболее часто используется признак коллинеарности двух векторов (соотношение 1) и единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам (соотношение 7).

Задача 1. Доказать что вектор, концами которого являются середины двух противолежащих сторон, равен половине векторной суммы двух других противолежащих (соотношение 8)

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Решение. Пусть О — произвольная точка. Согласно соотношению 3 имеем

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Задача 2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

AC, ВD — диагонали

Доказать: MN || AD.

Анализ. Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что коллинеарен

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Решение. Так как M и N — середины отрезков AC и BD, то(соотношение 3)

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Но коллинеарен вектору , поэтому Тогда

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Тогда (по соотношению 1) коллинеарен что и требовалось доказать.

Задача 3. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Анализ. Для доказательства параллельности достаточно показать, что векторы и коллинеарны

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

1) Согласно рассмотренной задаче 1 .

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

2) Так как , то и, значит, MN || AD.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

3) Так как , то = AD + BC, поэтому

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Задача 4. Точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q — середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DE

P и Q — середины отрезков KM и LN

Доказать PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Пусть О — произвольная точка. Согласно соотношению 3

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Из этих равенств следует, что

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

Задача 5. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка М?— середина диагонали А1С1 грани A1B1C1D1, точка K— середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.

K— середина ребра ВВ1

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Решение. Введем векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса. Разложим векторы по векторам этого базиса.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Это означает, что векторы компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости , тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1, для которых векторы являются направляющими.

Практика решения более сложных задач такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора — точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Задача 7. На стороне AC треугольника ABC взята точка M так, что , а на продолжении стороны BC такая точка N что . В каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Выберем базисные векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Разложим вектор по базисным двумя различными способами

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

а) =y, тогда =, т.к. векторы сонаправлены

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Учитывая единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам(соотношение 7) , получим систему

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Задача 8. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра. Докажите что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Пусть Н1, Н2, Н3, Н4 — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН1 тетраэдра РАВС в отношении РМ:МН1 = 3:1.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Тогда РМ : РН1 = 3 : 4, откуда Для любой точки О пространства и центроида Н1 грани АВС выполняется:

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Аналогично доказывается, что для точек М1, М2 и М3, делящих медианы соответственно СН2, АН3, ВН4 тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Это означает, что точки М, М1, М2 и М3 совпадают, то есть все четыре медианы РН1, СН2, АН3 и ВН4 тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.

Задача 9. На диагоналях АВ1 и ВС1 граней AA1B1B и ВВ1С1С параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A1C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса.

Так как точка Н лежит на диагонали АВ1, то векторы коллинеарны, поэтому (соотношение 7) существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что

По правилу ломаной находим:

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

По условию MН A1C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Вследствие некомпланарности векторов и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1- х-t =0, t-у=0, х-у-t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН:СА1 = 1 : 3.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИЛИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТРЁХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ

Задача 10. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM:MD=BN:NC== 3:4.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказательство. Пусть K1 — середина AB, K2 — середина MN, K3 — середина CD. Согласно соотношению 8 имеем

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Из условия следует, что ,

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторыДоказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Доказать что точки лежат в одной плоскости через векторы

Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

🎬 Видео

№6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.Скачать

№6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

№3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости;Скачать

№3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости;

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Задачка из советского учебника. Докажите, что точки А, С и Е лежат на одной прямойСкачать

Задачка из советского учебника. Докажите, что точки А, С и Е лежат на одной прямой

№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.Скачать

№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскостиСкачать

№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости

Векторы в координатной плоскости.Скачать

Векторы в координатной плоскости.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов
Поделиться или сохранить к себе: