Теорема: Если четырехугольник является трапецией, то ее:
а) средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
б) площадь равна произведению средней линии на высоту.
Доказательство.
а) Пусть АВ — средняя линия трапеции KLMN.
Проведем прямую LB, пусть она пересекает прямую KN в точке С. Треугольники LBM и CBN равны, так как у них углы LBM и CBN равны как вертикальные, углы LMB и CNB равны как накрест лежащие при параллельных LM и КС, пересеченных прямой MN, стороны NB и MB равны по условию. Поэтому отрезки LB и ВС равны. Значит, АВ — средняя линия треугольника KLC, а отрезок АВ параллелен отрезку КС и, значит, основанию трапеции KN. А поскольку основания KN и LM параллельны, то средняя линия АВ параллельна и основанию LM. Мы доказали, что средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям трапеции. Докажем теперь, что она равна полусумме этих оснований.
В соответствии с теоремой о средней линии треугольника получаем:
Но КС = KN + NC, a NC = LM, поэтому
АВ = 1/2 (KN + NC) = 1/2 (KN + LM) =1/2(KN+LM).
б) Мы знаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Но, не забывайте о том, что полусумма оснований равна средней линии. Поэтому площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Задача 30718 Доказать, что четырехугольник ABCD -.
Условие
Доказать, что четырехугольник ABCD — трапеция, если A(3,6), B(5,2), C(-1, -3), D(-5,5).
Решение
По определению трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Так как даны координаты точек, будем искать координаты векторов, задающих стороны трапеции.
Векторы коллинеарны ( лежат на параллельных прямых), если их координаты пропорциональны.
vector и vector коллинеарны.
2:(-4)=(-4):8
vector и vector не коллинеарны.
Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения
Содержание:
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
На рисунке 66 изображена трапеция 
Свойства трапеции
Рассмотрим некоторые свойства трапеции.
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Так как 
то 
(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично 
2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.
Поскольку 
то 
Аналогично 
Следовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.
Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.
Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 
— высота трапеции 
Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция 
Очевидно, что 
является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.
Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция 
Свойства равнобокой трапеции
Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.
1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Доказательство:
1) Пусть в трапеции 
Проведем высоты трапеции 
и 
из вершин ее тупых углов 
и 
(рис. 70). Получили прямоугольник 
Поэтому 
2) 
(по катету и гипотенузе). Поэтому 
3) Также 
Но 
поэтому 
и 
Следовательно, 
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство:
Рассмотрим рисунок 71. 
(как углы при основании равнобокой трапеции), 
— общая сторона треугольников 
и 
Поэтому 
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 
Пример:
— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции 
с основаниями 
и 
(рис. 71). Докажите, что 
Доказательство:
(доказано выше). Поэтому 
По признаку равнобедренного треугольника 
— равнобедренный. Поэтому 
Поскольку 
и 
то 
(так как 
).
Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.
Доказательство:
1) Пусть в 
углы при большем основании 
равны (рис. 70), то есть 
Проведем высоты 
и 
они равны.
2) Тогда 
(по катету и противолежащему углу). Следовательно, 
Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).
В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.
Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Свойство средней линии трапеции
Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Рассмотрим свойство средней линии трапеции.
Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Пусть 
— данная трапеция, 
— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что 
и 
1) Проведем луч 
до его пересечения с лучом 
Пусть 
— точка их пересечения. Тогда 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
(как вертикальные), 
(по условию). Следовательно, 
(по стороне и двум прилежащим углам), откуда 
(как соответственные стороны равных треугольников).
2) Поскольку 
то 
— средняя линия треугольника 
Тогда, по свойству средней линии треугольника, 
а значит, 
Но так как 
то 
3) Кроме того, 
Пример:
Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.
Доказательство:
Пусть 
— средняя линия трапеции 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
и 
(рис. 110). Пусть 
Докажем, что 
1) Так как 
и 
то, по теореме Фалеса, 
-середина 
— середина 
Поэтому 
— средняя линия треугольника 
— средняя линия треугольника 
Тогда 
2) 
— средняя линия трапеции, поэтому 
3) 
Пример:
В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.
Решение:
Пусть 
— данная трапеция, 
— ее средняя линия, 
(рис. 111).
1) Обозначим 
Тогда
2) 
(по условию). 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
Следовательно, 
— равнобедренный, у которого 
(по признаку равнобедренного треугольника). Но 
(по условию), значит, 
3) Учитывая, что 
получим уравнение: 
откуда 
4) Тогда 
То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).
О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Площадь трапеции
- Центральные и вписанные углы
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Площадь параллелограмма
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.