Длина вектора сумма трех векторов

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Длина вектора сумма трех векторов

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Длина вектора сумма трех векторов

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

  • правило параллелограмма
  • правило треугольника
  • тригонометрический способ

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Длина вектора сумма трех векторов

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

Длина вектора сумма трех векторов

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Длина вектора сумма трех векторовРезультирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

  • Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1)
    • где
      • F = числовое значение вектора
      • α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2)
    • где
      • α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторовназывается вектор Длина вектора сумма трех векторов, начало которого совпадает с началом вектора Длина вектора сумма трех векторов, а конец — с концом вектора Длина вектора сумма трех векторов, при условии, что начало вектора Длина вектора сумма трех векторовприложено к концу вектора Длина вектора сумма трех векторов) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Длина вектора сумма трех векторов

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторов— векторы, Длина вектора сумма трех векторов— угол между ними, а Длина вектора сумма трех векторов— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Длина вектора сумма трех векторов,

где Длина вектора сумма трех векторов— угол, смежный с углом Длина вектора сумма трех векторов. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Длина вектора сумма трех векторов.

В случае вычитания векторов (Длина вектора сумма трех векторов) происходит сложение вектора Длина вектора сумма трех векторовс вектором Длина вектора сумма трех векторов, противоположным вектору Длина вектора сумма трех векторов, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторови между Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторовявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторовобразуют угол Длина вектора сумма трех векторов. Их длины: Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Длина вектора сумма трех векторов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Длина вектора сумма трех векторов.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Длина вектора сумма трех векторов.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Длина вектора сумма трех векторов

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Длина вектора сумма трех векторов

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторовобразуют угол Длина вектора сумма трех векторов. Их длины: Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Длина вектора сумма трех векторов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Длина вектора сумма трех векторов.

Пример 3. Даны длины векторов Длина вектора сумма трех векторови длина их суммы Длина вектора сумма трех векторов. Найти длину их разности Длина вектора сумма трех векторов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Длина вектора сумма трех векторов

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Длина вектора сумма трех векторов

Пример 4. Даны длины векторов Длина вектора сумма трех векторови длина их разности Длина вектора сумма трех векторов. Найти длину их суммы Длина вектора сумма трех векторов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Длина вектора сумма трех векторов

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторов:

Длина вектора сумма трех векторов

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Длина вектора сумма трех векторов

Пример 5. Векторы Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех вектороввзаимно перпендикулярны, а их длины Длина вектора сумма трех векторов. Найти длину их суммы Длина вектора сумма трех векторови и длину их разности Длина вектора сумма трех векторов.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Длина вектора сумма трех векторов

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Длина вектора сумма трех векторови Длина вектора сумма трех векторов, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Длина вектора сумма трех векторов,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Длина вектора сумма трех векторов,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Длина вектора сумма трех векторов?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Длина вектора сумма трех векторов

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Длина вектора сумма трех векторов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Длина вектора сумма трех векторов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов а 1, а 2, а 3, … , а n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а 1 прибавляется вектор а 2, к полученному вектору прибавляется вектор а 3 и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Длина вектора сумма трех векторов

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА 1 = а 1, из точки А 1, как из начала, строим вектор А 1 А 2 = а 2, из точки А 2 строим вектор А 2 А 3 = а 3 и т.д. Вектор ОА n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а 1, а 2, … , а n.

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

и к ней прибавить вектор а 1 ( ОА 1), то получим то же вектор:

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Правило параллелепипеда

Если три вектора а , b , с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а + b + c можно найти таким построением:

Длина вектора сумма трех векторов

Из любого начала О строим векторы ОА = а , ОВ = b , ОС = с , на отрезках ОА , ОВ , ОС , как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a , b , и c (так как ОА = а , АК = ОВ = b , KD = OC = c и OD = OA + AK + KD ).

К векторам, которые (после приведения к общему началу) лежат в одной плоскости, это построение неприменимо.

📸 Видео

длина суммы трёх единичных векторов, между которыми углы по 60 градусовСкачать

длина суммы трёх единичных векторов, между которыми углы по 60 градусов

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторов

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 класс

2. Space Engineers, KSP, FTD: длина вектора, умножение на скаляр, нормализация, сумма векторовСкачать

2. Space Engineers, KSP, FTD: длина вектора, умножение на скаляр, нормализация, сумма векторов

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024

Модуль вектора. Длина вектора.Скачать

Модуль вектора. Длина вектора.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: