Длина вектора через его координаты в базисе

Нахождение длины вектора, примеры и решения

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Длина вектора через его координаты в базисе

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

Длина вектора через его координаты в базисе

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2

А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :

26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Длина вектора — основные формулы

Время чтения: 16 минут

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

  • Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
  • Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

Длина вектора через его координаты в базисе

  • Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
  • Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
  • Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
    Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Длина вектора через его координаты в базисе

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать Длина вектора через его координаты в базисе.

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор Длина вектора через его координаты в базисеимеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора Длина вектора через его координаты в базисе, через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
Длина вектора через его координаты в базисеВ соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Длина вектора через его координаты в базисе

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Длина вектора через его координаты в базисе

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора Длина вектора через его координаты в базисеполучаем

Длина вектора через его координаты в базисе

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Длина вектора через его координаты в базисе

Когда вектор Длина вектора через его координаты в базиседан в формате разложения по координатным векторам Длина вектора через его координаты в базисе, то вычислить его можно по той же формуле Длина вектора через его координаты в базисе, в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат Длина вектора через его координаты в базисе, в данной системе координат.

Чтобы рассчитать длину Длина вектора через его координаты в базисе= (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу

Длина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисе

Ответ: Длина вектора через его координаты в базисе

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор Длина вектора через его координаты в базисе=(aₓ ; aᵧ ; a Длина вектора через его координаты в базисе)

Длина вектора через его координаты в базисе

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

Длина вектора через его координаты в базисе

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OAДлина вектора через его координаты в базисе=a Длина вектора через его координаты в базисе, а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Длина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисе

Ответ: Длина вектора через его координаты в базисе

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор Длина вектора через его координаты в базисеимеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

Длина вектора через его координаты в базисе

При этом формула вычисления длины вектора Длина вектора через его координаты в базиседля трёхмерного пространства, с координатами Длина вектора через его координаты в базисеи Длина вектора через его координаты в базисе), будет следующей:

Длина вектора через его координаты в базисе

Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Длина вектора через его координаты в базисе
Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Длина вектора через его координаты в базисе
Длина вектора через его координаты в базисе

Ответ: Длина вектора через его координаты в базисе

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vecright|=sqrt)
(=sqrt = sqrt)
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
( sqrt=sqrt )
( 26+left(lambda^2-2right)^2=30 )
( left(lambda^2-2right)^2=4 )
( lambda^2-2=2 ) или ( lambda^2-2=-2 ) ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )
Ответ: ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow) и (overrightarrow) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Даны длины двух векторов ( overrightarrow) и ( overrightarrow) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac ) . необходимо найти длину ( overrightarrow).

В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
( KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac)
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac)
(=4+16-16cosfrac)
(=20-8=12 )
Получается (KM=sqrt )
Ответ: ( left|overrightarrowright|=sqrt )

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vecright|=sqrt) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vecright|=sqrt) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

  • в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
  • в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
  • в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
  • географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Система координат. Ортонормированный базис. Длина вектора в ортонормированном базисе.

Дата добавления: 2015-09-15 ; просмотров: 7044 ; Нарушение авторских прав

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор Длина вектора через его координаты в базисеназовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то Длина вектора через его координаты в базисе= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример. Даны векторы Длина вектора через его координаты в базисе(1; 2; 3), Длина вектора через его координаты в базисе(-1; 0; 3), Длина вектора через его координаты в базисе(2; 1; -1) и Длина вектора через его координаты в базисе(3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы Длина вектора через его координаты в базисе, Длина вектора через его координаты в базисеи Длина вектора через его координаты в базисеобразуют базис и найти координаты вектора Длина вектора через его координаты в базисев этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

Длина вектора через его координаты в базиселинейно независимы.

Тогда Длина вектора через его координаты в базисе.

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Длина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисеДлина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисеДля решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D1 = Длина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисе;

D2 = Длина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисе

D3 = Длина вектора через его координаты в базисе

Длина вектора через его координаты в базисе

Итого, координаты вектора Длина вектора через его координаты в базисев базисе Длина вектора через его координаты в базисе, Длина вектора через его координаты в базисе, Длина вектора через его координаты в базисе: Длина вектора через его координаты в базисе.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то Длина вектора через его координаты в базисе.

  1. Деление вектора в заданном отношении. Операции над векторами, заданными своими координатами.

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

Длина вектора через его координаты в базисе

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

Линейные операции над векторами в координатах.

💥 Видео

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 класс

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Модуль вектора. Длина вектора.Скачать

Модуль вектора. Длина вектора.

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Координаты вектора. Длина вектораСкачать

Координаты вектора. Длина вектора

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy
Поделиться или сохранить к себе: