Длина суммы векторов равна сумме длин

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длинназывается вектор Длина суммы векторов равна сумме длин, начало которого совпадает с началом вектора Длина суммы векторов равна сумме длин, а конец — с концом вектора Длина суммы векторов равна сумме длин, при условии, что начало вектора Длина суммы векторов равна сумме длинприложено к концу вектора Длина суммы векторов равна сумме длин) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Длина суммы векторов равна сумме длин

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длин— векторы, Длина суммы векторов равна сумме длин— угол между ними, а Длина суммы векторов равна сумме длин— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Длина суммы векторов равна сумме длин,

где Длина суммы векторов равна сумме длин— угол, смежный с углом Длина суммы векторов равна сумме длин. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Длина суммы векторов равна сумме длин.

В случае вычитания векторов (Длина суммы векторов равна сумме длин) происходит сложение вектора Длина суммы векторов равна сумме длинс вектором Длина суммы векторов равна сумме длин, противоположным вектору Длина суммы векторов равна сумме длин, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длини между Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длинявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длинобразуют угол Длина суммы векторов равна сумме длин. Их длины: Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длин. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Длина суммы векторов равна сумме длин. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Длина суммы векторов равна сумме длин.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Длина суммы векторов равна сумме длин.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длинобразуют угол Длина суммы векторов равна сумме длин. Их длины: Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длин. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Длина суммы векторов равна сумме длин. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Длина суммы векторов равна сумме длин.

Пример 3. Даны длины векторов Длина суммы векторов равна сумме длини длина их суммы Длина суммы векторов равна сумме длин. Найти длину их разности Длина суммы векторов равна сумме длин.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Пример 4. Даны длины векторов Длина суммы векторов равна сумме длини длина их разности Длина суммы векторов равна сумме длин. Найти длину их суммы Длина суммы векторов равна сумме длин.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длин:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Пример 5. Векторы Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длинвзаимно перпендикулярны, а их длины Длина суммы векторов равна сумме длин. Найти длину их суммы Длина суммы векторов равна сумме длини и длину их разности Длина суммы векторов равна сумме длин.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длин, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Длина суммы векторов равна сумме длин,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Длина суммы векторов равна сумме длин,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Длина суммы векторов равна сумме длин?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Длина суммы векторов равна сумме длин

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Укажите номера.

Задание:

Укажите номера верных утверждений.

1) Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
2) Длина суммы двух векторов равна сумме их длин.
3) Сумма внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 180 градусов.
4) Длина окружности равна ее удвоенному радиусу.
5) Площадь прямоугольника равна его периметру.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

1) Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
Утверждение верное.

2) Длина суммы двух векторов равна сумме их длин.
Утверждение неверное.

3) Сумма внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 180 градусов.
Утверждение неверное, внутренние накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны, но в сумме они будут давать 180 градусов, при условии, что секущая перпендикулярна двум данным прямым.

4) Длина окружности равна ее удвоенному радиусу.
Утверждение неверное, так как длина окружности равна произведению удвоенного радиуса на Пи.

5) Площадь прямоугольника равна его периметру.
Утверждение неверное, площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.

Видео:егэ векторы. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов АБ и АДСкачать

егэ векторы. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов АБ и АД

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя

векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое

характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.

Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое

равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение векторов формула:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Длина суммы векторов равна сумме длин

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта

операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.

Скалярное произведение векторов Длина суммы векторов равна сумме длин,Длина суммы векторов равна сумме длин, обозначается так: Длина суммы векторов равна сумме длин Длина суммы векторов равна сумме длин(порядок записи сомножителей не имеет

значения, т.е. Длина суммы векторов равна сумме длин).

Еще используются такие обозначения: Длина суммы векторов равна сумме длин, Длина суммы векторов равна сумме длин, Длина суммы векторов равна сумме длин.

В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е. Длина суммы векторов равна сумме длин

при каждом Длина суммы векторов равна сумме длин. Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным

(неопределенным).

Если хотя бы один из 2 векторов Длина суммы векторов равна сумме длинили Длина суммы векторов равна сумме длинравен нулевому вектору (равен нулю), то Длина суммы векторов равна сумме длин.

Свойства скалярного произведения векторов.

1. Длина суммы векторов равна сумме длин— симметричность.

2. Длина суммы векторов равна сумме длинобозначается Длина суммы векторов равна сумме длини зовется скалярный квадрат.

3. Если Длина суммы векторов равна сумме длин, то Длина суммы векторов равна сумме длин

4. Если и Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длин, то Длина суммы векторов равна сумме длин. Обратное утверждение тоже соответствует

5. Длина суммы векторов равна сумме длин

6. Длина суммы векторов равна сумме длин

7. Длина суммы векторов равна сумме длин

Если же векторы Длина суммы векторов равна сумме длини Длина суммы векторов равна сумме длинзаданы своими координатами: Длина суммы векторов равна сумме длин, Длина суммы векторов равна сумме длин, то: скалярное

произведение векторов, формула:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Формула для определения длины вектора:

Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов

Длина вектора Длина суммы векторов равна сумме длин, заданного своими координатами, равна:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Как определить угол между 2 векторами:

Как найти угол между двумя векторами Длина суммы векторов равна сумме длин, Длина суммы векторов равна сумме длин, формула:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если

же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы

ортогональны.

Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного

произведения двух векторов, заданных своими координатами).

Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте

рассмотрим этот вопрос:

Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:

Исходя из этого, координаты вектора АВ:

Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.

Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:

а) В двухмерном пространстве (плоскость):

Длина суммы векторов равна сумме длин

Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:

Длина суммы векторов равна сумме длин

б) В трехмерном пространстве:

Длина суммы векторов равна сумме длин

Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:

📹 Видео

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

длина суммы трёх единичных векторов, между которыми углы по 60 градусовСкачать

длина суммы трёх единичных векторов, между которыми углы по 60 градусов

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: