Длина сторон треугольника формула

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Длина стороны треугольника

Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.

После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:

Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Виды треугольников

1. Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

2. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

   Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

3. Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)

4. Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

5. Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

6. Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
3. Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

• $$ AB BC — CA $$
• $$ BC AB — CA $$
• $$ CA AB — BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

AB = DE и BC = EF и AC = DF

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;

∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;

AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

Гипотенуза и острый угол.

BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

Катет и противолежащий угол.

AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

Катет и прилежащий угол.

AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

AB = DE и AC = DF

Гипотенуза и катет.

AB = DE и BC = EF

AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

Признаки подобия треугольников

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
• Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (K_{подобия}) $$ <S_over S_> = К_^2 $$
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

• Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
• Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
• Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$

Площадь треугольника по двум углам и стороне

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

$$ S = * AB * AC $$

Площадь равнобедренного треугольника

$$ S = * sqrt $$

Площадь равностороннего треугольника

$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$

Стороны треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

Сторона треугольника по стороне и двум углам

Сторона прямоугольного треугольника

$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

Сторона равнобедренного треугольника

$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, h_AC

$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$

Высота на сторону AB, h_AB

$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$

Высота на сторону BC, h_BC

$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$

Формула длины высоты через катет и угол

$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Длина биссектрисы через две стороны и угол

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

Длина биссектрисы через катет и угол

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Длина медианы через три стороны

Длина медианы через две стороны и угол между ними

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

Длина медианы через катеты

Длина медианы через катет и острый угол

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt

> $$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

$$ R = <AB^2 over sqrt> $$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

$$ R = * sqrt = $$

Длина окружности, L

Площадь окружности, S

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам

$$ R = sqrt <

over P> $$

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник

$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

📺 Видео

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Определение длины гипотенузыСкачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Нахождение длины отрезка по координатамСкачать

Нахождение сторон равнобедренного треугольникаСкачать