Как разрезать треугольник на 3

Задача: как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник. Задача на смекалку — справится даже первоклассник, но если нужно обоснование решения, то тут придется порассуждать.

Решение задачи про треугольник

Для того, чтобы разрезать треугольник двумя разрезами на три четырехугольника и 1 треугольник нужно понять, что мы не можем разрезать треугольник лучами, исходящими из его вершин, потому что тогда для четырехугольников вершин будет недостаточно. Четырехугольники образованы двумя лучами, значит, каждые две стороны должны быть у них общими с соседними четырехугольниками. Таким образом общими будут 5 вершин. И три вершины — вершины треугольника. Всего получится 8 точек пересечения, одна из которых внутри треугольника, четыре на его сторонах и три — вершины треугольника. Таким образом, нарисовать такой способ разрезания треугольника двумя разрезами можно так:

Разрезать треугольник можно так

Или разрезать треугольник можно так

Или еще так можно разрезать треугольник

Главное, чтобы лучи не выходили из вершин, а давали нам дополнительные вершины для четыреухгольников. Для этого они должны пересекать стороны треугольника.

Любая из этих трех картинок — правильная. И можно нарисовать множество вариаций.

Как можно разрезать треугольник на 3 части, что бы каждая из них была параллелограммом?

Ваш ответ

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,283
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,073
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Разбиение на подобные треугольники

Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?

Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности

Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а).

Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13, . равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.

Аналогично строится одна из самоподобных фигур — треугольник Серпинского (такие фигуры называются фракталами). В равностороннем треугольнике проводятся средние линии и «вынимается» средний из четырёх получившихся треугольников. Этот процесс повторяется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до бесконечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, что и её части.

А если делить стороны равностороннего треугольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16, . равных равносторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если поделить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше стороны исходного, а площадь тогда — в n 2 раз меньше. Это и значит, что в разбиении будет n 2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать и по «слоям»: в верхнем слое — один треугольник, в следующем — 3, в последующем — 5, . в самом нижнем слое будет 2n − 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 + 3 + . + (2n − 1) = n 2 .

Обобщаем на произвольные треугольники

Всё сказанное выше легко обобщить на случай произвольного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из двух других сторон на n равных частей). Теперь несложно понять, как разбить любой треугольник на n ему подобных, где n > 5. Разбиение на 6 треугольников, подобных исходному, получается, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть лишние линии (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получается из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, больших 5. Если же n — нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 треугольников.

А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.

Прямоугольные треугольники

Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α + β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α + β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α + β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.

Так как α + β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).

Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.

Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).

Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 + k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2 , а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 + 7 2 равных треугольника.

Разбиения на различные подобные треугольники

А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.

Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.

Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k 3 = k 4 . Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k + k 3 + k 5 . Ведь если k + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 3 + k 5 .

Вместо заключения

Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, см. статью Б. Френкина «О разрезании треугольника на подобные ему» («Квант» № 4 за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников см. в книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости).

Художник Мария Усеинова

Задачи для самостоятельного решения

1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?

2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?

3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.

4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?

6. (М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?

1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).